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高二数学椭圆及其标准方程教案 苏教版


高二数学椭圆及其标准方程教案
【学习目标】 1.重点理解 理解椭圆定义及其限制条件;理解椭圆标准方程的推导;理解椭圆标准方程中 a、b、c 的大小关系. 2.重点掌握 掌握椭圆定义;掌握求椭圆标准方程的方法;进一步掌握求曲线方程的方法,提高运用 坐标法解决几何问题的能力. 3.能力培养 培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力. 【学习障碍】 1.理解障碍 (1)求椭圆标准方程可采取“先定位,后定量”的方法,如何定位是关键. (2)对于直线和椭圆的位置关系,可用一元二次方程的Δ 来判定,其理论根据是交点个 数,这一点应理解准确. (3)直线和椭圆相交时,常常借助韦达定理解决弦长问题.应深刻理解弦长公式的推导 过程及各字母含义. (4)给出椭圆标准方程,其焦点是在 x 轴还是在 y 轴,怎样判别,其理论依据是什么. (5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式,应理解为什么可以这样设. 2.解题障碍 (1)确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件 (如焦点的位置)和两个定形条件 (如 a、b),a、b 是椭圆的定形条件,焦点是椭圆的定位条件. (2)点(x0, y0)在椭圆内 ?
2 2

x0 y x y 点(x0, y0)在椭圆上 ? 02 ? 02 =1; 点(x0, ? 02 <1; 2 a b a b

2

2

2

2

x y y0)在椭圆外 ? 02 ? 02 >1. a b
(3)椭圆定义是解题的常用工具,但如何转化为定义,如何应用定义需要有明确的思维 方向. 【学习策略】 1.坐标法 解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系, 把一个难以解决的平面问题转化为 代数问题,通过坐标和计算得出结论.坐标系建的好坏,直接影响到解题过程的繁简以及结 果的好坏.通常建立平面直角坐标系时,可利用图形的对称性,或利用图形中的垂直关系, 或使尽量多的点落在坐标轴上. 2.求椭圆方程一般采取“先定位,后定量”的方法.所谓定位,就是研究一下此椭圆 是不是标准形式的椭圆, 其焦点到底是在 x 轴上还是在 y 轴上; 所谓定量就是求出椭圆的 a、 b、c,从而写出椭圆方程. 3.定义是解决椭圆问题的常用工具,如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为 常数的问题可考虑能否利用椭圆定义; 或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离, 也可考虑椭圆

定义. 4.研究直线与椭圆的位置关系,或者利用弦长公式计算弦长.事先都要先把直线方程 和椭圆方程联立,消去 y(或 x)得 x(或 y)的一元二次方程,再利用其Δ 或韦达定理进行. 5.直线与椭圆相交,如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法. 6.Ax2+By2=C(其中 A、B、C 为同号且不为零的常数,A≠B),它包含焦点在 x 轴或 y 轴上两种情形.方程可变形为

x2 y? C C C ? =1.当 > 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 < C C A B A A B

C 时,椭圆的焦点在 y 轴上. B
【例题分析】 [例 1]求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4, 0), (4, 0), 椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(- (3)焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3 ,-2)和 B(-2 3 ,1) 策略:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,后设椭圆的标准方程,求出椭圆中的 a、b 即可.若判断不出焦点在哪个轴上,可采用标准方程的统一形式. 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 ∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9 所以所求的椭圆的标准方程为

3 5 , ); 2 2

x2 y2 ? =1(a>b>0) a2 b2

y? x2 ? =1. 25 9
y? x2 ? =1(a>b>0) a2 b2

(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知, 2a= (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) ?
? 2 2 2

3 2

5 2

3 2

5 2

3 1 10 ? 10 ? 2 10 2 2

又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6

y2 x2 ? =1. 所以所求的椭圆的标准方程为 10 6
(3)解法一:若焦点在 x 轴上,设所求椭圆方程为

y? x2 ? =1(a>b>0) a2 b2

由 A( 3 ,-2)和 B(-2 3 ,1)两点在椭圆上可得:

? ( 3 ) 2 (?2) 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a 2 ? 15 ? a b 解之得 ? 2 ? 2 2 ?b ? 5 ? (?2 3 ) ? 1 ? 1 2 2 ? b ? a
?a 2 ? 5 y? x2 若焦点在 y 轴上,设所求椭圆方程为 2 ? 2 =1(a>b>0),同上可解得 ? 2 ,不 a b ?b ? 15
合题意,舍去. 故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 5 5

解法二:设所求椭圆方程为 mx2+ny2=1,(m>0,n>0 且 m≠n). 由 A( 3 ,-2)和 B(-2 3 ,1)两点在椭圆上可得
2 2 ? ?m ? ( 3 ) ? n ? (?2) ? 1 ? 2 2 ? ?m ? (?2 3 ) ? n ?1 ? 1

1 ? m ? ? ?3m ? 4n ? 1 ? 15 即? ,解得 ? 1 ?12m ? n ? 1 ?n ? ? 5 ?
故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 15 5

评注:(1)求椭圆的标准方程时,首先应明确椭圆的焦点位置,再用待定系数法求 a、b. (2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的,为计算简便,可设其方程为 mx2+ny2=1(m>0, n>0),不必考虑焦点位置,直接可求得方程.想一想,为什么? [例 2]已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹 方程. 策略:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择 适当的坐标系,常常需要画出草图.如图 8—1—1 所示,由△ABC 的周长等于 16,|BC|=6 可知,点 A 到 B、C 两点的距离的和是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点 A 的轨迹 是以 B、C 为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图.

解:如图 8—1—1 所示,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点O与 BC 的中点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10,即点 A 的轨迹是以 B、C 为 焦点的椭圆,且 2c=6,2a=10, ∴c=3,a=5,b2=52-32=16. 由于点 A 在直线 BC 上时,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形, 所以点 A 的轨迹方程是

x2 y2 ? =1(y≠0). 25 16

评注:椭圆的定义在解题中有着广泛的应用.另外,求出曲线的方程后,要检查一下方 程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在方程后注明,常用限制条件 来注明. [例 3]一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试 求动圆圆心的轨迹方程. 策略: 两圆相切时, 圆心之间的距离与两圆的半径有关, 可以找到动圆圆心满足的条件. 解:两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16 故动圆圆心的轨迹方程为

x2 y2 ? =1. 25 16

评注:正确地利用两圆内切、外切的条件,合理地消去变量 R,运用椭圆定义是解决本 题的关键,这种求轨迹方程的方法叫做定义法. [例 4]已知 P 是椭圆 求△PF1F2 的面积. 策略:如图 8—1—2 所示,已知∠P=30°,要求△PF1F2 的面积,如用 因为求 P 点坐标较繁, 所以用 S△=

x2 y2 ? =1 上的一点,F1、F2 是两个焦点,且∠F1PF2=30°, 25 16
1 |F1F2|?|yP|, 2

1 |PF1|? |PF2|? sin30°较好, 为此必须先求出|PF1|? |PF2|, 2

从结构形式可看出用余弦定理可得出夹 30°角的两边的乘积.

解:由方程

x2 y2 ? =1,得 a=5,b=4, 25 16

∴c=3,∴|F1F2|=2c=6 |PF1|+|PF2|=2a=10 ∵∠F1PF2=30°. 在△F1PF2 中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|?cos30° 即 62=|PF1|2+2|PF1|?|PF2|+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|- 3 ?|PF1|?|PF2| (2+ 3 )|PF1|?|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-36=100-36=64, ∴|PF1|?|PF2|=

64 =64(2- 3 ) 2? 3

∴ S?F1PF2 =

1 1 1 |PF1|?|PF2|?sin30°= ?64(2- 3 )? =16(2- 3 ). 2 2 2

评注: 在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质, 用平面几何的知识加以 解答,本题用余弦定理和椭圆的定义,从而简化了运算,达到化繁为简的目的. [例 5]椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 相交于 P、Q 两点,若|PQ|=2 2 .且 PQ 的

中点 C 与椭圆中心连线的斜率为

2 ,求椭圆方程. 2

策略:该题是求椭圆方程,即利用题设中的两个独立条件,求出 a、b 之值即可.

?ax 2 ? by 2 ? 1 解:由 ? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0 ?x ? y ? 1
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=

2b b ?1 ,x1x2= a?b a?b
2

∴|PQ|= 1 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (

2b 2 b ?1 ) ? 4? a?b a?b



2 2 a ? b ? ab ?2 2 a?b


∴ a ? b ? ab =a+b 又 PQ 的中点 C(

b b b a ,1- ),即 C( , ) a?b a?b a?b a?b


a a 2 ∴kOC= a ? b ? ? b b 2 a?b

由①②得 a=

1 2 ,b= 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 2y2 =1. ? 3 3

评注:本题是一个小型综合题,此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数 a,b 表示出来,再联立解方程组,可得所求椭圆方程. [例 6]中心在原点的椭圆 C 的一个焦点是 F(0, 50 ),又这个椭圆被直线 l:y=3x -2 截得的弦的中点的横坐标是

1 ,求该椭圆方程. 2

策略:本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率,故可采用“平方差法” . 解:据题意,此椭圆为焦点在 y 轴上的标准形式的椭圆,设其方程为 >0) 设直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:
2 2 2 2

y2 x2 ? =1(a>b a2 b2

y1 x y x ? 12 =1, 22 ? 22 ? 1 2 a b a b
两式相减得:

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? =0 a2 b2

y1 ? y2 a 2 ( x1 ? x2 ) ∴ ? x1 ? x2 ? b 2 ( y1 ? y2 )
即 3=

a 2 ?1 ? b 2 ? (?1)

∴a2=3b2



又因为椭圆焦点为 F(0, 50 ) ∴c= 50 则 a2-b2=50 ② 2 由①②解得:a =75,b2=25 ∴该椭圆方程为

y2 x2 ? =1. 75 25

评注:此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后,得到 x 的一元二次方程,利用 x1+x2 =1 来求,但过程较繁,利用平方差法简便易行.

【同步达纲练习】 1.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2)

C.(1,+∞) D.(0,1) 2.已知椭圆

x2 y2 ? =1,F1、F2 分别为它的两焦点,过 F1 的焦点弦 CD 与 x 轴成α 25 9

角(0<α <π ),则△F2CD 的周长为 A.10 B.12 C.20 D.不能确定 3.椭圆

x2 y2 ? =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴 12 3

上,那么点 M 的纵坐标是 A.±

3 4 3 2

B.±

C.± D.±

2 4
3 4

4.设椭圆

x2 y2 ? =1 的两焦点分别是 F1 和 F2,P 为椭圆上一点,并且 PF1⊥PF2, 45 20

则||PF1|-|PF2||等于 A.6 5 B.2 5

C.

5 3 2 5 3
x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|等于 4

D.

5.直线 y=x 与椭圆 A.2

B.

4 5 5 4 10 5 8 10 5
x2 y2 ? =1 上一点,F1、F2 是其焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2 100 64

C.

D.

6.点 P 是椭圆

的面积为___________. 7.△ABC 的两顶点 B(-8,0),C(8,0),AC 边上的中线 BM 与 AB 边上的中线 CN 的 长度之和为 30,则顶点 A 的轨迹方程为___________. 8. F1、 F2 为定点, |F1F2|=6, 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6, 则 M 点的轨迹是___________. 9 .以两坐标轴为对称轴的椭圆过点 P( ___________. 10 . 在 椭 圆

3 4 ,- 4)和 Q( - , 3) ,则此椭圆的方程是 5 5

x2 y2 ? = 1 内 , 过 点 (2 , 1) 且 被 这 点 平 分 的 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 16 4

___________. 11.△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、AC 的斜率的乘 积是-

4 ,求顶点 A 的轨迹方程. 9
1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、 2

12.在面积为 1 的△PMN 中,tanM= N 为焦点并且过点 P 的椭圆方程.

[参考答案] http://www.dearedu.com 【同步达纲练习】 1.解析:将方程 x2+ky2=2 化为椭圆的标准方程为

x2 y2 ? =1,又焦点在 y 轴上, 2 2 k



2 >2,解之得 0<k<1. k

答案:D 2.解析:由椭圆方程知 a=5,|CF1|+|CF2|=2a=10,|DF1|+|DF2|=2a=10,则△F2CD 的周长|F2C|+|F2D|+|CD|=|CF1|+|CF2|+|DF1|+|DF2|=10+10=20. 答案:C 3.解析:由椭圆的标准方程易知 c=3,不妨设 F1(-3,0)、F2(3,0),因为线段 PF1 的中点在 y 轴上,由中点坐标公式知 xP=3,由椭圆方程

x2 y2 3 ? =1 解得 yp=± ,故 12 3 2

M 点纵坐标为± 答案:A

3 . 4

4.解析:从方程中可得 a=3 5 ,b=2 5 ,c=5 ∵|PF1|+|PF2|=2a=6 5 ,∴(|PF1|+|PF2|)2=180 即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|=180 由已知 PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100 代入上式得 2|PF1|?|PF2|=80 ∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|=20 ∴||PF1|-|PF2||=2 5 . 答案:B 5.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2)

?y ? x 5 2 ? 由方程组 ? x 2 得 x =1 2 4 ? ?y ?4
∴x=±

2 5 2 5 , y=± , 5 5

即 A(

2 5 2 5 2 5 2 5 , ),B(- ,- ) 5 5 5 5 4 10 . 5

由两点间距离公式可得|AB|=

答案:C 6.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n, 在△F1PF2 中, 由余弦定理有 m2+n2-2mncos60°=|F1F2|2=122, 即 m2+n2-mn=144 ① 由椭圆定义知 m+n=20, 则 m2+n2+2mn=400 ② 由②-①得,3mn=256,故 mn= 因此, S ?F1PF2 ?

256 3

1 1 256 3 64 3 . m nsin 60? ? ? ? ? 2 2 3 2 3

答案:

64 3 3

7.解析:如图 23 所示,设 B、C 为 B′C′的两个三等分点,则 B′(-24,0),C′(24, 0),连接 AB′,AC′,设 A(x,y),BM、CN 又分别为△ACB′与△ABC′的中位线.

∴|AB′|=2|BM|,|AC′|=2|CN| ∴|AB′|+|AC′|=2(|BM|+|CN|)=60 由椭圆定义, 动点 A 到两定点 B′、 C′的距离的和为定长 60, 所以点 A 在以 B′、 C′ 为焦点,中心在原点的椭圆上运动. ∵2a=60,∴a=30 由|B′C′|=48,得 c=24 ∴b2=a2-c2=900-576=324. 则点 A 的轨迹方程是

x2 y2 ? =1(y≠0). 900 324

答案:

x2 y2 ? =1(y≠0) 900 324

8.解析:尽管动点 M 满足|MF1|+|MF2|=2a=6,但 2a=|F1F2|,∴M 点轨迹应为 F1、 F2 两点间的线段. 答案:F1、F2 两点间的线段 9.解析:设此椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)把 P(

3 4 ,-4),Q(- ,3) 5 5

?9 m ? 16n ? 1 ? ? 25 代入得 ? ? 16 m ? 9n ? 1 ? ? 25
解得 m=1,n=

1 y2 ,故椭圆方程为 x2+ =1. 25 25

y2 答案:x + =1 25
2

10.解析:设弦的两端点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 =1 两式相减得

x1 y x y ? 1 =1, 2 ? 2 16 4 16 4

2

2

2

2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ?? 1 16 4



y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) 4? 4 1 ? ? ?? x1 ? x2 ? 16( y1 ? y2 ) ? 16? 2 2
1 ,又弦过(2,1)点,故弦所在直线的方程是 x+2y-4=0. 2 y?6 y?6 4 ? ?? . x x 9

即弦所在直线的斜率为- 答案:x+2y-4=0

11.解:设顶点 A 的坐标为(x,y),由题意得:

∴顶点 A 的轨迹方程为:

x2 y2 ? =1(y≠±6). 81 36

12.解:以直线 MN 为 x 轴,以线段 MN 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图 24 所示.

x2 y2 设所求椭圆方程为 2 ? 2 =1(a>b>0),分别记 M、N、P 点的坐标为(-c,0)、(c,0) a b
和(x0,y0). ∵tanα =tan(π -∠N)=2

1 ? y 0 ? ( x0 ? c ) ? ? 2 ∴由题设知 ? ? y ? 1 ( x ? c) 0 0 ? 2 ? 5 ? x0 ? c ? 5c 4c ? 3 解得 ? 即 P( , ) 3 3 ?y ? 4 c 0 ? 3 ?
在△MNP 中,|MN|=2c,MN 上的高为

4c , 3

∴S△MNP=

1 4c 3 ? 2c ? =1,解得 c= 2 3 2

即 P(

5 3 2 3 2 15 15 ),由此得|PM|= ,|PN|= , 6 3 3 3
1 15 (|PM|+|PN|)= ,从而 b2=a2-c2=3 2 2

∴a=

故所求的椭圆方程为

4x 2 y 2 ? =1. 15 3


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