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12第十二章 立体几何【讲义】


第十二章 公理 1 公理 2 公理 3 推论 l 推论 2 推论 3 公理 4 定义 1

立体几何

一、基础知识 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记作:a ? a. 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈α ∩β ,则存在唯 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面. 直线与直线外一点确定一个平面. 两条相交直线确定一个平面. 两条平行直线确定一个平面. 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条

一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。

异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都 垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间 的距离. 定义 2 定义 3 定理 1 定理 2 定理 3 定理 4 定义 5 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直. 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这 行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.

点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射 影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 定理 4 定理 5 定理 6 结论 2 定理 7 定义 6 定理 8 定理 9 定义 7 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的一条直线,若 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平行 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相等. 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的棱)所组成的图形叫

c ? b,则 c ? a.逆定理:若 c ? a,则 c ? b.

二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作 棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α 定理 10 定理 11 定理 12 定义 8 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内. 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共边 (称为侧棱)



.

都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底面.如果底面是平行四边形则 叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的 直棱柱叫做长方体.棱长都相等的正四棱柱叫正方体. 定义 9 定理 13 定义 10 定理 14 有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥.底面 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几何体叫做球.定长叫 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆心与球心的连线 是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. V+F-E=2. 做球的半径,定点叫做球心. 与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大圆.经过球面两点的球大圆夹在 两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线.纬线上任意一点与 球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度.用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周 (以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置 不同又分东经和西经. 定理 15 定理 16 定理 17 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截 得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角.其中任意两个角之 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S =4π R2。若一个圆锥的母线长为 l,底 和大于另一个,三个角之和小于 3600.
球面

面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl.

4 3 ?R ;若棱柱(或圆柱)的底面积为 s,高 h,则它 3 1 的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积为 V= sh. 3
定理 18 (体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球= 定理 19 如图 12-1 所示, 四面体 ABCD 中, 记∠BDC=α , ∠ADC=β , ∠ADB=γ , ∠BAC=A, ∠ABC=B, ∠ACB=C。 DH ? 平面 ABC 于 H。 (1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。 (2)正弦定理:

sin ? sin ? sin ? ? ? . sin A sin B sin C
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα .

(3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA.

(4)四面体的体积公式 V =

?

1 DH?S 3

Δ ABC

1 abc 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? cos ? 6 1 ? aa1 d sin ? (其中 d 是 a1, a 之间的距离, ? 是它们的夹角) 6 2 ? S ?S ?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 3a
Δ ABD Δ ACD

二、方法与例题 1.公理的应用。 例1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。

例2

长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件?

2.异面直线的相关问题。 例3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对?

例4

见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。

3.平行与垂直的论证。 例5 A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,求证:四边形 ABCD 是矩形。

例6

一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。

例7

在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,并使 AC=AD,见图 12-6。求证:平面

ABE ? 平面 BCDE。

4.直线与平面成角问题。 例8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正方形沿 EF 折成 120
0

的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角。

例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB ? α 于 B,C 在α 内,且 AC ? OC,∠AOC=α ,∠AOB=β ,∠ BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cosγ .

5.二面角问题。 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=45 ,∠CSB=60 ,二面角 A—SB—C 为直角二面角,求∠
0 0

ASC 的余弦值。

例 11

见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点,沿 CP 将此三角形折

成直二面角 A—CP—B,当 AB=

7 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

6.距离问题。 例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离。

例 13

如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为 4

2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直

于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求点 C 到平面 SEF 间的距离。

7.凸多面体的欧拉公式。 例 14 一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个顶点均有 T 个三角形 面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V。

8.与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个?

9.四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的垂心,二面角 H

—AB—C 的平面角等于 300,SA= 2

3 。求三棱锥 S—ABC 的体积。

例 17

设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长,求证:2d>h.

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法,请读者在解题中认 真总结。 三、基础训练题 1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有__________个. 2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙 的__________条件。 3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则点 P 运动的最大距离 为__________。 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心,G 为棱 CC1 中点,直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α ,β 。则α +β =__________。 5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个。 6.CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将Δ ACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 60 ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。 7.已知 PA ? 平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC= __________。 8. 平面α 上有一个Δ ABC, ∠ABC=105 , AC= 2(
0 0

1 2

AB,则二面角 A—PC—B 的大小为

平面α 6 ? 2) ,

两侧各有一点 S, T, 使得 SA=SB=SC=

41 ,

TA=TB=TC=5,则 ST=_____________. 9.在三棱锥 S—ABC 中,SA ? 底面 ABC,二面角 A—SB—C 为直二面角,若∠BSC=45 ,SB=a,则经过 A,B,
0

C,S 的球的半径为_____________. 10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11.异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ,求证:α //β 。 12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示Δ ABC,Δ SBC,Δ SCA,Δ SAB 的面积, 求证: S 0
2 2 2 ? S12 ? S 2 ? S3 .

13.正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E 在棱 BB1 上,截面 A1EC ? 侧面 AA1C1C, (1)求证:BE=EB1; (2)若 AA1=A1B1, 求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。 四、高考水平训练题 1. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, M 为 A1B1 的中点, N 为 B1C 与 BC1 的交点, 平面 AMN 交 B1C1 于 P, 则

B1 P PC1

=_____________.

2. 空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= _____________. 3.平面α

3 ,且

AD ? BC ,BD=

13 3 ,AC= 2 2
0

,则 AC 与 BD 所成的角为

? 平面β

,α



=直线 AB,点 C∈α ,点 D∈β ,∠BAC=45 ,∠BAD=60 ,且 CD ? AB,则直线
0

AB 与平面 ACD 所成的角为_____________. 4.单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A—BD1—B1 大小为_____________. 5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上,点 B,C,D 都在α 上,且 AB=2AD, ∠DAN=45 , ∠BAD=60 , 若◇ABCD 在半平面β 上射影为为菜, 则二面角α —MN—β =_____________. 6.已知异面直线 a,b 成角为θ ,点 M,A 在 a 上,点 N,B 在 b 上,MN 为公垂线,且 MN=d,MA=m,NB=n。 则 AB 的长度为_____________. 7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=45 ,过点 A 作截面与侧棱 SB,SC 分别交于 M,N,则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________. 8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b,二面角 A—l2—B 大小为θ ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9.在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA,PB,PC,则 PA +PB +PC =_____________. 10.过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈α ,则∠BAC 与∠B1A1C1 的大小关系是 _____________. 11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=90 ,∠ABC=60 ,∠BAD=45 ,二面角 A—CD—B 为直角二面角。 (1)求 直线 AC 与平面 ABD 所成的角; (2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角; (3)二面角 M— AE—B 的大小。 12.四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形,PD ? 底面 ABCD,PD=6,M,N 分别是 PB,AB 的中点, (1 ) 求二面角 M—DN—C 的大小; (2)求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为Δ ABC 的重心,D 为 AB 中点,作与 SC 平行的 直线 DP,证明: (1)DP 与 SM 相交; (2)设 DP 与 SM 的交点为 D ' ,则 D ' 为三棱锥 S—ABC 外接球球心。 五、联赛一试水平训练题 1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5,
0 0 0 2 2 2 0 0 0

41 的三角形四个,边长分别为

5 2, 6

4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_________个四面体。 2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这两个多面体的内切球的半径

之比是一个既约分数

m n

,那么 mn=_________。

3 . 已 知 三 个 平 面 α , β , γ 每 两 个 平 面 之 间 的 夹 角 都 是

??0 ? ? ?

? ?

??
? 2?

, 且

? ??
条件。

=a, ?

?? ? ? ? b, ? ? ? ? c , 命题甲:

?
3

; 命题乙: a,b,c 相交于一点。 则甲是乙的_________

4.棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA ? AB,如果Δ AMD 的面积为 1,则能放入这个棱锥的最大球的半径 为_________. 5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体 的最短棱长为 2,则最远两个顶点间距离为_________。 6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条。 7.一个球与正四面体的六条棱都相切,正四面体棱长为 a,这个球的体积为_________。 8 .由曲线 x =4y,x =-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1 ,满足 x +y ≤ 16,x +(y-2) ≥ 4,x +(y+2) ≥ 4 的 点 (x,y) 组 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 V2 , 则
2 2 2 2 2 2 2 2

V1 ? _________。 V2
9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆 心,AB ? OB,垂足为 B,OH ? PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 C—HPC 体积最大时, OB=_________。 10. OA, OB, OC 是三个互相垂直的单位向量,π 是过点 O 的一个平面, A' , B ' , C ' 分别是 A,B,C 在 π 上的射影,对任意的平面π ,由 OA'
2

?OB' 2 ?OC' 2 构成的集合为_________。
2

11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的四个集合有公共点。 12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=90 ,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是Δ ABC 的垂心,试证:(AB+BC+CA) ≤ 6(AD +BD +CD ),并说明等号成立时是一个什么四面体? 13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直线与四面体的底面 夹角为α ,β ,γ ,求 tan α +tan β +tan γ 之值。 六、联赛二试水平训练题 1.能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四面体? 2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证: cos ?PAQ
2 2 2 2 2 2 0

?

1 . 2

3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ ,这里θ 为已知锐角,试确定∠APC+ ∠BPD 的最大值和最小值。 4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D,使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。 5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1,D1 分别为垂足) 。三条高上的内点 A2, B2,C2 满足 AA2:AA=BB2:B2B1=CC2:C2C1=2:1。证明:H,A2,B2,C2,D1 在同一个球面上。 6.设平面α ,β ,γ ,δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A,B,C,D。证明:如果平面α 与β 的交 线与直线 CD 共面,则γ 与δ 的交线与直线 AB 共面。


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