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2014高考汇编解析几何



H 单元 解析几何



H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14. 、[2014· 湖北卷] 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b),例 a+b 如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数. 2 (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; 2ab (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 . a+b (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 14.(1) x (2)x(或填(1)k1 x;(2)k2x,其中 k1,k2 为正常数) x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的 a 两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x 3 (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 a 2 |MF| N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c 1 1 ,- ?. 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? 2 2 a? ? a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? - - a ? 2a? 3 c? ? 则 A?c,a?,所以 kAB= = . c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 3 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x= 的交点为 2 3 y ? 0 ? 3 x -3 3 2 0 N , , 2 3y0
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(2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = 2= 2 2= |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = ,为定值. 2= ? 2 2= ? 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3

x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端 a b 点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3
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? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. | PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21. 、 、[2014· 全国卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 21.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x, 4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4),
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4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 故线段 MN 的中点为 E? ?m2+2m +3,-m?, |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. H3 圆的方程 x2 9. 、[2014· 福建卷] 设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大 10 距离是( ) A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 9.D H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 → 10. 、[2014· 安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 Q 满足OQ= → 2(a+b).曲线 C={P|OP=acos θ +bsin θ ,0≤θ<2π },区域Ω ={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( ) A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 10.A

19. 、 、[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2 =2 的位置关系,并证明你的结论.
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x2 y2 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程, 2 得 t=± 2, 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t), x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 |2x0-ty0| d= . (y0-2)2+(x0-t)2 2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

d=

?2x0+2y0? x0 ? ?
2 x2 0+y0+

2

= 4y2 0 2 +4 x0

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 6. 、[2014· 福建卷] 直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的 1 面积为 ”的( 2 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6.A 12.[2014· 湖北卷] 直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧, 则 a2+b2=________. 12.2 15. 、[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹 角的正切值等于________.

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4 15. 3 15.[2014· 山东卷] 已知函数 y=f(x)(x∈R),对函数 y=g(x)(x∈I),定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 为函数 y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若 h(x) 是 g(x)= 4-x2关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”, 且 h(x)>g(x)恒成立, 则实数 b 的取值范围是________. 15.(2 10,+∞) 12.[2014· 陕西卷] 若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 ________. 12.x2+(y-1)2=1 14. ,[2014· 四川卷] 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|?|PB|的最大值是________. 14.5 13.[2014· 重庆卷] 已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且 △ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 13.4± 15 x2 y2 21. ,[2014· 重庆卷] 如图 14 所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭 a b |F1F2| 2 圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并 分别过不同的焦点,求圆的半径.

图 14 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F1| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0, 2
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y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|= 2|x1|.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2 得-(x1 2 x1 4 2 2 +1)2+y2 1=0.由椭圆方程得 1- =(x1+1) ,即 3x1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 2 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 2 由 F1P1, F2P2 是圆 C 的切线, 且 F1P1⊥F2P2, 知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|, 故圆 C 的半径|CP1|= |P1P2| 2 4 2 = 2|x1|= . 3 H5 椭圆及其几何性质 x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端 a b 点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
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其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. | PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| y2 14.[2014· 安徽卷] 设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 b E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 3 14.x2+ y2=1 2

19. 、 、[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2 =2 的位置关系,并证明你的结论.
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x2 y2 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程, 2 得 t=± 2, 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t), x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 |2x0-ty0| d= . (y0-2)2+(x0-t)2 2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

d=

?2x0+2y0? x0 ? ?
2 x2 0+y0+

2

= 4y2 0 2 +4 x0

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. x2 9. 、[2014· 福建卷] 设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大 10
2 2

距离是(

)

A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 9.D [解析] 设圆心为点 C,则圆 x2+(y-6)2=2 的圆心为 C(0,6),半径 r= 2.设点 Q(x0,y0)是椭 x2 0 2 圆上任意一点,则 +y2 =1,即 x2 0=10-10y0, 10 0
2 2 ∴|CQ|= 10-10y2 0+(y0-6) = -9y0-12y0+46=

2 2 y0+ ? +50, -9? 3? ?

2 当 y0=- 时,|CQ|有最大值 5 3 则 P,Q 两点间的最大距离为 5

2, 2+r=6
2 2

2.

x y 5 20. 、[2014· 广东卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 . a b 3
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(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. π 9. 、 [2014· 湖北卷] 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且∠F1PF2= , 3 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 4 3 2 3 A. B. C.3 D.2 3 3 9.A x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b 2 2 x y 3 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= ,且 a b 2 |F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四 边形 APBQ 面积的最小值.

图 17 2 a -b a +b 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b, 2 a a 2 4
2 2 2

0),

x2 x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1, - 2 2 y2=1.

x=my-1, ? ?2 (2)因 AB 不垂直于 y 轴, 且过点 F1(-1, 0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1, 由?x 得(m2 2 + y = 1 ?2 ? +2)y2-2my-1=0. 2m 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1, y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2= 2 , m +2 -1 y1y2= 2 . m +2 -4 m ? m ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的斜率为- , 2 m + 2 m + 2 m +2 ? ?
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m PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得 (2 -m2)x2 = 4 ,所以 2 - m2>0 ,且 x2 = ,从而 |PQ|= 2 x2+y2 = 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d= . 2-m2 m2+4

? ? ?

因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+ (m2+2)|y1-y2| 2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4 2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m2+2 m2+4 2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2 2 - m2 2-m 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 1 x2 y2 15.[2014· 江西卷] 过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点, 2 a b 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 15. 2 2

x2 y2 15.[2014· 辽宁卷] 已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分 9 4 别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=______. 15.12 20. 、[2014· 辽宁卷] 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积 x2 y2 最小时,切点为 P(如图 16 所示).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b

图 16 (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x0 x0 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0), y0 y0 4 4 ? ? ? 即 x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ?x0,0?,?0,y0?.故其围成的三角形的面积 1 4 4 8 2 S= ? ? = .由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知,当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 有最大值 2,此时 S 有最小值 4,因 2 x0 y0 x0y0 此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ?a2-b2=1, 由题意知?

?a2+b2=3a2, ?

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y2 解得 a2=1,b2=2,故 C1 的方程为 x2- =1. 2

x2 y2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),由此可设 C2 的方程为 2+ 2=1,其中 b1>0. 3+b1 b1 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 + 2=1, b 3+b2 1 1 解得 b2 1=3, x2 y2 因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0. 设直线 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. ? 6 + 3 =1, ? 又 y1,y2 是方程的根,因此 2 3m y1+y2=- 2 , ① m +2

? ? ? -3 yy= ? ? m +2,
1 2 2

② 由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 x1+x2=m(y1+y2)+2 3= 2 , m +2

? ? ? ? ?x x =m y y +
2



6-6m2 3m(y1+y2)+3= 2 . ④ 1 2 1 2 m +2 → → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP?BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2 x2 y2 3 6.[2014· 全国卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直线 a b 3 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x y x A. + =1 B. +y2=1 3 2 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 12 8 12 4 6.A x2 y2 3 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 a b 2 2 3 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
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2 2 2

)

2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 8k±2 4k2-3 x1,2= , 4k2+1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2| = 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 . k +1
2

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 x2 y2 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上 a b 一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 2 2 2 2 将 b =a -c 代入 2b =3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的 b2 中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

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?2(-c-x1)=c, ? ?x1=-2c, ? ? 即? ?-2y1=2, ? ?

3

?y1=-1. 9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 将①及 c= a2-b2代入②得 + =1, 4a2 4a 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.
x2 y2 x2 y2 10. ,[2014· 山东卷] 已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 a b a b C2 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 )

A. x± 2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 10 . A [ 解 析 ] 椭 圆 C1 的 离 心 率 e1 = b?2 1-? ?a? ? a2-b2 a2+b2 , 双 曲 线 C2 的 离心 率 e2 = . 由 e1e2 = a a

a2-b2 a2+b2 ? = a a

b?2 3 1+? ?a? = 2 ,

b?2 1 b 2 2 解得? = ,所以 = ,所以双曲线 C 2 的渐近线方程是 y=± x.故选 A. a ? ? 2 a 2 2 y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 a b C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右 顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8 k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4
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?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?
?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ? ?y=-x +1(y≤0),

2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 a b C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右 顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8 k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4
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?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?
?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ? ?y=-x +1(y≤0),

2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. x2 y2 18. 、[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B. a b 已知|AB|= 3 |F F |. 2 1 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相 切,求直线 l 的斜率. 18.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2

c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 所以椭圆的离心率 e= 2 . 2

(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), → → 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点 P 在椭圆上, x2 y2 0 0 所以 2+ 2=1.② 2c c

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4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= ,即点 P 的坐标为 3 3

?-4c,c?. ? 3 3?
4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设 圆 的 圆 心 为 T(x1 , y1) , 则 x1 = = - c , y1 = = c,进而圆的半径 r= 2 3 2 3 (x1-0)2+(y1-c)2= 5 c. 3

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3? |kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k, 依题意, 直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切, 可得 2 =r, 即 k +1 k2+1
= 5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

x2 y2 21. 、[2014· 浙江卷] 如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P, a b 且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

图 16 y=kx+m, ? ? 21.解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),由?x2 y2 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2- + = 1 , 2 2 ?a b ? 2 2 a b =0. a2km b2m 由于 l 与 C 只有一个公共点, 故 Δ=0, 即 b2-m2+a2k2=0, 解得点 P 的坐标为?-b2+a2k2,b2+a2k2?. ? ? 2 2 bm ? ? -a k 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P? 2 2 2, 2 2 2?. b +a k ? ? b +a k (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离 d= 2 2 ? -a k + b k ? ? 2 22 ? b2+a2k2? ? b +a k , 1+k2 a2-b2 整理得 d= 2. 2 2 2 2 b b +a +a k + 2 k 2 a2-b2 a2-b2 2 2 b 因为 a k + 2 ≥2ab,所以 ≤ 2 =a-b, k b2 b +a2+2ab b2+a2+a2k2+ 2 k b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b. x2 y2 21. ,[2014· 重庆卷] 如图 14 所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭 a b
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|F1F2| 2 圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并 分别过不同的焦点,求圆的半径.

图 14 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F1| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0, 2 y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|= 2|x1|.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2 得-(x1 x2 4 1 2 2 +1)2+y2 1=0.由椭圆方程得 1- =(x1+1) ,即 3x1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 2 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 2 由 F1P1, F2P2 是圆 C 的切线, 且 F1P1⊥F2P2, 知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|, 故圆 C 的半径|CP1|= |P1P2| 2 4 2 = 2|x1|= . 3 H6 双曲线及其几何性质 π 9. 、 [2014· 湖北卷] 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且∠F1PF2= , 3 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

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4 3 A. 3 9.A

2 3 B. 3

C.3 D.2

y2 11. [2014· 北京卷] 设双曲线 C 经过点(2, 2), 且与 -x2=1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为________; 4 渐近线方程为________. x2 y2 11. - =1 y=± 2x 3 12 9.[2014· 全国卷] 已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos ∠AF2F1=( ) 1 1 2 2 A. B. C. D. 4 3 4 3 9.A x2 y2 19. 、[2014· 福建卷] 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. a b (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图 16,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且 △OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

图 16 19.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以 =2, a 所以 c2-a2 =2, a

故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 c e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C.
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当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB 的面积 为 8,

1 所以 |OC|?|AB|=8, 2 1 因此 a?4a=8,解得 a=2, 2 x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m ? 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2).
?y=kx+m, ? 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ? y = 2 x ?

1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - - ? =8, 2? k ? ?2-k 2+k? 即 m2=4|4-k |=4(k2-4). y=kx+m, ? ?2 2 由?x y 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. ? 4 -16=1 ?
2

因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法二:(1)同方法一. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得- <m< . 2 2

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? ?x=my+t, -2t 2t 由? 得 y1= , 同理得 y2= . 1 - 2 m 1 +2m ?y=2x ?

设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 2t 2t 1 1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|=8,得 |t|??1-2m+1+2m?=8. 2 2 ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). x=my+t, ? ? 2 由?x 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. y2 - = 1 2 2 ?a 4a ? 因为 4m2-1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0, 即 4m2a2+t2-a2=0, 即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以 a2=4, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得 k>2 或 k< -2.
? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, ?4x -y =0 ?

-m2 因为 4-k <0,Δ>0,所以 x1x2= , 4-k2
2

又因为△OAB 的面积为 8, 1 4 所以 |OA|?|OB|? sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB= , 2 5 2 2 所以 x2 +y2? x2 2+y2=8,化简得 x1x2=4. 5 1 1 -m2 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 4-k2 x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a 4a y=kx+m, ? ? 由?x2 y2 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. ? ?a2-4a2=1 因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4, x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: - =1 有且只有 4 16 一个公共点. x2 y2 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 x2 y2 4.[2014· 广东卷] 若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9
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)

A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 4.A [解析] 本题考查双曲线的几何性质,注意利用基本量的关系进行求解. ∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0. x2 y2 对于双曲线 - =1, 25 9-k 其焦距为 2 25+9-k=2 34-k; x2 y2 对于双曲线 - =1, 25-k 9 x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b 2 2 x y 3 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= ,且 a b 2 |F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四 边形 APBQ 面积的最小值. 其焦距为 2 25-k+9=2 34-k.所以焦距相等.

图 17 2 a -b a +b 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b, 2 a a 2 4
2 2 2

0),

x2 x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1, - 2 2 y2=1.

x=my-1, ? ?2 (2)因 AB 不垂直于 y 轴, 且过点 F1(-1, 0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1, 由?x 得(m2 2 + y = 1 ?2 ? +2)y2-2my-1=0. 2m 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1, y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2= 2 , m +2

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y1y2=

-1 . m2+2 -4 m ? m ? -2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的斜率为- , 2 2 m +2 ?m +2 m +2?

因此 x1+x2=m(y1+y2)-2=

m PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得 (2 -m2)x2 = 4 ,所以 2 - m2>0 ,且 x2 = ,从而 |PQ|= 2 x2+y2 = 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d= . 2-m2 m2+4

? ? ?

因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+ (m2+2)|y1-y2| 2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4 2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2d= . 2 m +2 m2+4 2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2 2 - m2 2-m 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的 a 两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x 3 (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 a 2 |MF| N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c? 1 1 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? ?2,-2a?. a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -?-2a? a c 3 c, ?,所以 kAB= 则 A? = . ? a? c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3
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x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 3 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x= 的交点为 2 3y0 ? ? 3 x -3 3 2 0 N , , 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = = 2= 2 2 |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = ,为定值. 2= ? 2 2= ? 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3

4.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐 近线的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3m D.3m 4.A x2 y2 x2 y2 10. ,[2014· 山东卷] 已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 a b a b C2 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 )

A. x± 2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 10.A x2 y2 5.[2014· 天津卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的 a b 一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y x y A. - =1 B. - =1 5 20 20 5 3x2 3y2 3x2 3y2 C. - =1 D. - =1 25 100 100 25 x2 y2 16.[2014· 浙江卷] 设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 a b A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 5 16. 2 5.A
2 2 2 2

)

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x2 y2 8.[2014· 重庆卷] 设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使 a b 9 得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( ) 4 4 5 9 A. B. C. D.3 3 3 4 8.B

H7 抛物线及其几何性质 - 10. 、[2014· 广东卷] 曲线 y=e 5x+2 在点(0,3)处的切线方程为________. 10.y=-5x+3 10.[2014· 辽宁卷] 已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限 相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 3 10.D 10.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 → → PF 与 C 的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=( 7 A. B.3 2 5 C. D.2 2 10.B 19. 、[2014· 安徽卷] 如图 14,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点. )

图 14 (1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点,记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1
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S1 与 S2,求 的值. S2 19.解:(1)证明:设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),
?y=k1x, ? 2p1 2p1? , 则由? 2 得 A1? k1 ?, ? k2 1 ? ?y =2p1x, ?y=k1x, ? 2p2 2p2? , 由? 2 得 A2? k2 k1 ?. ? 1 ?y =2p2x, ?

2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? ? k2 , k ?,B2? k2 , k ?.
2 2 2 2

2p1 2p1 2p1 2p1? → ?1 1 1 1? 所以A1B1=? ? k2 - k2 , k - k ?=2p1?k2-k2,k -k ?,
2 1 2 1 2 1 2 1

2p2 2p2 2p2 2p2? → ?1 1 1 1? A2B2=? ? k2 - k2 , k - k ?=2p2?k2-k2,k -k ?.
2 1 2 1 2 1 2 1

→ p1 → 故A1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2 p2 (2)由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2,所以△A1B1C1∽△A2B2C2, → S1 ?|A1B1|?2 因此 =? . S2 → ? ?|A2B2|? → |A1B1| p1 → p1 → 又由(1)中的A1B1= |A2B2|知, = , p2 p → |A2B2| 2 S1 p2 1 故 = 2. S2 p2 21. 、 、[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时 k 的相应取值范围. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). ?4x,x≥0, ? 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ? ?0,x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ?y-1=k(x+2), ? 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ?y =4x, ? 1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ? ?Δ <0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k> . 2 ? ?x0<0,
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1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点.故此时直线 l 与 轨迹 C 恰好有一个公共点. ?Δ =0, ? ?Δ >0, ? (ii)若? 或? ? ? ?x0<0, ?x0≥0, 1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点. ? ? 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 1 1? ? - ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 故当 k∈? 2? ? 2 ? ? ?Δ >0, ? 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 ? x <0 , ? 0 1? ? 1? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 1 ? ? 综上可知, 当 k∈(-∞,-1)∪? 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k∈? ?2,+∞?∪{0}时, ?-2,0? 1? 1? ? 1? ? ∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有 ? ? 三个公共点. 15.[2014· 湖南卷] 如图 14,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD b 2 的中点,抛物线 y =2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =________. a

图 14 a 2 ? ?a ? ?a ? 15.1+ 2 [解析] 依题意可得 C? ?2,-a?,F?2+b,b?,代入抛物线方程得 a=p,b =2a?2+b?, b? b b 化简得 b2-2ab-a2=0,即 2-2? ?a?-1=0,解得a=1+ 2. a 21. 、 、[2014· 全国卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 21.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x.
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(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x, 4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 2+2m +3,- 故线段 MN 的中点为 E? m m ? ?, |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 10. 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 3? 3? 10.D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4,0?,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3 ?x-4?,即 3 9 9 x= 3y+ ,代入抛物线方程得 y2-3 3y- =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=3 3,y1y2=- , 4 4 4 9 1 1 3 9 ? 则 S△OAB= |OF||y1-y2|= ? ? (3 3)2-4?? ?-4?=4. 2 2 4 21. , ,[2014· 山东卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正 三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?.
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设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|,

p+2t ? ? 4 ,0?.

p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 当 y2 ≠ 4 时, k = =- , 2= 2 0 AE 4 y xE-x0 y0-4 0 2- y0 4 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4 直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2
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4y0 (x-x0), y2 0-4

2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m = 4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x x0? 0 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 a b C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右 顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根.
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k2-4 -8 k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4

?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?
?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ?y=-x +1(y≤0), ?

2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ, -2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) 21. 、 、[2014· 全国卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 21.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x,
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4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 2+2m +3,- 故线段 MN 的中点为 E? m m ? ?, |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 19. 、[2014· 安徽卷] 如图 14,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点.

图 14 (1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点,记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 S1 与 S2,求 的值. S2 19.解:(1)证明:设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),
?y=k1x, ? 2p1 2p1? , 则由? 2 得 A1? k2 k1 ?, ? 1 ?y =2p1x, ? ? ?y=k1x, 2p2 2p2? , 由? 2 得 A2? k2 k1 ?. ? 1 ?y =2p2x, ?

2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? ? k2 , k ?,B2? k2 , k ?.
2 2 2 2

2p1 2p1 2p1 2p1? → ? 12- 12, 1 - 1 ?, - 2 - 2 , 所以A1B1=? = 2 p 1 k k k ? ?k ?k k k k ?
2 1 2 1 2 1 2 1

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2p2 2p2 2p2 2p2? → ?1 1 1 1? A2B2=? ? k2 - k2 , k - k ?=2p2?k2-k2,k -k ?.
2 1 2 1 2 1 2 1

→ p1 → 故A1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2 p2 (2)由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2,所以△A1B1C1∽△A2B2C2, → S1 ?|A1B1|?2 因此 =? . S2 → ? ?|A2B2|? → |A1B1| p1 → p1 → 又由(1)中的A1B1= |A2B2|知, = , p2 p → |A2B2| 2 S1 p2 1 故 = 2. S2 p2 19. 、 、[2014· 北京卷] 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2 =2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 19.解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程, 2 得 t=± 2, 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t), x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 |2x0-ty0| d= . (y0-2)2+(x0-t)2 2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

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d=

= 4y2 0 2 2 x0+y0+ 2 +4 x0

?2x0+2y0? x0 ? ?

2

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. x2 y2 19. 、[2014· 福建卷] 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. a b (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图 16,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且 △OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

图 16 19.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以 =2, a 所以 c2-a2 =2, a

故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 c e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB 的面积 为 8,

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1 所以 |OC|?|AB|=8, 2 1 因此 a?4a=8,解得 a=2, 2 x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m ? 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2).
?y=kx+m, ? 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ? y = 2 x ?

1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - - ? =8, 2? k ? ?2-k 2+k? 即 m2=4|4-k |=4(k2-4). y=kx+m, ? ?2 2 由?x y 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. ? 4 -16=1 ?
2

因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法二:(1)同方法一. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得- <m< . 2 2
?x=my+t, ? -2t 2t 由? 得 y1= , 同理得 y2= . 1-2m 1+2m ?y=2x ?

设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 2t 2t 1 1 由 S△OAB= |OC|?|y1-y2|=8,得 |t|??1-2m+1+2m?=8. 2 2 ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). x=my+t, ? ? 由?x2 y2 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. ? ?a2-4a2=1 因为 4m2-1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,
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即 4m2a2+t2-a2=0, 即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以 a2=4, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得 k>2 或 k< -2.
? ?y=kx+m, 由? 2 2 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, ?4x -y =0 ?

-m2 因为 4-k <0,Δ>0,所以 x1x2= , 4-k2
2

又因为△OAB 的面积为 8, 1 4 所以 |OA|?|OB|? sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB= , 2 5 2 2 所以 x2 +y2? x2 2+y2=8,化简得 x1x2=4. 5 1 1 -m2 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 4-k2 x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a 4a y=kx+m, ? ? 2 由?x 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. y2 ? ?a2-4a2=1 因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4, x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: - =1 有且只有 4 16 一个公共点. x2 y2 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 5 20. 、[2014· 广东卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 21. 、 、[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时 k 的相应取值范围. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). ?4x,x≥0, ? 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ? ?0,x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).
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依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ?y-1=k(x+2), ? 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ?y =4x, ? 1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ? ?Δ <0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k> . 2 ?x0<0, ? 1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点.故此时直线 l 与 轨迹 C 恰好有一个公共点. ?Δ =0, ? ?Δ >0, ? (ii)若? 或? ?x0<0, ?x0≥0, ? ? 1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点. ? ? 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 1 ? ? 1? ? ? 故当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. ?Δ >0, ? 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 ?x0<0, ? 1 1 ? ? ? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 1 ? ? 综上可知, 当 k∈(-∞,-1)∪? 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k∈? ?2,+∞?∪{0}时, ?-2,0? 1? 1 1 ? -1,- ?∪?0, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有 ∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈? 2 2? ? ? ? ? ? 三个公共点. x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b 2 2 x y 3 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= ,且 a b 2 |F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四 边形 APBQ 面积的最小值.

图 17
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a2-b2 a2+b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b, 2 a a 2 4 0), x2 x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1, - 2 2 y2=1.

+2)y2-2my-1=0.

x=my-1, ? ?2 (2)因 AB 不垂直于 y 轴, 且过点 F1(-1, 0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1, 由?x 得(m2 2 + y = 1 ? ?2

2m 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1, y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2= 2 , m +2 -1 y1y2= 2 . m +2 -4 m ? m ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的斜率为- , 2 m + 2 m + 2 m +2 ? ? m PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 m y=- x, 2 4 m2 2 2 2 由 2 得 (2 -m2)x2 = 4 ,所以 2 - m2>0 ,且 x2 = 2,y = 2 ,从而 |PQ|= 2 x +y = 2 - m 2 - m x -y2=1 2 m2+4 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d= . 2.设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 2-m m2+4

? ? ?

因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+ (m2+2)|y1-y2| 2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4 2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m2+2 m2+4 2 2? 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? -1+ . 2 2-m2 2-m2 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. x2 20.[2014· 江西卷] 如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的 a 两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

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图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x 3 (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 a 2 |MF| N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c 1 1 ,- ?. 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? 2a? ?2 a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? -?-2a? a c 3 ? ? 则 A?c,a?,所以 kAB= = . c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ?? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 3 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 x= 的交点为 2 3y0 ? ? 3 x -3 3 2 0 N , , 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = 2= 2 2= |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 ? 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = ,为定值. 2= ? 2 2= ? 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3 20. 、[2014· 辽宁卷] 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积 x2 y2 最小时,切点为 P(如图 16 所示).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b

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图 16 (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x0 x0 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0), y0 y0 4 4 ? ? ? 即 x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ?x0,0?,?0,y0?.故其围成的三角形的面积 1 4 4 8 2 S= ? ? = .由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知,当且仅当 x0=y0= 2时 x0y0 有最大值 2,此时 S 有最小值 4,因 2 x0 y0 x0y0 此点 P 的坐标为( 2, 2). ? 22- 22=1, ? 由题意知?a b y2 解得 a2=1,b2=2,故 C1 的方程为 x2- =1. 2

?a2+b2=3a2, ?

x2 y2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),由此可设 C2 的方程为 2+ 2=1,其中 b1>0. 3+b1 b1 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 + 2=1, 3+b2 1 b1 解得 b2 1=3, x2 y2 因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0. 设直线 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. + = 1 , ? ?6 3 又 y1,y2 是方程的根,因此 2 3m y1+y2=- 2 , ① m +2

? ? ? -3 ? ?y y =m +2,
1 2 2

② 由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 x1+x2=m(y1+y2)+2 3= 2 , m +2

? ? ? ? ?x x =m y y +
1 2 2 1 2



6-6m2 3m(y1+y2)+3= 2 . ④ m +2 → → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP?BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0,
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3 解得 m=

6 6 -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2 x2 y2 3 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 a b 2 2 3 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 8k±2 4k2-3 x1,2= , 4k2+1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2| = 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 . k +1
2

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 10. 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 3 3 ,0 ,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= ?x- ?,即 10.D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4 ? 3 ? 4? 3 9 9 2 x= 3y+ ,代入抛物线方程得 y -3 3y- =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=3 3,y1y2=- , 4 4 4
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1 1 3 则 S△OAB= |OF||y1-y2|= ? ? 2 2 4

x2 y2 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上 a b 一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2? 2 2 2 ? c , 20.解:(1)根据 c= a -b 及题设知 M? a ?,2b =3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的 b2 中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. 21. , ,[2014· 山东卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正 三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4 p+2t ? ? 4 ,0?.

9 9 - ?= . (3 3)2-4?? ? 4? 4

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,
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由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 当 y2 ≠ 4 时, k = =- , 2= 2 0 AE 4 y0 xE-x0 y0-4 - y2 4 0 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4 直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m
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4y0 (x-x0), y2 0-4



4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16. y2 x2 20. , ,[2014· 陕西卷] 如图 15 所示,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 a b C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 . 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

图 15 20.解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右 顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2, a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)方法一:由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8 k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4 ∴点 P 的坐标为?

?k -4, -8k ?. ? ?k2+4 k2+4?

2

? ?y=k(x-1)(k≠0), 同理,由? 2 ?y=-x +1(y≤0), ?

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ,
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-2k2 ∴AP?AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 方法二:若设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),比照方法一给分. x2 y2 20. , ,[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端 a b 点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上,
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? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| x2 y2 18. 、[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B. a b 已知|AB|= 3 |F F |. 2 1 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相 切,求直线 l 的斜率. 18.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2

c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 所以椭圆的离心率 e= 2 . 2

(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), → → 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点 P 在椭圆上, x2 y2 0 0 所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= ,即点 P 的坐标为 3 3
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?-4c,c?. ? 3 3?
4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设 圆 的 圆 心 为 T(x1 , y1) , 则 x1 = = - c , y1 = = c,进而圆的半径 r= 2 3 2 3 (x1-0)2+(y1-c)2= 5 c. 3

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3? |kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k, 依题意, 直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切, 可得 2 =r, 即 k +1 k2+1
= 5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

x2 y2 21. 、[2014· 浙江卷] 如图 16,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P, a b 且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

图 16 y = kx+m, ? ? 2 2 21.解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),由?x y 消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2- + = 1 , 2 2 ? ?a b 2 2 a b =0. a2km b2m 由于 l 与 C 只有一个公共点, 故 Δ=0, 即 b2-m2+a2k2=0, 解得点 P 的坐标为?-b2+a2k2,b2+a2k2?. ? ? 2 2 - a k b m ? ? 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P? 2 2 2, 2 2 2?. b +a k ? ? b +a k (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离 d= 2 2 ? -a k + b k ? ? 2 22 ? b2+a2k2? ? b +a k , 1+k2 a2-b2 整理得 d= 2. 2 2 2 2 b b +a +a k + 2 k 2 a2-b2 a2-b2 b 因为 a2k2+ 2 ≥2ab,所以 =a-b, 2≤ k b b2+a2+2ab b2+a2+a2k2+ 2 k b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.

H9 曲线与方程 → 10. 、[2014· 安徽卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 Q 满足OQ=
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→ 2(a+b).曲线 C={P|OP=acos θ +bsin θ ,0≤θ<2π },区域Ω ={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( ) A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 10.A

21. 、 、[2014· 湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时 k 的相应取值范围. 21.解:(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1)2+y2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). ? ?4x,x≥0, 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ?0,x<0. ? (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ?y-1=k(x+2), ? 由方程组? 2 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.① ? y = 4 x , ? 1 当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4 1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式 Δ=-16(2k2+k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ? ?Δ <0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1 或 k> . 2 ?x0<0, ? 1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点.故此时直线 l 与 轨迹 C 恰好有一个公共点. ?Δ =0, ? ?Δ >0, ? (ii)若? 或? ? ? ?x0<0, ?x0≥0, 1? ? 1 由②③解得 k∈?-1,2?或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点. ? ? 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 1 1? ? - ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 故当 k∈? 2? ? 2 ? ? ?Δ >0, ? 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- 或 0<k< . 2 2 ? x <0 , ? 0
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1? ? 1? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 1 ? ? 综上可知, 当 k∈(-∞,-1)∪? 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k∈? ?2,+∞?∪{0}时, ?-2,0? 1? 1? ? 1? ? ∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有 ? ? 三个公共点. H10 单元综合 9.[2014· 江西卷] 在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与 直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) 4 A. π 5 3 B. π 4 5 D. π 4

C.(6-2 5)π 9.A .

x2 y2 21. 、 、 、[2014· 湖南卷] 如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b x2 y2 3 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= ,且 a b 2 |F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四 边形 APBQ 面积的最小值.

图 17 2 a -b a +b 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 ? = ,即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b, 2 a a 2 4
2 2 2

0),

x2 x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1, - 2 2 2 y =1.

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x=my-1, ? ?2 (2)因 AB 不垂直于 y 轴, 且过点 F1(-1, 0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1, 由?x 得(m2 2 ? 2 +y =1 ? +2)y2-2my-1=0. 2m 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 y1, y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2= 2 , m +2 -1 y1y2= 2 . m +2 -4 m ? m ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ 的斜率为- , 2 m +2 ?m +2 m +2? m PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 m y=- x, 2 4 m2 2 2 2 由 2 得 (2 -m2)x2 = 4 ,所以 2 - m2>0 ,且 x2 = , y = 2 2 ,从而 |PQ|= 2 x +y = 2 - m 2 - m x -y2=1 2 m2+4 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 2 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d= . 2.设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 2-m m2+4

? ? ?

因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+ (m2+2)|y1-y2| 2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4 2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2d= . 2 m +2 m2+4 2 2? 1+m2 1 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? 2 2-m2 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 3 -1+ . 2-m2

x2 y2 3 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 a b 2 2 3 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,
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故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 2 将 y=kx-2 代入 +y =1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 8k±2 4k2-3 x1,2= , 4k2+1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2| = 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 . k +1
2

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 x2 y2 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上 a b 一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的 b2 中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ?2(-c-x1)=c, ? ?x1=-2c, ? ? 即? ? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. 21. , ,[2014· 山东卷] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点
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A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正 三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4 p+2t ? ? 4 ,0?.

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 当 y2 ≠ 4 时, k = =- , 2= 2 0 AE 4 y0 xE-x0 y0-4 - y2 4 0 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4 直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0),
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4y0 (x-x0), y2 0-4

1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m = 4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16.

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