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北京市通州区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】

2017-2018 学年北京市通州区高三(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 2 1.已知集合 A ? x ? Z x ? 2 x ? 0 ,集合 B ? ??1 , 0, 1? ,那么 A ? B ? () ? ? A. ??1? B. ?0, 1 ? C. ?0, 1 , 2? D. ??1 , 0, 1 , 2? 2.已知点 P 2, 2 2 为抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上一点,那么点 P 到抛物线准线的距离是() A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 ? ? 3.一个算法的程序框图如图所示,如果输出 y 的值是 1 ,那么输入 x 的值是() A. ? 2 或 2 B. ? 2 或 2 C. ? 2 或 2 D. 2 或 2 4.已知 a ? R ,那么“直线 y ? ax ? 1 与 y ? ?4ax ? 2 垂直”是“ a ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 1 ”的() 2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1,a2,a5 成等比数列,那么数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 等于() A. 90 B. 100 C. 10 或 90 D. 10 或 100 6.已知 a、b ? R,a ? b ? 0 则下列不等式一定成立的是() A. 1 1 ? a b B. tan a ? tan b C. log2 a ? log2 b D. a ? 2 ?b ? b ? 2? a ?x ? 2 ? 0 ??? ? ??? ? ? 7.已知点 A ? 2, ?1? ,点 P ? x,y ? 满足线性约束条件 ? y ? 1 ? 0 , O 为坐标原点,那么 OA ? OP 的最 ?x ? 2 y ? 4 ? 小值是() A. 11 B. 0 C. ? 1 D. ? 5 8.如图,各棱长均为 1 的正三棱柱 ABC ? A ,M、N 分别为线段 A1B,B1C 上的动点,若点 M 、N 1B 1C1 所在直线与平面 ACC1 A1 不相交,点 Q 为 MN 中点,则 Q 点的轨迹的长度是() A. 2 2 B. 3 2 C. 1 D. 2 第 1 页(共 18 页) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知复数 2i ? a 的实部与虚部相等,那么实数 a ? __________. i 10.二项式 ? 2 x ? ? ? 1? ? 的展开式中常数项是_________. x? ? ? 6 11.在极坐标系中,已知点 A 是以 ? 2, 是_________. ?? ? 为圆心, 1 为半径的圆上的点,那么点 A 到极点的最大距离 6? 12 .已知点 P 的坐标是 4 3, 1 ,将 OP 绕坐标原点 O 顺时针旋转 _________. ? ? ? 至 OQ ,那么点 Q 的横坐标是 3 13.在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.已知小正方形网格的边长为 1 ,那么该四面体的四个 面中,面积最大的面的面积是_________. ?2 x ? a,x ? 2 14.已知函数 f ? x ? ? ? 无零点,那么实数 a 的取值范围是_________. ?a ? x,x ? 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin ? ?? ? ? 2x ? . ?2 ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0, ? ? ?? 2? ? 上的最大值和最小值. 第 2 页(共 18 页) 16. (本小题满分 13 分) 某次有 600 人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如图所示,规定 85 分及其以上为优秀. 区间 人数 ?75, 36 80? ?80, 85? ?85, 90? ?90, 95? ?95, 100? 50 114 244 156 (Ⅰ)现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数; (Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的 20 名学生中,要随机选取 2 名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为 X , 求 X 的分布列与数学期望. 第 3 页(共 18 页) 17. (本小题满分 14 分) ABCD ,地面 ABCD 为梯形, AD / / BC , 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,侧棱 AA 1 ? 底面 AB ? DC ? 2,AD ? AA1 ? 1 BC ? 2 ,点 P、Q 分别为 A1D1,AD 的中点. 2 (Ⅰ)求证: CQ / / 平面 PAC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AP ? D 的余弦值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 E ,使 PE 与平面 PAC1 所成角的正弦值是 若不存在,请说明理由. 2 14 ,若存在,求 BE 的长; 21 第 4 页(共 18 页) 18. (本小题满分 13 分) x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ? 0, ?1? ,离心率 e ? . a b 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点 P(m,0) P ? m, 0? ,过点 ?1 , 0? 作斜率为 k ? k ? 0? 直线 l ,与椭圆交于 M ,N 两点, 若 x 轴平分 ?MPN ,求 m 的值. 第 5 页(共 1

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