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专题四 立体几何 第1讲 空间几何体 专题四 立体几何 2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 高考对本讲知识的考查主要有: (1)三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题的 形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由 三视图想象直观图;二是以三视图为载体,考查面积、体积 的计算等,均属低中档题. (2)空间几何体的表面积与体积的计算,通常以几何体为载体 与球进行交汇考查,或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态 中,以小题形式出现,属低中档题. 1.必记概念与关系 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平 行六面体、长方体之间的关系. 2.活用公式与结论 (1)常用面积和体积公式 ① S 圆柱侧= 2πrl,S 圆锥侧=πrl, S 球=4πR2. 1 4 ② V 柱 = Sh,V 锥 = Sh,V 球 = πR3. 3 3 (2)三视图排列规则: 俯视图放在正(主)视图的下面, 长度与正(主 ) 视图一样;侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度和正(主 )视图 一样,宽度与俯视图一样.画三视图的基本要求:正(主 )俯一样 长,俯侧(左)一样宽,正 (主)侧(左 )一样高. 3.辨明易错易混点 (1)空间几何体以不同位置放置时,对三视图会有影响. (2)画三视图的轮廓线时,可见轮廓线在三视图中为实线,不可 见轮廓线为虚线. 考点一 空间几何体的三视图 [命题角度] 1.由三视图还原空间几何体. 2.由空间几何体或空间的部分视图判断其他视图. (2015· 高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥 最长棱的棱长为 ( C ) A. 1 C. 3 B. 2 D. 2 [思路点拨] 由几何体的三视图画出直观图, 并根据直观图的特 点判断和计算. [解析 ] 根据三视图,可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 VABCD,其中 VB⊥平面 ABCD,且底面 ABCD 是边长为 1 的 正方形, VB= 1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD,易知 BD = 2,在 Rt△ VBD 中, VD= VB2+ BD2= 3. 方法归纳 由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特 征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 1.(2015· 兰州质量预测 )一几何体的直观图如图,下列给出的四 个俯视图中正确的是 ( B ) 解析:由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱 组成.从上往下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部有一条线 段连接的两个三角形. 2.已知长方体的底面是边长为 1 的正方形,高为 2,其俯视图 是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该 长方体的正视图的面积等于( C ) A. 1 C. 2 B. 2 D. 2 2 解析:依题意得,题中的长方体的侧视图的高等于 2,正视图 的长是 2,因此相应的正视图的面积等于 2× 2= 2,故选 C. 考点二 空间几何体的表面积与体积 [命题角度] 1.由三视图求空间几何体的表面积. 2.由三视图求空间几何体的体积. 3.空间几何体的表面积或体积. (1)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积等于 ( B ) A. 8+ 2 2 C. 14+2 2 B. 11+2 2 D. 15 (2)(2015· 高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 体积为 ( A ) 1 A. + π 3 1 C. + 2π 3 2 B. + π 3 2 D. + 2π 3 [思路点拨] (1)先由几何体的三视图,画出该几何体的直观图, 再根据几何体的表面积公式求解即可. (2)根据三视图和几何体的体积公式求解. [解析 ] 所示. (1)由三视图知,该几何体是一个 直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图 直角梯形斜腰长为 12+12= 2,所以底面 周长为 4+ 2,侧面积为 2× (4+ 2)= 8+ 2 2,两底面的面积 1 和为 2× × 1× (1+ 2)= 3,所以该几何体的表面积为 8+ 2 2+3 2 = 11+ 2 2. (2) 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成 1 1 1 的.由图中数据可得三棱锥的体积 V1= × ×2×1×1= ,半 3 2 3 1 1 2 圆柱的体积 V2= ×π×1 × 2=π,所以 V= +π. 2 3 方法归纳 求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑, 熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方 法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则 几何体转化为规则几何体以易于求解. 1. (2015· 高考陕西卷) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D ) A. 3π C. 2π+ 4 B.4π D. 3π+ 4 解析:由几何体的三视图可知,该几何体 为半圆柱,直观图如图所示. 1 表面积为 2×2+2× ×π×12+π×1×2=4+3π. 2 2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( C ) A. 8 cm3 B.12 cm3 32 C. cm3 3 40 D. cm3 3 解析:由三视图可知,该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥 构成的组合体. 下面是棱长为 2 cm 的正方体, 体积 V1= 2× 2× 2 = 8(cm3);上面是底面边长为 2 cm,高为 2 cm 的正四棱锥,体 1 8 积 V2= × 2× 2× 2= (cm3),所以该几何体的体积 V= V1+ V2 3 3 32 = (cm3). 3 3.

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