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极点极线及高中圆锥曲线必备公式


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?百度贴吧 mpc_killer 吧的 《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线 草稿》 ?《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》 ?百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》 等优秀内容.

极点极线

定义

已知圆锥曲线С : Ax?+By?+Cx+Dy+E=0 与一点 P(x0,y0) [其中 A?+B? x0+x 2

≠0, 点 ]. 则称点 P 和直线 L: A?x0x+B?y0y+C? .P .不在曲线中心和渐近线上 ........... y0+y +D? +E=0 是圆锥曲线С 的一对极点和极线. 2

x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中,以 x0x 替换 x?,以 替换 x,以 y0y 替换 y?,以 替 2 2 换 y 则可得到极点 P(x0,y0)的极线方程 L. 特别地: (1) 对 于 圆 (x-a)?+(y-b)?=r?, 与 点 P(x0,y0) 对 应 的 极 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r? ; (2)对于椭圆 x? y? x0x y0y + =1,与点 P(x0,y0)对应的极线方程为 + =1 ; a? b? a? b?

(3)对于双曲线

x? y? x0x y0y =1,与点 P(x0,y0)对应的极线方程为 =1 ; a? b? a? b?

(4)对于抛物线 y?=2px,与点 P(x0,y0)对应的极线方程为 y0y=p(x0+x) ; 性质 一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部 ]: ...........

①若极点 P 在曲线С 上,则极线 L 是曲线С 在 P 点的切线;

②若极点 P 在曲线С 外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С 的两条切线的切点连线;

③若极点 P 在曲线С 内,则极线 L 在曲线С 外且与以极点 P 为中点的弦平行[仅是 斜 率 相 等 ]( 若 是 圆 , 则 此 时 中 点 弦 的 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= x0x y0y x0? y0? (x0-a)?+(y0-b)?;若是椭圆,则此时中点弦的方程为 + = + ;若是 a? b? a? b? 双曲线,则此时中点弦的方程为 x0x y0y x0? y0? = ; 若是抛物线,则此时中点弦的 a? b? a? b?

方程为 y0y-p(x0+x)=y0?-2px0);

④当 P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点 F(c,0)时,极线恰为该圆锥曲线的准线 ; .. ⑤极点极线的对偶性: Ⅰ.已知点 P 和直线 L 是关于曲线С 的一对极点和极线,则 L 上任一点 Pn 对应的 极线 Ln 必过点 P,反之亦然,任意过点 P 的直线 Ln 对应的极点 Pn 必在直线 L 上[图 . 中点 n 与 直线 是一对极点极线 ]; ..P . . . ..Ln . . .......

Ⅱ.过点 P 作曲线 C 的两条割线 L1、L2,L1 交曲线 C 于 AB,L2 交曲线 C 于 MN,则 直线 AM、BN 的交点 T,直线 AN、BM 的交点 S 必都落在点 P 关于曲线 C 的极线 L 上 [图中点 与 直线 是一对极点极线;点 与直线 是一对极点极线 ] ; ...P . . ..ST . . .........T . ...SP . . .......

Ⅲ. 点 P 是曲线 C 的极点,它对应的极线为 L,则有: 1)若 C 为椭圆或双曲线, O 是 C 的中心, 直线 OP 交 C 与 R, 交 L 于 Q, 则 OP?OQ=OR? OP OR 即 = OR OQ 椭圆如图

双曲线如图

2) 若曲线为抛物线,过点 P 作对称轴的平行线交 C 于 R,交 L 于 Q,则 PR=QR 如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用
虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破 而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆 x? y? + =1 的焦点的极 a? b?

线方程为: x=

a? .焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线 c

的统一定义 , 更是高考的必考知识点 . 正是因为它太常见了 , 反而往往使我们 “视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题


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