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【精品】2019年人教版高中数学选修2-2同步教学课件★1.6 微积分基本定理_图文

【精品】2019年人教版高中数学选修2-2同步教学课件★ 1.6 微积分基本定理 习 题 1. 微积分基本定理是怎样的? 2. 怎样用微积分基本定理求定积分? 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) ?? (2) x dx ; ?1 x dx . 1 (1) n 0 3 i ? 1)3 ? 1 x dx ? lim ( ? ??1 n?? i ?1 n n 3 2 n i 3 i 3 i 1 ? lim ? ( 3 ? 2 ? ? 1)? n ? ? i ?1 n n n n ? lim[ 13 (13 ? 23 ? ?? n3 ) ? 32 (12 ? 22 ? ?? n2 ) n? ? n n 1 ? 3 (1 ? 2 ? ?? n) ? (1 ? 1 ? ? ? 1 )] ? ?? ?? ? n n n个 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ? lim[ (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(2 ? ) ? 1] ? ? . n? ? 4 n 2 n 2 n n 4 问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) ?? (2) x dx ; ?1 x dx . 1 n 1 1 1 (2) ? ? lim ? i ? 1 n n?? i ?1 n ? i n 1 1 1 ? lim ( ? ? ?? ) n? ? n ? 1 n ? 2 n? n ?? (1) 题计算较繁, (2) 题甚至无法算出. n 21 lim ? ?1 x dx ? n ? ? i ?1 出现问题: 求定积分是否有其它方法 问题2. 一物体作变速直线运动的运动函数是 y?y(t), 那么这个物体在时间段 [a, b] 内的位移是多少? y?y(t) 的导数 y?(t) 的物理意义是什么? 物体在时间段 [a, b] 内的位移 s?y(b)?y(a). y?y(t) 的导数 y?(t) 是这物体的速度函数, 即 v(t)?y?(t). 问题3. 一物体作变速直线运动的速度是 v?v(t), 那 b 么这个函数的定积分 ?a v(t )dt 的物理意义是什么? b ?a v(t )dt 表示物体在时间段 b s ? ?a v(t )dt. b ?a v(t )dt ? [a, b] 内的位移, 即 问题4. 由 “问题2” 与 “问题3” 你能得到什么结论? y(b) ? y(a), 其中 v(t)?y?(t). 【微积分基本定理】 (牛顿-莱布尼兹公式) 一般地, 如果 f(x) 是区间 [a, b] 上的连续函数, 并且 F?(x)?f(x), 那么 b ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a). 为了方便, 常把 F(b)?F(a) 记成 F ( x)|b a, 即 b b f ( x ) dx ? F ( x ) | ?a a ? F (b) ? F (a ). 微积分基本定理的几何意义: y y?F(x) 函数 y?F(x) 如图, Q B 取小区间 [xi?1, xi], D h △ si (1) F ?( xi ?1 ) ? CD ? i , hi PC ?x P C A △x 得 hi?F?(xi?1)△x. (2) F(xi)?F(xi?1)? AB ?△si. 必然 ? hi ? ? ?si 的误差很小, 即 即 i ?1 n n O xi?1 xi x 当 △x 很小时, DQ 很小, 即 hi≈△si 误差很小. ? F ?( xi ?1 )?x ? ?[F ( xi ) ? F ( xi ?1 )] 的误差很小. i ?1 n n i ?1 i ?1 n 当 △x→0, 即 n→∞ 时, 左右相等, n b lim ? F ?( xi ?1 )?x ? ?a F ?( x)dx ? ?[F ( xi ) ? F ( xi ?1 )] ? F (b) ? F (a). n?? i ?1 i ?1 根据微积分基本定理, 求定积分的关键是找到哪 样的一个函数 F(x) 的导数等于被积函数 f(x). 我们可以由基本初等函数的求导公式以及导数的 四则运算反方向去寻求 F(x). 例1. 计算下列定积分: 3 1 21 (1) ?1 dx; (2) ?1 (2 x ? 2 )dx. x x 解: (1) ? (ln x)? ? 1 , x 21 2 ?ln2?ln1 ?ln2. ? ?1 dx ? ln x |1 x 根据微积分基本定理, 求定积分的关键是找到哪 样的一个函数 F(x) 的导数等于被积函数 f(x). 我们可以由基本初等函数的求导公式以及导数的 四则运算反方向去寻求 F(x). 例1. 计算下列定积分: 3 1 21 (1) ?1 dx; (2) ?1 (2 x ? 2 )dx. x x 解: (2) ? ( x 2 ? 1 )? ? 2 x ? 12 , x x 3 3 ? ?1 (2 x ? 12 )dx ? ( x 2 ? 1 ) |1 x x ? (32 ? 1 ) ? (12 ? 1) 3 1 22 ? . 3 例2. 计算下列定积分: ? 2? 2? sin xdx , sin xdx , ?0 ?? ?0 sin xdx. 解: ∵ (?cosx)??sinx, ? y ?? sin xdx ? 0 2? ? ?0 sin xdx ? (? cos x)|? 0 1 ?(?cos?)?(?cos0) O ?1 ?2; 2? sin xdx ? ( ? cos x ) | ?? ? ?(?cos2?)?(?cos?) 2? ? ? ?0 sin xdx ? 0 2? x ? ?2; 2? 2? ?0 sin xdx ? (? cos x)|0 ?(?cos2?)?(?cos0) ? 0. 问: 定

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