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初等数论中的重要定理--高中数学竞赛

初等数论的重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数 的 , 的剩余,即 且对于任意的 。并定义 ,若 称为是模 的既约剩余系,如果对任意 是 对模 =1,则有且仅有一个 中和 互质的数的个数, 称为欧拉(Euler)函数。 这是数论中的非常重要的一个函数, 显然 中与 互素的数的个数,比如说 , 而对于 , 。 就是 1,2, …, 是素数,则有 引理: ;可用容斥定理来证(证明略)。 定理 1:(欧拉(Euler)定理)设 =1,则 。 分析与解答:要证 我们想到 中与 互质的 互质的 ,我们得设法找出 的个数: 个 相乘,由 ,由于 个数 =1,从而 也是与 个数,且两两余数不一样,故 ( ),而( )=1, 故 。 证明:取模 于 与 互质,故 的一个既约剩余系 仍与 互质,且有 ,考虑 ,由 ,于是对每 1 个 都能找到唯一的一个 , 使得 , 这种对应关系 是一一的,从而 , 。 , ,故 。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法, 使用一组剩余系, 然后乘一个数组组成另外一组剩 余系来解决问题。 定理 2:(费尔马(Fermat)小定理)对于质数 及任意整数 有 。 设 为质数, 若 是 的倍数, 则 , 。 若 不是 的倍数, 则 ,由此即得。 由引理及欧拉定理得 定理 推论:设 为质数, 是与 互质的任一整数,则 。 定理 3:(威尔逊(Wilson)定理)设 为质数,则 。 分析与解答:受欧拉定理的影响,我们也找 个数,然后来对应乘法。 证明:对于 则好是 ,在 的一个剩余系去 0。 中,必然有一个数除以 余 1,这是因为 从而对 ,使得 ; 若 对于 , ,有 中数可两两配对,其积除以 ,则 , 。即对于不同的 对应于不同的 ,故 ,即 余 1,然后有 ,使 ,即与它自 2 己配对,这时 或 。 , , 或 , 除 外, 别的数可两两配对, 积除以 余 1。 故 。 定义:设 为整系数多项式( ( ),我们把含有 的一组同余式 均为 的一次整系 )称为同余方组程。特别地,,当 数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数 同时满足: ,则剩余类 余方程组的一个解,写作 (其中 )称为同 定理 4:(中国剩余定理)设 ,一次同余方程组 是两两互素的正整数,那么对于任意整数 , 必有解,且解可以写为: 这里 (即 为 , 对模 的逆)。 ,以及 满足 , 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解,而对于解的 形式并不重要。 定理 5: (拉格郎日定理) 设 是一个模 是质数, 是非负整数, 多项式 ),则同余方程 至多 为 次的整系数多项式(即 有意义的情况下)。 有 个解(在模 3 定理 6:若 为 对模 数。 的阶, 为某一正整数,满足 ,则 必为 的倍 以上介绍的只是一些系统的知识、方法,经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外 还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用,有时也会起到 意想不到的作用,如: 只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。 典例分析 , 。这里我们 例 1.设 ,求证: 。 证明:因为 ,故由 知 ,从而 , 。 ,但是 , ,故由欧拉定理得: 从而 ;同理, 于是, ,即 。

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