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山东省烟台市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


山东省烟台市 2016-2017 学年高一上学期期末考试
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若直线 mx ? ny ? 1 ? 0 过第一、三、四象限,则( A.m ? 0, n ? 0 2.函数 f ? x ? ? e ?
x

) D.m ? 0, n ? 0

B.m ? 0, n ? 0

C.m ? 0, n ? 0 )

1 的零点所在的区间是( x
B. ? ,1?

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

C. ?1, ?

? 3? ? 2?

D. ?

?3 ? ,2? ?2 ?


3.设 l , m, n 表示三条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,则下面命题中不成立的是( A.若 l ? ? .m ? ? ,则 l ? m ; B.若 m ? ? , m ? l , n 是 l 在 ? 内的射影,则 m ? n ; C.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 n ? ? ; D.若 ? ? ? .? ? ? ,则 ? ? ? .

4.若直线 l1 : ? k ? 3? x ? ? k ? 4? y ?1 ? 0 与 l2 : ? k ? 1? x ? 2 ? k ? 3? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 k 的值是( A.3 或-3 ) B. 3 或 4 C. -3 或-1 D.-1 或 4 )

5.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为(

A. 10 ? 2 3

B. 10 ? 3

C. 12 ? 3

D. 11 ? 2 3

6.直线 mx ?

n y ? 1 ? 0 在 y 轴上的截距是-1,且它的倾斜角是直线 3x ? y ? 3 3 ? 0 的倾 2
) B. m ? 3, n ? 2 C. m ? 3, n ? ?2

斜角的 2 倍,则( A. m ? ? 3, n ? ?2 D. m ? ? 3, n ? 2

7.母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 120? ,则该圆锥的体积为( A.



2 2 ? 81

B.

4 5 ? 81

C.

8 ? 81

D.

10 ? 81

8.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, CD 的中点为 M , AA 1 的中点为 N ,则异面直线 C1M 与

BN 所成角为(
A. 30 ?

) B. 60 ? C. 90 ? D. 120? )

9.已知点 M ? a, b ? 在直线 3x ? 4 y ? 20 ? 0 上,则 a 2 ? b2 的最小值为( A.3 B. 4 C. 5 D.6

?ABC ? 60? , 10.已知边长为 a 的菱形 ABCD 中, 将该菱形沿对角线 AC 折起, 使 BD ? a ,
则三棱锥 D ? ABC 的体积为( A. ) C.

a3 6

B.

a3 12

3a3 12

D.

2a 3 12

11.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,侧棱垂直于底面,且点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则直线 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? )

D. 90 ?

12.如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF ? AB, EF ? 且点 E 到平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( )

3 , 2

A.

9 2

B.5

C. 6

D.

15 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离 是 .

14.设函数 f ? x ? ? ? 范围是

? 2? x , x ? 1 ?ln x, x ? 1


,若函数 y ? f ? x ? ? k 有且只有两个零点,则实数 k 的取值

15.已知点 ? 0, 2 ? 关于直线 l 的对称点为 ? 4, 0 ? ,点 ? 6,3? 关于直线 l 的对称点为,则

m? n ?



2 2 16.定义点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 A ? B ? 0 的有向距离为

?

?

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.已知点 P 1, P 2 到直线 l 的有向距离分别是 d1 , d 2 ,给出以下命题:①若

d1 ? d 2 ,则直线 PP 1 2 与直线 l 平行;②若 d1 ? ?d 2 ,则直线 PP 1 2 与直线 l 垂直;③若 d1 ? d2 ? 0 ,则直线 PP 1 2 与直线 l 平行或相交;④若 d1 ? d2 ? 0 ,则直线 PP 1 2 与直线 l 相交,
其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,其高为 6cm ,底面三角形的边长分别 为 3cm, 4cm,5cm ,以上、下底面的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分几何体的体 积V .

18.过点 P ? 3.0 ? 有一条直线 l ,它夹在两条直线 l1 : 2x ? y ? 2 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 之间的

线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程. 19.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, BC ? AD, BC ? 1, AD ? 2, AC ? CD ,且平面 PCD ? 平 面 ABCD .

(1)求证: AC ? PD ; (2)在线段 PA 上是否存在点 E ,使 BE ?平面 PCD ?若存在,确定点 E 的位置,若不存 在,请说明理由. 20.如图,在 ?ABC 中,边 BC 上的高所在的直线方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0, ?BAC 的平分线所 在的直线方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 ?1,3? .

(1)求点 A 和点 C 的坐标; (2)求 ?ABC 的面积. 21. 某化工厂每一天中污水污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时)的函数关系为

f ? x ? ? log 25 ? x ? 1? ? a ? 2a ? 1, x ? ? 0, 24? ,其中 a 为污水治理调节参数,且 a ? ? 0,1? .
(1)若 a ?

1 ,求一天中哪个时刻污水污染指数最低; 2

(2)规定每天中 f ? x ? 的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数

不超过 3,则调节参数 a 应控制在什么范围内? 22.已知在三棱锥 P ? ABC 中,E , F 分别是 AC , AB 的中点,?ABC , ?PEF 都是正三角形,

PF ? AB .

(1)求证: PC ? 平面 PAB ; (2)求二面角 P ? AB ? C 的平面角的余弦值; (3)若点 P, A, B, C 在一个表面积为 12? 的球面上,求 ?ABC 的边长.

试卷答案 一、选择题 1-5: CBDAC 二、填空题 13. 6-10: AACBD 11、12:CD

12 5

+? ) 14.( ,

1 2

15.

33 5

16. ③④

三、解答题 17.解: V三棱柱ABC ? A1B1C1 ?

3? 4 ? 6 ? 36(cm3 ) . 2

…………………3 分

设圆柱底面圆的半径为 r ,则

r?

2S?ABC 2 ? 3? 4 ? ?1, AB ? BC ? AC 3 ? 4 ? 5

……………………6 分 ………………………9 分
3

V圆柱OO1 ? ? r 2 h ? 6? (cm3 ) .
所以 V ? V三棱柱ABC ? A1B1C1 ? V圆柱OO1 ? (36 ? 6? )cm .

……………………10 分

18.解:设直线 l 夹在直线 l1 , l2 之间的线段是 AB ( A 在 l1 上, B 在 l2 上),

A, B 的坐标分别是 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? .
因为 AB 被点 P 平分,所以

x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? 0 ,
于是 x2 ? 6 ? x1 , y2 ? ? y1 . 由于 A 在 l1 上, B 在 l2 上,所以 ? ……………………3 分

?2 x1 ? y1 ? 2 ? 0 , ?(6 ? x1 ) ? (? y1 ) ? 3 ? 0
……………………6 分

解得 x1 ?

11 16 ? 11 16 ? , y1 ? ,即 A 的坐标是 ? , ? . 3 3 ?3 3?

y ?0 x ?3 ? 直线 PA 的方程是 16 , 11 ?0 ?3 3 3


……………………10 分

8x ? y ? 2 4 ? 0 .

所以直线 l 的方程是 8x ? y ? 24 ? 0 . 19.证明:
P E A B C F D

…………………12 分

(1)连接 AC , ∵平面 PCD ? 平面 ABCD ,平面 PCD I 平面 ABCD ? CD ,

AC ? CD , AC ? 平面 ABCD ,
∴ AC ? 平面 PCD , ∵ PD ? 平面 PCD ,所以 AC ? PD . (2) 当点 E 是线段 PA 的中点时, BE // 平面 PCD . 证明如下: 分别取 AP, PD 的中点 E , F ,连接 BE , EF , CF . 则 EF 为 ?PAD 的中位线, 所以 EF // AD ,且 EF ? ……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分

1 AD ? 1 , 2

又 BC // AD ,所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BCFE 是平行四边形,所以 BE // CF , 又因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD 所以 BE // 平面 PCD . 20.解: (1)由 ? …………………12 分 …………………2 分 …………………10 分

?x ? 3y ? 2 ? 0 ,得顶点 A(?2, 0) . ?y ? 0
3?0 ? 1 , x 轴是 ?BAC 的平分线, 1 ? (?2)

又直线 AB 的斜率 k AB ?

故直线 AC 的斜率为 ?1 , AC 所在直线的方程为 y ? ? x ? 2 ① 直线 BC 上的高所在直线的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,故直线 BC 的斜率为 ?3 , 直线 BC 方程为 y ? 3 ? ?3( x ? 1) ,即 y ? ?3x ? 6. 联立方程①②,得顶点 C 的坐标为 (4, ?6) . (2) BC ? ② ……………4 分 ………………6 分 ………………8 分

?1 ? 4? ? ? 3 ? 6?
2

2

? 3 10 ,

又直线 BC 的方程是 3x ? y ? 6 ? 0 , 所以 A 到直线 BC 的距离 d ?

?6 ? 6 10

?

12 6 10 , ? 5 10

………………10 分

所以 ?ABC 的面积 ?

1 1 6 10 BC ? d ? ? 3 10 ? ? 18 . 2 2 5
1 1 ,则 f ? x ? ? log 25 ? x ? 1? ? ? 2 ? 2 . 2 2 1 ? 0 ,得 x ? 1 ? 25 2 ? 5 , 2
1

……………12 分

21.解: (1) 因为 a ?

…………………2 分

当 f ? x ? ? 2 时, log 25 ? x ? 1? ?

即 x ? 4 .所以一天中早上 4 点该厂的污水污染指数最低. …………………4 分 (2)设 t ? log25 ? x ?1? ,则当 0 ? x ? 24 时, 0 ? t ? 1 . 设 g ?t ? ? t ? a ? 2a ?1, t ??0,1? , 则 g ?t ? ? ?

??t ? 3a ? 1, 0 ? t ? a , a ? t ?1 ?t ? a ? 1,

…………………7 分

显然 g ? t ? 在 ? 0, a ? 上是减函数,在 ? a,1? 上是增函数, 则 f ? x ?max ? max g ? 0? , g ?1? , 因为 g ? 0? ? 3a ?1, g ?1? ? a ? 2 , 则有 ?

?

?

…………………9 分

? 2 ? g ? 0 ? ? 3a ? 1 ? 3 ,解得 a ? , 3 ? ? g ?1? ? a ? 2 ? 3
2 3

……………………11 分

又 a ? (0,1) ,故调节参数 a 应控制在 (0, ] 内. 22.(1)证明:连接 FC ,

……………………12 分

因为在等边 ?ABC 中, F 为 AB 中点,所以 AB ? CF . 因为 AB ? CF , AB ? PF , PF ? CF=F . 所以 AB ? 平面 PCF , 又 PC ? 平面 PCF ,所以 PC ? AB , 在 ?PAC 中, PE 为边 AC 上的中线, 又 PE ? EF ? ………………2 分

1 1 BC ? AC , 2 2
………………4 分

所以 ?PAC 为直角三角形,且 AP ? PC . 因为 PC ? AB , PC ? AP , AP I AB ? A , 所以 PC ? 平面 PAB .

……………………5 分

(2)解:由(1)可知, ?PFC 为所求二面角的平面角. 设 AB ? a ,则 PF ?

a 3a , FC ? , 2 2

在直角三角形 CFP 中, cos ?PFC ?

PF 3 . ? FC 3

……………………8 分 ………………9 分

(3)解:设球半径为 r ,则 4? r 2 ? 12? ,所以 r ? 3 . 设 ?ABC 的边长为 a , 因为 PC ? 平面 PAB , AP, PB ? 平面 PAB 所以 PC ? AP , PC ? BP , 且由(2)知, PC ? 因为 PF ? AF ? FB , 所以 ?PAB 为直角三角形,且 PA ? PB , PA ? PB ? 所以 3 ?

2 a. 2

2 a, 2
…………………12 分

2 a ? 2 3 ,所以 a ? 2 2 . 2


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