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《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件 专题二 函数与导数1-2-3


高考专题复习 · 数学(理)
析热点 高 考 聚 集 研思想 方 法 提 升 课 跟 训 时 踪 练

第三讲

导数的应用(客观题题型)

热点一 导数的几何意义

[命题方向]
1 . 求切线方程 .2. 几何定义的应用,多与直线的位置关系综合考 查.

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1 . (2014年全国大纲卷 ) 曲线 y= xex- 1 在点 (1,1) 处切线的斜率等于 ( ) A.2e C.2 率等于2,故选C. 答案:C B.e D. 1 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析:由题意可得y′=ex-1+xex-1,所以曲线在点(1,1)处切线的斜

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2.(2014 年辽宁五校联考)已知曲线 f(x)=3mx+sin x 上存在相互垂 直的两条切线,则实数 m 的值为( 3 A. 10 C.1 2 B.- 7 D.0
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)

解析: f′(x) = 3m + cos x ,因存在相互垂直的切线,所以设 (3m +

cos x1)(3m+cos x2)=-1,整理得方程:9m2+3(cos x1+cos x2)m+1+
cos x1cos x2=0,关于m的方程有解,所以Δ=9(cos x1-cos x2)2-36≥0 恒成立,所以只有在cos x1与cos x2中一个为1另一个为-1的时候才能成

立,代入方程得9m2=0,所以m=0.
答案:D

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3.(2014年江西高考)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+
y+1=0,则点P的坐标是________. 解析:由题意有y′=-e-x,设p(m,n),直线2x+ y+1=0的斜率

为-2,则由题意得-e-m=-2,解得m=-ln
答案:(-ln 2,2)

2,所以n=e-(-ln 2)=2.

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1.理解导数的几何意义是研究曲线的切线问题以及求相关参数的
值(或取值范围)的基础.对于切点坐标不知道的,要先设出切点坐标, 再根据切点在切线上、切点在曲线上来求切线方程.

2.利用导数求曲线的切线方程要注意的是,当函数y=f(x)在x=x0
处不可导时,曲线在该点处也可能有切线.

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热点二 利用导数研究函数的单调性 [命题方向] 1.求函数单调区间.2.已知单调性求参数范围.3.利用单调性进行大

小比较.

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1.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A.(0,1) B.(0,+∞)

)

C.(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(1,+∞)

1 x-1 山 解析:函数的定义域是(0,+∞),且 f′(x)=1- = ,令 f′(x) 东 x x 金 <0,解得 0<x<1,所以单调递减区间是(0,1). 太 阳 书 答案:A 业 有 限 公 司
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2 .已知函数 f(x) 在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,若 f(x) 满足: (x - 1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是( )

A.f(1)<f(0)
C.f(3)>e3f(0)

B.f(2)>ef(0)
D.f(4)<e4f(0) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析:令F(x)=f(x)e-x,则F′(x)=e-x[f′(x)-f(x)],当x<1时,由条

件知 f′(x) - f(x) < 0 , F′(x) < 0 , F(x) 单调递减,所以 F( - 2) > F( - 1) >
F(0),即f(-2)e2>f(-1)e>f(0),又f(4)=f(-2)e6,f(3)=f(-1)e4,所以 f(4)>f(0)e4,f(3)>f(0)e3,故选C.

答案:C

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3.(2014年新课标卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调

递增,则k的取值范围是(
A.(-∞,-2] C.[2,+∞)

)
B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

1 解析:由于 f′(x)= k- , f(x)= kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增 山 x 东 金 1 1 1 ?f′(x)= k- ≥0 在 (1,+∞)上恒成立.由于 k≥ ,而 0< <1,所以 太 x x x 阳 书 k≥1.即 k 的取值范围为[1,+∞). 业 有 答案:D 限 公 司
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1.研究单调性问题时易忽视定义域. 2.对于含参数的单调性的判断要注意分类讨论.

3 . 已知函数的单调性求参数范围时 , 实际上转化为 f′(x)≥0 或
f′(x)≤0恒成立问题.

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热点三 利用导数研究函数的极值与最值

[命题方向]
1.求函数的极值或最值,由函数的最值求参数的值(或范围).2.通 过求函数的极值来研究函数的恒成立问题. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1. 若 函 数 为( ) A. 3-1 4 C. 3

x f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上 的 最 大 值 为 x +a 3 B. 4 D. 3+1

3 ,则 a 的值 3
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x2+ a-2x2 a- x2 解析:f′(x)= 2 = 2 ,令 f′(x)=0,得 x=± a.当 x ?x +a?2 ?x +a?2 > a时, f′(x)< 0,f(x)单调递减;当- a< x< a时, f′(x)>0, f(x) 单调递增.当 a≤1,即 0<a≤1 时,则 f(x)在 [1,+∞)上单调递减,则 1 3 f(x)max= f(1)= = ,a= 3-1;当 a>1,即 a>1 时,则 f(x)在 [1, 1+a 3 山 东 a 3 a]上单调递增,在[ a,+∞)上单调递减,则 f(x)max= f( a)= = , 金 2a 3 太 阳 3 书 a= <1,不合题意,舍去,所以 a= 3-1. 4 业 有 答案:A 限 公 司
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2.2 0 1 4 (

年江 西 高 考

)在 同 一 直 角 坐 标 系 中 , 函 数 )

a y=ax -x+ 与 y 2
2

=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是(

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解析:分两种情况讨论. 当 a=0 时,函数为 y=-x 与 y= x,图象为 D,故 D 有可能. a 1 当 a≠0 时,函数 y=ax2-x+ 的对称轴为 x= ,对函数 y=a2x3 2 2a -2ax2+x+a, 求导得 y′=3a2x2-4ax+1= (3ax-1)(ax-1), 令 y′=0,
山 东 1 1 1 1 1 则 x1= ,x2= .所以对称轴 x= 介于两个极值点 x1= , x2= 之间, 金 3a a 2a 3a a 太 阳 A,C 满足,B 不满足,所以 B 是不可能的.故选 B. 书 业 答案:B 有 限 公 司
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3.(2014年金华十校联考)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点, 则实数a的取值范围是________. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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解 析 : f′(x)= n l(

?1 ? x-ax)+x? -a?=n l x+1-2ax,令 f′(x)=0,得 ?x ?

n l x+1 n l x+1 2a= . 设 φ(x)= ,则 φ′(x)=- x x n l x ,易 知 φ(x)在 1 )0 ,( x2 上 单 调 递 减 , 所 以 的 大 致 图 象 如 图 所 示 , 若 函 数 点 , 则 直 线 上 单 调 递 增 , 在 (1,+∞)
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φ(x) 1 ) ( = 1, 则 φ(x) xm a =φ f(x)有 两 个 极 值

y=2a 和 y=φ(x)的 图 象 有 两 个 交 点 ,

1 所 以 0<2a<1, 得 0<a< . 2
? 1? ? 答案: 0, ? 2? ?
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1.函数f(x)在x=x0处取得极值的判断方法 求得导数f′(x)后,检验f′(x)在x=x0左右的符号:

(1)左正右负?f(x)在x=x0处取极大值.
(2)左负右正?f(x)在x=x0处取极小值. 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 第一步:求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值); 第二步:将 y= f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 进行比较,其中最大的一 个为最大值,最小的一个为最小值. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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热点四 定积分
[命题方向] 1.定积分的计算.2.求曲边多边形的面积.3.定积分的应用. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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x ? (2x+e )dx 的值为( 1.(2014 年陕西高考)定积分? ?
?0

1

)

A.e+2 C.e
1
?0

B.e+1 D.e-1
1

x 2 x ? 0 ? (2x+ e )dx= (x + e )?0 =(1+ e)-(0+e )=e,因此选 C. 解析:? ?

答案:C

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2.(2014 年山东高考)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的 封闭图形的面积为( A.2 2 C.2 ) B.4 2 D.4

解析:由 4x=x3,解得 x=0 或 x=2 或 x=-2(舍去 ),根据定积分 山 东 的几何意义可知, 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形 金 太 ? 1 ? 2 3 2 4 ?2 阳 ? (4 x-x )d x=?2 x - x ??0 =4. 的面积为? ? 4 ? ? 书 ?0 业 有 答案:D 限 公 司
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3.(2014年武汉模拟)物体A以速度v=3t2+1(t的单位:s,v的单位: m/s)在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A 的正前方5 m处以v=10t(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度与A同向运 动,当两物体相遇时,相遇地与物体A的出发地的距离是( A.120 m C.140 m B.130 m D.150 m
?t ? ? ?0 ?t ? ? ?0

)

山 解析: 设 t s 后两物体相遇, 则 (3t2+1)dt- 10tdt=5,即 t3+t-5t2 东 金 太 ?5 ? =5, (t2+1)(t-5)=0,t=5,此时物体 A 离出发地的距离为? (3t2+1)dt 阳 ?0 书 业 5 3 = (t3+t)? = 5 + 5 = 130(m) . ?0 有 限 答案:B 公 司
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1.求解定积分,关键是求出被积函数的原函数,常逆用基本初等
函数的求导公式和导数的四则运算法则. 2.求解此类问题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间,并

结合图形确定被积函数.求解两条曲线围成的封闭图形的面积时,被
积函数一般是用积分区间内上方曲线对应的方程减去下方曲线对应的 方程,或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会得出负值.

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转化思想——构造函数法,利用单调性大小比较问题

1.应用类型
(1)构造函数利用单调性大小比较问题. (2)构造函数解决单调性判断及不等式解法. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

2.解题方法
构造函数后,判断其单调性后进行比较大小.

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[典例]

(2014年湖南高考)若0<x1<x2<1,则(
A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex1-ex2<ln x2-ln x1

)

C.x2ex1>x1ex2
D.x2ex1<x1ex2

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[解析] 设 f(x)= ex-ln x(0<x<1),
x x e -1 1 x 则 f′(x)= e - = . x x

令 f′(x)=0,得 xex- 1=0. 1 根据函数 y=e 与 y= 的图象可知两函数图象交点 x0∈ (0,1),因此 x
x

函数 f(x)在 (0,1)上不是单调函数,故 A,B 选项不正确. e ?x-1? e 设 g(x)= (0< x<1),则 g′(x)= . x x2
x x

又 0<x<1,∴g′(x)<0. ∴函数 g(x)在(0,1)上是减函数. 又 0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2), ∴ x2ex1>x1ex2.
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[答案] C [注意事项] 构造函数时要注意所构造函数的定义域. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba
的大小关系是( A.ab>ba )

B.ab<ba
C.ab=ba 山 东 1-ln x ln x 解析:构造辅助函数 f(x)= ,因为 f′(x)= 2 ,所以在(e,+ 金 x x 太 阳 ln a ln b ∞)上, f′(x)<0, f(x)为减函数, 则 f(a)>f(b), 即 > , bln a>aln b, 书 a b 业 有 b a b a ln a > ln b ,所以 a >b . 限 公 答案:A 司
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D.ab与ba的大小关系不确定

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课时跟踪训练
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