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圆锥曲线综合训练考点题型归纳(含答案)


学生姓名
课题 教学目标

年级 圆锥曲线的综合训练

授课时间

教师姓名

课时

在理解好圆锥曲线综合练习的基础上,灵活运用圆锥曲线的知识点解答综合问题 掌握圆锥曲线求方程; 掌握圆锥曲线的图像和性质; 对圆锥曲线的知识点的灵活运用。 圆锥曲线知识点的灵活运用。









一:回顾知识点(练一练)
x2 y2 ? ? 1 有且只有一个公共点,求 l 的方程. 1.过点 (0,2) 的直线 l 与双曲线 2 4

2.在直角坐标系 xOy

中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线

y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值;

??? ?

??? ?

学生总结上一节的知识点
直线和圆锥曲线结合问题:交点问题;弦长问题;弦中点问题

作业

完成后面的综合练习题

二:知识点梳理

圆锥曲线
一、椭圆:第一定义:平面内到两个定点 F 1 、 F2 的距离之和等于常数(大于 | F 1 F2 | )的动点的轨 迹为椭圆。第二定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e (0 ? e ? 1) 的动点的轨迹为椭 圆。 2、几何性质 方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

图形

范围 对称

| x | ? a,| y | ? b

| x | ? a ,| y | ? a

关于 x 、 y 轴成轴对称、关于原点成中心对称

c 2 ? a 2 ? b2
焦点

(c, 0) 、 (?c, 0)
顶点 轴长 离心率 准线 方程

(0, c) 、 (0, ?c) (?b, 0) 、 (0, ? a)

(? a, 0) 、 (0, ?b)

长轴长 2 a 、短轴长 2b

e?

c a

a2 x?? c

a2 y?? c

二、双曲线: 1、定义: 第一定义:平面内到两个定点 F 1 、 F2 的距离差的绝对值等于常数(小于 | F 1 F2 | )的动点的轨 迹为双曲线。 第二定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e (e ? 1) 的动点的轨迹为双曲线。 2、几何性质:

2





x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2





范 对

围 称

| x|?a

| y|?b

关于 x 轴、 y 轴成轴对称、关于原点成中心对称

(?c, 0)
焦 点

(0, ?c)

a 2 ? b2 ? c 2
顶 轴 点 长

(? a, 0)
实轴长为 2 a ,虚轴长为 2b

(0, ? a)

离心率

e?

c (e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c
b x a

y??

a2 c
a x b

渐近线

y??

y??

三、抛物线: 1、定义: 在平面内,到定点 F 与到定直线 L 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 2、几何性质: 方程 图形 特征 焦点 准线

y 2 ? 2 px

开口向右
F

p ( ,0) 2

x??

p 2

3

y 2 ? ?2 px
F

开口向左

(?

p ,0) 2

x?

p 2

x 2 ? 2 py

F

开口向上

p (0, ) 2

y??

p 2

x 2 ? ?2 py

F

开口向下

p (0,? ) 2

y?

p 2

三:典型例题
考点一:求圆锥曲线的标准方程、离心率等 例 1.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴, 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦

点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程、离心率。

4 x2 y 2 例 2.椭圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 P F1⊥F1F2,,| P F1|= ,,| P 3 a b
F2|=

14 .(I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点, 3

且 A、B 关于点 M 对称,求直线 L 的方程。

4

考点 2:圆锥曲线的定义的问题

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 例 3.如图,把椭圆 25 16
F 是椭圆的一个焦点,则 分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

;

例 4. P 是双曲线

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 9 16
) C.8 D.9 B.7

上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A. 6

考点 3:直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来 求解或证明.
2 2 5.椭圆 x ? y =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且椭圆的离心 2 2

a

b

率 e= 3 .(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:
2

∠ATM=∠AF 1 T.

5

6.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2

(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.
B y

l

F A

G

O

x

7. (湖北卷)设 A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距, a 2 b2

且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一 点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

2

M

1

-4

A -2

2

B

4

-1

N
-2

-3

8. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为

? 1? D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . ? 2?
(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

6

考点 4:面积问题

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1和F2 ,过中心 O 作直线与椭圆交于 A、B 两点, 1. 如图 2,椭圆 45 20
若 ?ABF2 的面积为 20,求直线 AB 的方程.

2.(2009 广东文)(本小题满分 14 分)

3 ,两个焦点分别为 F 1 和 F2 ,椭 2 圆 G 上一点到 F 1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak 。
已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 (1) 求椭圆 G 的方程; (2) 求 ? Ak F1F2 面积; (3) 问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由。

四:课堂小结(学生和老师一起总结)

五:课后作业
2 2 2 1. (安徽卷)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 x ? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为

6

2

A. ?2

B. 2

C. ?4

D. 4

2. (天津卷)椭圆的中心为点 E (?1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3 , 0) ,相应于焦点 F 的准线方程为
7 x ? ? ,则这个椭圆的方程是( 2
2 2


2 2

A. 2( x ? 1) ? 2 y ? 1 B. 2( x ? 1) ? 2 y ? 1 C. ( x ? 1) ? y 2 ? 1 D. ( x ? 1) ? y 2 ? 1 5 5 21 3 21 3
2

2

2 3. (山东卷)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x 2 ? y ? 1 的交点为 A、

4

B、 ,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 0.5 的点 P 的个数为( (A)1 (B)2 (C)3



(D)4

7

2 2 4. (江苏卷)点 P(-3,1)在椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经直线 2 2

a

b

y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(
(A)

)

3 3
? 2 ?

(B)

1 3
2

(C)

2 2

(D)

1 2

1? 1 ? ? 2 5. (重庆卷)已知 A? ? ? ,0 ? ,B 是圆 F:? x ? ? ? y ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 ? 2?

BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为



6. (江苏卷)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0). (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过 点 P? 的双曲线的标准方程。

7(本小题满分 14 分)已知中心在原点,其中一个焦点为 F(-1,0)的椭圆经过 点 P( 2 ,?

6 ) ,椭圆的右顶点为 A,经过点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 B、C. 2
18 2 ,求直线 l 的方程. 7

(1)求椭圆的方程; (2)若△ABC 的面积为

六:课后反思

8

答案: DDBA
2 5. x ?

4 2 y ?1 3

x2 y 2 6.解: (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6 a b

2a ? PF1 ? PF2 ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 45 9
, , ,

(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、F2 (0,6). 设所求双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 由题意知,半焦距 c1=6 a12 b12

2a1 ? P?F1? ? P?F2? ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5

a1 ? 2 5 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 x

y2 ?1 20 16 ?

2

7 解: (1)设椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) …………………………1 分 a2 b2

?a 2 ? b 2 ? 1 ? ?a ? 2 ? 3 由题设知 ? ………………………………………5 分 , 解得 : ? ?b ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ?a2 b2 ? x2 y2 ? ? 1. ……………………………………………6 分 因此,椭圆的方程为: 4 3 3 3 (2)若直线 l ? x 轴,则 l 的方程为:x =-1,此时 B、C 的坐标为 ( ?1, ) 、 ( ?1,? ). 2 2 9 由于点 A 的坐标为(2,0) ,则△ABC 的面积为 . 不合题意,舍去:………… 7 分 2 若直线 l 不与 x 轴垂直,可设 l 的方程为: y ? k ( x ? 1). 则直线与椭圆恒有两交点。 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,得: (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 …………………8 分 y2 ?1 ? ? 3 ?4 ? 8k 2 x ? x2 ? ? ? ? 1 3 ? 4k 2 记 B( x1 , y1 ) 、 C ( x2 , y 2 ) ,则有 ? , ………………………9 分 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ? 12(1 ? k 2 ) 2 2 由于 | BC |? (1 ? k )[(x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ? 3 ? 4k 2

9

点 A 到直线 l 的距离为

| 3k | 1? k 2

,………………………………………………11 分

将上面两式代入△ABC 的面积公式可得:
4 2

1 12(1 ? k 2 ) | 3k | 18 ? ? ? 2 ,…12 分 2 2 3 ? 4k 7 1? k 2

整理得: 17k ? k ? 18 ? 0 ………………………………………………………13 分

18 2 (舍去) ,k = 1 故 k ? ?1 , 7 从而,直线 l 的方程为: y ? ?( x ? 1). ……………………………………………14 分
解得: k ? ?
2

10


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