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22.1.1 二次函数(概念)(公开课)


第22章

二 次 函 数

函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,
并且对于其中一个变量x取定一个值时,另一个变 量y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的 函数, x是自变量.
目前,我们已经学习了那几种类型的函数?

函 数

一次函数

y=kx+b (k≠0)

(正比例函数) y=kx (k≠0)

篮球运行的路线是什么曲线?

问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可 以表示为 y=6x2①

问题2:多边形的对角线数d与边数n有什么关系? 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.

因为像线段MN与NM那样,连 接相同两顶点的对角线是同一条 对角线,所以多边形的对角线总数

M

N



1 d ? n?n ? 3? 2

1 2 3 d ? n ? n② 2 2

②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.

问题3: 某工厂一种产品今年的年产量是20
件,计划明后两年增加产量.如果每年的增长率为 x,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两 年后的产量为 y ? 20 1? x 2 即

y ? 20 x2 ? 40 x ? 20③

?

?

③式表示了两年后的产量y与增长率x之间的关系, 对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.

观察
函数①②③有什么共同点?

y=6x2①
1 2 3 d ? n ? n② 2 2

y ? 20 x2 ? 40 x ? 20③
y是x的函数吗?y是x的一次函数?

在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,

2、定义:一般地,形如 y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做 x的二次函数。
注意: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变 量x的 二次式

(2)a,b,c为常数,且

a≠0.

(3 )等式的右边最高次数为 2 ,可以没有 一次项和常数项,但不能没有二次项。
(4)二次函数解析式必须是整式。

二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数,a≠0) 其中x是自变量,a为二次项系数,ax2叫做二次项,
b为一次项系数,bx叫做一次项,c为常数项。

二次函数的特殊形式:
– 当b=0时, y=ax2+c – 当c=0时, y=ax2+bx – 当b=0,c=0时, y=ax2

练习:
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? 3x 2 ? 2
1 ( 2) y ? x ? x
2

(是 )

(

否) 是)
(

(3) y ? ( x ? 2)(x ? 3)

(

(4) y ? x 2 ? 2 x ? 3



)

(5) y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ?1)2

(否 )

1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 (1) y=- 2+58 -112

x

x

2、指出下列函数y=ax? +bx+c中的a、b、c

(2)y=x2

(1) y=-3x2-x-1

(2) y=5x2-6

(3) y=x(1+x)

例1、下列函数中,哪些是二次函数?若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1)y=3(x-1)? +1 (2)y=x+ x

(3)s=3-2t?
(5)y= x?-x
1 __

(4)y=(x+3)? -x?
(6)v=10 ? r?

+1 解: (1)y=3(x-1)? =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4

(4) y=(x+3)? -x? =x2+6x+9-x2

即 y=6x+9
不是二次函数.

是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x? 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r? 1 不是二次函数. (2) y=x+ __ 是二次函数. x (3) s=3-2t? 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3

例:若函数y ? (m2 ? 9) x 2 ? (m ? 2) x ? 4是二次函数, 求m的取值范围。
解: 由题意得:

m ?9 ? 0
2

练习:

∴m≠±3
2 2

若函数y ? (m ? 3m ? 4) x ? x ? 4是二次函数, 求m的取值范围。 解: 由题意得: m2 ? 3m ? 4 ? 0
∴m≠-1且m≠4

例:若函数y ? (m ? 1) x
2

m2 ?m

关于x是二次函数,求m的取值范围。 2 ?m ? m ? 2 解:由题意得: ? 2 ?m ? 1 ? 0
?m ? 2或m ? ?1 ?? ?m ? ?1

? m的取值范围是m ? 2

例2.

y = (m + 3)x

m2- 7

(1) m取什么值时,此函数是正比例函数?
(2) m取什么值时,此函数是二次函数?
练习

1.函数

y ? (m ?1) x

m2 ? m

? mx?1

是二次函数, 求m的值。

2 S=4πr

1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m ? n?n ? 1? 即 m ? n ? n 2 2 2

3、菱形的两条对角线的和为26cm,求菱 形的面积S与一对角线x之间的函数的关 系? 解:

1 1 2 s = x( 26 - x ) = - x + 13x 2 2 它是s关于x的二次函数

例题: 正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪 去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分 做一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积S与小正方形边长x之间的函 数关系式;并直接写出x的取值范围。

(2)当小正方形边长为3cm时, 求盒子的表面积。
(3)当表面积为125cm2时,求小正方形的边长.
x x

15

x

x

15

1、下列函数中,(x是自变量),是二次函数 的为( ) C

A

y=ax2+bx+c

C y=x2

B y2=x2-4x+1 1 D y= 2 x

2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数 的条件是( C ) A
B C

m,n是常数,且m≠0
m,n是常数,且n≠0 m,n是常数,且m≠n

D m,n为任何实数

+ 3.如果函数 y = (k - 3) x 0 是关于x二次函数,则k的值是______

k 2- 3k + 2

kx + 1

?

4:要用长为20m的铁栏杆,一面靠墙 (墙足够长) ,围成一个矩形的花圃, 设垂直于墙的一边AB 的长为xm,矩形的 2 面积为y m ,求:(1) 写出y关于x的函数关
系式.
A

(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
D

解: (1) y ? x(20 ? 2 x)

? ?2 x ? 20 x
2
B C

(o<x<10)
2

y ? ?2 ? 3 ? 20 ? 3 ? 42m
2

(2)当x=3时

∴当x=3时,矩形的面积为42m2。

小结

拓展

回味无穷

1.定义:一般地,形如y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项 . y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax? (a≠0,b=0,c=0,).

(2)y=ax? +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax? +bx(a≠0,b≠0,c=0).

2.定义的实质是:ax? +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.


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