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2016-2017年《金版学案》数学·必修1(苏教版)习题:章末知识整合1 Word版含解析

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章末知识整合
一、元素与集合的关系 [例 1]
? ? 6 ? 设集合 B=?x∈N?2+x∈N?. ? ? ?

(1)试判断 1 和 2 与集合 B 的关系; (2)用列举法表示集合 B. 解:(1)当 x=1 时, 当 x=2 时, 6 =2∈N,所以 1∈B. 2+1

6 3 = ?N,2?B. 2+2 2

6 6 (2)令 x=0,1,2,3,4,代入 ,检验 ∈N 是否成立, 2+x 2+x 可得 B={0,1,4}. 规律方法 1.判断所给元素 a 是否属于给定集合时,若 a 在集合内,用符 号“∈” ;若 a 不在集合内,用符号“?” . 2.当所给的集合是常见数集时,要注意符号的书写规范. [即时演练] 1.已知集合 A={x|ax2-3x+2=0}.

(1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求实数 a 的值,并把这个元素写出来. 解:(1)A=?,则方程 ax2-3x+2=0 无实根, 9 即 Δ=9-8a<0,所以 a> . 8
? ? 9? 所以 a 的取值范围是?a?a>8?. ? ? ?

(2)因为 A 中只有一个元素,
?2? 所以①a=0 时,A=?3?满足要求. ? ?
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②a≠0 时,则方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实根. 故 Δ=9-8a=0,
?4? 9 所以 a= ,此时 A=?3?满足要求. 8 ? ?

9 综上可知:a=0 或 a= . 8 二、集合与集合的关系 [例 2] A={x|x<-1 或 x>2},B={x|4x+p<0},当 B?A 时,求

实数 p 的取值范围. 分析:首先求出含字母的不等式,其次利用数轴解决. p? ? ? 解:由已知解得,B=?x?x<-4?.
? ? ?

又因为因为 A={x|x<-1 或 x>2},且 B?A, p 利用数轴所以- ≤-1. 4 所以 p≥4, 故实数 p 的取值范围为{p|p≥4}. 规律方法 1.在解决两个数集的包含关系问题时,避免出错的一个有效手 段是合理运用数轴帮助分析与求解. 2.注意端点值的取舍,这是同学易忽视失误的地方. [即时演练] 2.设集合 P={(x,y)|x+y<4,x,y∈N*},则集合 P )

的非空子集的个数是(

A.2 B.3 C.7 D.8 解析:当 x=1 时,y<3,又 y∈N*,因此 y=1 或 y=2;当 x=2 时,y<2,又 y∈N*,因此 y=1;当 x=3 时,y<1,又 y∈N*,因此 这样的 y 不存在;当 x≥4 时,y<0,也不满足 y∈N*.
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综上所述,集合 P 中的元素有(1,1),(1,2),(2,1),所以 P 的非空子集的个数是 23-1=7.故选 C. 答案:C 三、集合的运算 [例 3] A∪B, 分析:先确定集合 A,B,然后讨论 a 的范围对结果的影响. 解:A={x|x-2>3}={x|x>5}, B={x|2x-3>3x-a}={x|x<a-3}. 借助数轴表示如图所示. 已知集合 A= {x|x-2>3},B= {x|2x-3>3x-a},求

(1)当 a-3≤5,即 a≤8 时, A∪B={x|x<a-3 或 x>5}. (2)当 a-3>5,即 a>8 时, A∪B={x|x>5}∪{x|x<a-3}={x|x∈R}=R. 综上可知,当 a≤8 时,A∪B={x|x<a-3 或 x>5}; 当 a>8 时,A∪B=R. 规律方法 解集合问题关键是读懂集合语言, 明确意义, 用相关的代数或几 何知识进行解决. [即时演练] 3.设集合 A={x||x|<4},B={x|x2-4x+3>0},则集

合?A(A∩B)=________. 解析:因为 A={x|-4<x<4},B={x|x<1 或 x>3}, 所以 A∩B={x|-4<x<1 或 3<x<4}. 所以?A(A∩B)={x|1≤x≤3}.
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答案:{x|1≤x≤3} 四、利用集合的运算求参数 [例 4] 设集合 M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈ R},若 M∪N=M,求实数 t 的取值范围. 分析:由 M∪N=M,知 N?M.根据子集的意义,建立关于 t 的 不等式关系来求解. 解:由 M∪N=M 得 N?M, 1 故当 N=?,即 2t+1≤2-t,t≤ 时,M∪N=M 成立. 3 2-t<2t+1, ? ? 1 当 N≠?时,由数轴图可得?2t+1≤5, 解得 <t≤2. 3 ? ?2-t≥-2,

综上可知,所求实数 t 的取值范围是{t|t≤2}. 规律方法 1.用数轴表示法辅助理解,若右端点小于等于左端点,则不等 式无解, N=?. 2.列不等式组的依据是左端点小于右端点,即 2t+1 在 5 的左 侧(相等时也符合题意),2-t 在-2 的右侧(相等时也符合题意). [即时演练] 1}. (1)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:(1)A∩B=B?B?A, 当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B?A; 当 m+1≤2m-1 时,要使 B?A.
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4.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-

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m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤5, ?2≤m≤3. ? ?m+1≤2m-1 综上,m 的取值范围为{m|m≤3}. (2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 A∩B=?; 当 B≠?时,要使 A∩B=?,
? ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, ? 则必须? 或? ?m>4. ? ? ?2m-1<-2 ?m+1>5

综上,m 的取值范围是{m|m<2 或 m>4}. 五、集合的实际应用 [例 5] 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,

每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数 分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加 物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有________ 人. 分析: 每名同学 画出相 根据全班有 至多参加 ―→ 应的 ―→ 36名同学列 ―→ 得答案 两个小组 Venn图 等式 解析: 设参加数学、 物理、 化学小组的人数构成的集合分别为 A, B,C,同时参加数学和化学小组的有 x 人,由题意可得如图所示的 Venn 图.

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由全班共 36 名同学可得(26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4- x)+x=36, 解得 x=8,故同时参加数学和化学小组的有 8 人. 答案:8 规律方法 解决有关集合的实际应用题时, 首先要将文字语言转化为集合语 言,然后结合集合的交、并、补运算来处理.此外,由于 Venn 图简 明、直观,因此很多集合问题往往借助 Venn 图来分析. [即时演练] 5.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜

爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜欢,则喜爱篮球运动但不喜 爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设 A,B 分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成 的集合,集合 U 表示全班人数构成的集合. 设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有 x 人. 依题意, 画出如图所示 的 Venn 图.

根据 Venn 图,得 8+x+(15-x)+(10-x)=30. 解得 x=3. 故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12. 答案:12

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