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2013广西高中数学联赛预赛试题参考解答及评分标准


2013 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 参考解答及评分标准
一、填空题: 本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 3 ?

4 . 3 × 5n?1 + 1
3 + 4 xn 5 3 + 4x ,于是 xn +1 = = 4? . 2+ x xn + 2 2 + xn

解:由已知得 f ?1 ( x) =

设 bn = xn ? 3 , 则

? 1 1? ? 1 1? 1 1 3 1 1 = 1+ 5× , + = 5 ? + ? ,数列 ? + ? 是首项为 ? , bn +1 bn bn +1 4 4 ? bn 4 ? ? bn 4 ?

公比为 5 的等比数列.因此 式为 x n = 3 ?

4 1 1 3 + = ? × 5n ?1 .即 bn = ? .所以数列 {x n } 的通项公 4 bn 4 3 × 5 n ?1 + 1

4 3 × 5 n ?1 + 1

.

2. 4 . 解: 5 x 2 + 4 y 2 = 10 x ? 4 y 2 = 10 x ? 5 x 2 ≥ 0 ? 0 ≤ x ≤ 2

4( x 2 + y 2 ) = 10 x ? x 2 = 25 ? (5 ? x) 2 ≤ 25 ? 32 ? x 2 + y 2 ≤ 4 . 其中等号当且仅当 x = 2 ,y = 0
时成立.

3. 8 . 解:由 即
1 2k + 3 + 2k + 1 < 1 2 2k + 1 < 1 2k + 1 + 2k ? 1



2 k + 3 ? 2k + 1 1 2k + 1 ? 2k ? 1 < < 2 2 2 2k + 1

.
1 1 1 1 + + + …+ < 99 ? 1 . 3 5 7 99

取 k = 1, 2, , 49 ,将所得式子相加,得 101 ? 3 < 易见, 因此, [
1 1 1 1 + + + …+ 在 8 与 9 之间, 3 5 7 99 1 1 1 1 + + + …+ ]=8. 3 5 7 99

1

4.

3aV . 2S1S2
2S1 3V ,三棱锥过顶点 A 的高为 h = ,故 a S2

解:由已知,△ABC 过顶点 A 的高为 h'=

sin α =

h 3aV = . h' 2 S1S 2

5. (?1007 , . 0) 解:设 g ( x) = f ( x ? 1007) =

1 1 1 1 + + + + . x ? 1006 x ? 1005 x + 1005 x + 1006 1 1 1 1 + + + + = ? g ( x) . 则 g (? x) = ? x ? 1006 ? x ? 1005 ? x + 1005 ? x + 1006 g ( x) 为奇函数, g ( x) 的图像关于原点 (0 , 对称. 0)

∴ ∴ 6.

f ( x) 的图像关于点 (?1007 , 对称. 0)

2(1 ? ln 2) .
1 x e 与函数 y = ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y = x 对称. 2

解:函数 y =

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y = e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y = x 的距离为 d = . 2 2 2
1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) = e x ? x ? g ′( x) = e x ? 1 ? g ( x) min = 1 ? ln 2 ? d min = . 2 2 2
由图象关于 y = x 对称得: PQ 最小值为 2d min = 2(1 ? ln 2) . 7. 3960 .
2 2 解:使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 = 72 种,使得 2 个 b 既不同行也不同列 2 2 的填法有 C4 A4 = 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 722 种.

其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;2 个 a 所在的
1 方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C16 A92 = 16 × 72 种.

所以,符合条件的填法共有 722 ? 72 ? 16 × 72 = 3960 种.
2

8.

2 . 15
? b = 3 ?b = 5 ? b = 4 ?b = 5 四种情况 ,? ,? ,? ?d = 5 ?d = 3 ?d = 5 ?d = 4

解:由题只有 ?

?b = 3 ?a = 1 ?a = 2 时只能 e = 4 ,所以有两种情况: ? ,? ? ?b = 2 ?b = 1 ?d = 5 ?b = 5 ?c = 1 ?e = 2 时只能 a = 4 ,所以有两种情况: ? ,? ? ?d = 3 ?e = 2 ?c = 1 ?b = 4 时, a, c, e 可任取 1,2,3 中的任意排列(不重复) ,故有 A33 = 6 种情况 ? ?d = 5 ?b = 5 时, a, c, e 可任取 1,2,3 中的任意排列(不重复) ,故有 A33 = 6 种情况 ? d =4 ? 16 2 故共有 16 种情况,故概率为 P = 5 = . A5 15

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分) 解: (1)设三边长为 n ? 1, n, n + 1 , n 为大于 1 的正整数,对角分别为 A, B, C ,则
C = 2 A ,从而 cos C = cos 2 A = 2 cos 2 A ? 1 . …………………………4 分

用余弦定理代入化简可得

2n3 ? 7n 2 ? 17n + 10 = 0 ? (2n ? 1)(n + 2)(n ? 5) = 0 .

所以 n = 5 ,该三角形三边长分别为 4,5,6. …………………………8 分 (2)若 C = 3 A ,则由正弦定理,有
n + 1 sin C sin 3 A = = = 3 ? 4sin 2 A n ? 1 sin A sin A n sin 4 A = = 4 cos A(1 ? 2sin 2 A) n ? 1 sin A

① ②

由①、②消去 sin 2 A ,得 4 cos A = n . …………………………………12 分 又由余弦定理,经化简可得 n(n 2 ? n ? 8) = 0 ,易知,该方程无正整数解. 故这样的三角形不存在. ………………………………………………………………16 分

10. (本小题满分 20 分) 证明: (1)如图,连接 MB , NC 。则 ∠ABM = ∠MNA . ∵ AM = AN ,
3

∴ ∠AMN = ∠MNA , ∴ ∠AME = ∠ABM . ……………5 分

又∵ ∠MAE = ∠BAM , ∴ △AME ∽△ABM , ∴
AM AE = , AB AM

∴ AM 2 = AE ? AB . ………………10 分 (2)仿(1)可知, AN 2 = AD ? AC , ∴ AE ? AB = AD ? AC , ∴ E 、 B 、 C 、 D 四点共圆, ∴
∠EBO = ∠DCO .

……………15 分

又 O 为 △ABC 的外心, OA = OB = OC , ∴ △AOB ≌ △AOC , ∴ AB = AC , ∴ AO ⊥ BC . ………………20 分

11. (本小题满分 20 分) 解 :由椭圆C1 :
x2 y 2 + = 1与抛物线C2 : y 2 = 8 x 的一个交点为P( x0 , y0 ) , 16 12

4 且x0 > 0, 得x0 = . ………………………………………………………………5 分 3
∵ N (2, 0)恰好是椭圆C1与抛物线C2的公共焦点,

∴由抛物线的定义知 | NA |= x A + 2 .
2 2 2 xB y B xB 2 = 1, yB = 12(1 ? ). ………………………………10 分 ∵点B在椭圆上,∴ 有 + 16 12 16

2 ∴| NB |= ( xB ? 2) 2 + yB = ( xB ? 2) 2 + 12(1 ?

2 xB ) 16

=

1 2 1 xB ? 16 xB + 64 = 4 ? xB . …………………………………………………15 分 2 2

而 | AB |=| x A ? xB |= xB ? x A ,
4

1 1 ∴ΔABN的周长 = x A + 2 + 4 - xB + xB ? x A = 6 + xB . 2 2 4 20 1 ∵ = x0 < xB < 4,∴ < 6 + xB < 8. 3 3 2 20 ∴ΔABN的周长的取值范围是( ,8). ………………………………………………20 分 3

5


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