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江西省红色六校2014届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案

红色六校 2014 届高三第二次联考数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个选项是符合题目要求,请把正确选项的代号填在答题卷的相应位置上) ? 6 ? ai 1.若复数 是纯虚数(i 是虚数单位),则实数 a 的值为( ) 1 ? 2i A. 6 B. -6 C .3 D. -3 2. 设全集U=R,A={x| 2( x ?1) <2}, B={x| log 1 ( x 2 ? x ? 1) ? ? log 2 ( x 2 ? 2) },
2
2

则右图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|1≤x<2} B.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1} 3.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为( ) 6 6 A. B. 4 2 2 C. D. 2 2 4. 一算法的程序框图如右图所示,若输出的 y ?
1 2



开始 输入整数 x

则输入的 x 可能为( ) A. -1 B. 1 C. 1 或 5 D. -1 或 1 f ( x ? 5), x ? 0 ? ? ? 5.若 f ( x) ? ? ,则 f (2014) =( ) 2 x ? ? 6 cos 3tdt , x ? 0 ? 0 ? 1 1 5 1 A. B. C. D. 3 6 6 2 6. 某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、 大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学 (乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘 同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年 级的乘坐方式共有( A.24种 B.18种 ) C.48种 D.36种 )

x?2

y ? sin(



?
6

x)

y ? 2x

输出 y 结束 结束

第 4 题图

1 x ?1 7.函数 f ( x) ? ( ) ? 2 cos ? x(?2 ? x ? 4) 的所有零点之和等于( 2

A. 2 B. 4 C.6 D. 8 8.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函 数 f ( x) 的“和谐区间” .下列结论错误的是( )

A.函数 f ? x ? ? x2 B.函数 f ? x ? ? ex C.函数 f ? x ? ?
2

? x ? 0? 存在“和谐区间” ? x ? R? 不存在“和谐区间”

4x ? x ? 0 ? 存在“和谐区间” x ?1 1? ? D.函数 f ? x ? ? log a ? a x ? ? ? a ? 0, a ? 1? 不存在“和谐区间” 8? ? 9. 三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点 A 是椭圆的一个短轴端点, 如果以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是 ( ) ? ? 6 ? ? 2 6? ? 2 ? 2? A. ? B. ? C. ? D. ? ? 0, 2 ? ? ? 3 ,1? ? ? 2 , 3 ? ? ? 2 ,1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10.定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a, b ? ,则关于空间向量上述运算的以下

结论中: ①a ?b ? b?a ; 立的有( ) A.①③

② ? (a ? b) ? (?a) ? b ;

③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) ;④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 。恒成 B.①④ C.②③ D.②④

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的相应位置上) 1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;? 11.观察下列不等式:① 2 2 6 2 6 12 则第 5 个不等式为 .
?x ? y ? 5 ? 0 ? 12. 已知在平面直角坐标系 xoy 上的区域由不等式组 ? y ? x 确定,若 M ? x, y ? 为区域 ? x ?1 ? ??? ? ???? ? D 上的动点,点 A 的坐标为 ? 2,3? ,则 Z ? OA ? OM 的最大值为 .

13.对任意正整数 n ,定义 n 的双阶乘 n !! 如下:

3? 1 `。 4? 2 ;当 n 为奇数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4)?5? 当 n 为偶数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4)?6?
1007! ; 现有四个命题: ① (2014!!)(2013!!) ? 2014!; ② 2014!! ? 2? ③ 2014!!个位数为 0; ④ 2013!!

个位数为 5。其中正确命题的序号有______________. sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 14. 设等差数列 ?an ?满足: 公差 d ? (?1, 0) . 若 ? 1, sin(a4 ? a5 ) 当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 .

15. 选做题(考生注意:请在(1) (2)两题中,任选做一题作答,若多做,则按(1)题 计分)

? ? x ? ? 2 ? r cos ? (1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xO y 中,圆 C 的参数方程为 ? ? ? y ? ? 2 ? r sin ? (? 为参数, r ? 0) .以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系, ? 直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 .当圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 4 时,圆的半径 4 . r? (2)(不等式选讲选做题)对于任意实数 x ,不等式 | 2 x ? m | ? | x ? 1|? a 恒成立时,若实数 a 的 最大值为 3,则实数 m 的值为 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。请在 答题卷相应题目的答题区域内作答) 16. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? , 它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.
2 2 5 . , 10 5

17. (本小题满分 12 分) 某企业招聘工作人员,设置 A 、 B 、 C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊 五人参加招聘, 其中甲、 乙两人各自独立参加 A 组测试, 丙、 丁两人各自独立参加 B 组测试. 已 1 1 知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 ,丙、丁两人各自通过测试的概率均为 .戊参加 3 2 C 组测试, C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题作答,至少答对 3 题 则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A 、 B 组测试通过的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

18. (本小题满分 12 分) 已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+8. (Ⅰ)求公差 d 的值; (Ⅱ)若 a1=1,设 Tn 是数列{
1 1 }的前 n 项和,求使不等式 Tn≥ (m2 ? 5m) 对所有的 n an an ?1 18

∈N*恒成立的最大正整数 m 的值;

19. (本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥ 底 面 ABCD , Q 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 , P
1 PA ? PD ? 2 , BC ? AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (Ⅱ) 若 M 为棱 PC 的中点, 求异面直线 AP 与 BM 所成 角的余弦值; (Ⅲ)若二面角 M ? BQ ? C 大小为 30°,求 QM 的长 .
Q A

M D C B

20. (本小题满分 13 分) 如图,F1,F2 是离心率为 右焦点,直线 l:x=﹣
x2 y 2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、 a b 2

1 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1:3. 2 设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点, 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ???? ? ???? ? (Ⅱ) 求 F2 P?F2Q 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

1 ? x2 1 ? x2 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? . ?a 1 ? x2 1 ? x2 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由;
? 2 5 2 5? , (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在以 5 5 ? ? f (r )、f (s)、f (t ) 为边长的三角形.

2014 届江西红色六校高三第二次联考(理数) 参考答案
一、 选择题 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 9 B 10 B 题号 答案 二、 11.

填空题

4? 3? 1 1 1 1 1 ? a1 ? 12. 14 ; 13. ①③④ ; 14. ; 15. (1) ? ? ? ? ? 5; 3 2 2 6 12 20 30
4 或 ?8

1



(2)

三.解答题 16、解:由条件的 cos ? ?

2 2 5 7 2 5 ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = ,因此 ,cos ? ? ,sin ? ? 10 5 10 5

tan ? ? 7, tan ? ?

1 2

(Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 -------------------------------6 分 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = -------------------12 分 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

17.解: (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

P ? A? =

4 3 1 C4 +C4 C2 1+8 3 = = 4 15 5 C6

????3 分

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件

1 2 ?1? 1 1 3 7 p ? B? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36
(Ⅲ) ? 可取 0,1,2,3,4

2

????6 分

?
P

0

1

2

3

4

4 36

12 36

13 36

6 36

1 36

E? ?

5 3

????12 分

18.解: (Ⅰ )设数列{an}的公差为 d, ∵S4=2S2+8,即 4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:4d=8, 解得 d=2.??????????????????????????4 分 (Ⅱ )由 a1=1,d=2,得 an=2n-1,????????????????5 分 ∴

1 1 1 1 1 ? ( ? ) .????????????????6 分 = an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1

∴Tn=

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 = (1 ? ) ≥ ,????????????????8 分 2 2n ? 1 3 1 又∵ 不等式 Tn≥ (m2 ? 5m) 对所有的 n∈ N*恒成立, 18 1 1 ∴ ≥ (m2 ? 5m) ,????????????????10 分 3 18
= (1 ? ? ? ? ? 化简得:m2-5m-6≤0,解得:-1≤m≤6. ∴m 的最大正整数值为 6.????????????????????12 分 19. (Ⅰ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . ????????1 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ????????2 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ????????3 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ?????4 分 z 1 另证:AD // BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2 P ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即 QB⊥AD. ??1 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ???2 分 ∵PQ∩BQ=Q, D ∴AD⊥平面 PBQ. ?????3 分 ∵ AD ? 平面 PAD, Q ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????4 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, A ∴PQ⊥AD. x ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. ????5 分 (注:不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分)

M

C B

y

如图, 以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则 Q (0, 0, 0) ,A(1,0,0) ,P (0, 0, 3) , B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) ∵M 是 PC 中点,∴

1 3 3 M (? , , ) 2 2 2

????6 分

??? ? ???? ? 1 3 3 , ) ∴ AP ? (?1,0, 3), BM ? (? , ? 2 2 2 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? AP ? BM 2 ? ???? ? |= 则 cos ? ? | cos ? AP, BM ?|?| ??? 7 | AP || BM | 7
∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为

????7 分 ????8 分,

2 7 7

(注:用传统方法相应给分,找角 2 分,求解 2 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) 又 QB ? (0, 3, 0) , ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, ????9 分 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? 由 QM ? ?QP ? (1 ? ? )QC ,且 0 ? ? ? 1 ,得 QM ? (? ? 1, 3(1 ? ? ), 3? ) ??10 分

?

??? ?

??

1? ?

? ?? n ?m 3 ? ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ cos 30 ?| ? ?? |? , 2 n m


?

).

?????11 分

1 39 ? ? .∴ | QM |? 4 4

?????12 分

(注:用其它方法相应给分)

20、解: (Ⅰ)设 F2(c,0) ,则

= ,所以 c=1.

因为离心率 e=

,所以 a=

,所以 b=1 .----------------------4 分

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=﹣ , 此时 P( ,0) 、Q( ,0) , .------6 分

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k, M(﹣ ,m) (m≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .



得(x1+x2)+2(y1+y2)

=0,

则﹣1+4mk=0,∴k=

1 .-----------------------------------8 分 4m


此时,直线 PQ 斜率为 k1=﹣4m,PQ 的直线方程为 即 y=﹣4mx﹣m.

联立

消去 y,整理得(32m +1)x +16m x+2m ﹣2=0.

2

2

2

2

所以





-------------------------10 分

于是 =

=(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m) (4mx2+m)

=
2
2

=



令 t=1+32m ,由 0 ? m ? 又 1<t<29,所以 综上,

7 得 1<t<29,则 8




的取值范围为[﹣1,

) .-------------------------------13 分

21、解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数. (1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
1 ? x2 1 ? x2 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
----------------------------------3 分

x ? 0 时 f ? x? ?
(2) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ??0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? 递减; --------------------5 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

? 0 所以 x ??0,1? 时, f ? x ? 递增; ------------8 分

(3) t ?

? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 , ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上,恒有 2 ymin ? ymax ---10 分

a 1 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, t 3 9 1 1 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 ? a ? ; 15 3 15 9 a 1 1 1 ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, t 3 9 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ; 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
①当 0 ? a ? 由 2 ymin ? ymax 得 ④当 a ? 1 时, y ? t ?

1 7?4 3 7?4 3 ,从而 ? a ? 1 ; ?a? 3 9 9

a 1 1 在 [ ,1] 上单调递减, ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , t 3 3 5 5 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ; 3 3 1 5 ? a ? . ---------------------------------------14 分 综上, 15 3


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