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三角函数在历年全国高考典例


三角函数在历年全国高考典例 一.考查任意角的三角函数,同角公式,诱导公式 广东(2013)4.已知 sin( 5?
2 ??) ? 1 ,那么 5

cos? ?
D.
2 5

A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

【 解 析 】 : 考 查 三 角 函 数 诱 导 公 式 ,
sin( 5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

(2011 年高考山东卷文科 3)若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan=
a? 的值为 6

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

(2011 年高考福建卷文科 9)若 ? ∈(0, 则 tan ? 的值等于 A.
2 2

?
2

) ,且 sin 2 ? ? cos 2? ? ,

1 4

B.

3 3

C.

2

D.

3

?? (2011 年高考山东卷文科 6)若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 ? ?0, ?
? 3? ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω = ? ?3 2?

? ?

(A)

2 3 (B) 3 2

(C) 2

(D)3

(2010 全国卷 1 文数) (1) cos 300? ? (A) ?
3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角 函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?
1 2

(2010 福建文数)2.计算1 ? 2sin 22.5? 的结果等于( A.
1 2

)

B.
3 2

2 2

C.

3 3

D.

【答案】B 【解析】原式= cos 45? =
2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数

值 (2009 北京文) “ ? ? ”是“ cos 2? ? ”的
6

?

1 2

A. C.

充分而不必要条件 充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)
? 12 13 12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 (C) ? 13

(D)

(2009 全国卷Ⅰ文) sin 585 o 的值为 (A) ?
2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin 585 o ? sin( 360 o ? 225 o ) ? sin(180 o ? 45 o ) ? ? sin 45 o ? ?
2 , 故选择 A。 2

(2010 全国卷 2 文数) (13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/2,则 cosα =__________

2 5 【解析】 5 ?
tan ? ? ?

:本题考查了同角三角函数的基础知识



2 5 1 cos ? ? ? 5 2 ,∴

(2011 年高考江西卷文科 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴 的 正 半 轴 , 若 p ? 4, y ? 是 角 ? 终 边 上 一 点 , 且 sin ? ? ? y=_______.
2 5 ,则 5

(2009 北京文)若 sin ? ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 【答案】 ?
3 5

4 5

.

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.【来源:全,品?中& 高*考+网】属于基础知识、基本运算的考查.
? 由已知,? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? , 5 ? 5? 4 3
2

∴应填 ? . 二.两角和差,二倍角三角函数 (2012 高考全国文 4)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? (A)?
24 25 24 25 3 5 12 (C) 25

3 5

(B)?

12 25

(D)

【答案】B 【解析】因为 ? 为第二象限,所以 cos ? ? 0 ,即 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? , 所以 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? ? ? ?
4 3 5 5 12 ,选 B. 25 4 5

(2012 高考辽宁文 6)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π ),则 sin 2? =

(A) ? 1 【答案】A

(B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

【解析】? sin ? ? cos ? ? 2,? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 2,? sin 2? ? ?1, 故选 A (2010 全国卷 2 文数) (3)已知 sin ? ? ,则 cos( x ? 2? ) ? (A) ?
5 5 1 1 (B) ? (C) (D) 3 3 9 9
2 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3, ∴
cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ? 1 9 1 3

(2009 全国卷Ⅰ文)已知 tan a =4,cot ? = ,则 tan(a+ ? )= (A)
7 11

(B) ?

7 11

(C)

7 13

(D) ?

7 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基 础题。 解: 由题 tan ? ? 3 , tan(? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? 4? 3 7 故选择 B。 ? ?? , 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 12 11
2

(2009 湖北卷文) “sin ? = 1 ”是“ cos 2? ? 1 ” 的【来源:全,品?中&
2

A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由 cos 2a ? 可得 sin 2 a ? ? ,故 sin a ? 是sin 2 a ? 成立的充分 不必要条件,故选 A.
? 的 值 是 ____ √ 四 川 (2013)13 、 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ? , ? ) , 则 t a n 2
2

1 2

1 2

1 2

1 4

3________。

江西(2013)13 设 f(x)= sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x) |≤a,则实数 a 的取值范围是 [答案]: a ? 2 [解析]: f ( x) ? 3sin3x ? cos3x ? 2sin(3x ? ? ) 得 | f ( x) |? 2 故 a ? 2 上 海
(2013)11



. 若

cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 , sin 2 x ? sin 2 y ? 2 3

, 则

s ix ? n y( ?

)

_ _ _ _ _ _ _ _

( 2010 全国卷 1 文数) (14) 已知 ? 为第二象限的角, sin a ? , 则
tan 2? ?

3 5

.

14. ?

24 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角 7

三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变 换的解题技能. 【 解 析 】 因 为 ? 为 第 二 象 限 的 角 , 又 sin ? ?
tan ? ? sin ? 3 2 tan ? 24 ? ? ,所 tan(2? ) ? ?? 2 cos ? 4 1 ? tan ? 7 3 4 , 所 以 cos ? ? ? , 5 5

(2010 全国卷 1 理数)(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则
tan( ? 2? ) ? 4

?

3 5

.

广东(2013)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos ? ?x?
? ? (1) 求 f ? ? ? 的值; ?3? ?, x ? R . 12 ?

? ?

?

(2) 若 cos ? ? ,? ? ? ?
3 5

3? ? , 2? ? ,求 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

? ? ? ? ? ? 【解析】(1) f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 3 3 12 4 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

(2)? cos ? ? , ? ? ? ?
3 5

4 3? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?

【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了. 江苏(2013)15. (本小题满分 14 分)已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) ,
0 ? ? ?? ?? .

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解: (1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), |a - b|2 = (cosα - cosβ)2 + (sinα - sinβ)2 = 2 - 2(cosα · cosβ + sinα·sinβ)=2, 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0, 所以, a ? b . (2)?
? cos? ? cos ? ? 0 ?sin ? ? sin ? ? 1
2 3 2 3

1 ① , ①2+②2 得: cos(α-β)=-2 所以, ②

α-β= ? ,α= ? +β, 带入②得:sin( ? +β)+sinβ= 1, 所以, +β= .
? 3 ? 2
2 3

1 ? 3 cosβ+2 sinβ=sin( +β)= 3 2

所以,α=

5? ? ,β= . 6 6

(2011 年高考广东卷文科 16)(本小题满分 12 分)
?? ?1 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , x ? R .
?3 6?

(1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0, ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. 2 ? 13 5 ? 2? ?
? ?? ?

? ? 10

6

(2010 四川文数) (19) (本小题满分 12 分) 【来源:全,品?中&高* 1 证明两角和的余弦公式 C? ? ? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (Ⅰ) ○ 2 ○ 由
C? ? ?





















S? ? ? : sin(? ? ? )? sin ? cos ? ? cos ? sin ?.

( Ⅱ ) 已 知 cos ? ? ? ,? ? (? , ? ), tan ? ? ? , ? ? ( ,? ), cos(? ? ? ) , 求
2
cos(? ? ? )

4 5

3 2

1 3

?

三.三角恒等变换 (2012 高考重庆文 5) (A) ?
sin 47? ? sin17? cos 30? cos17?

3 3 1 1 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C 【解析】
? sin 47? ? sin17? cos 30? sin(30? ? 17? ) ? sin17 ? cos 30? ? cos17? cos17?

sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17 ? cos 30? sin 30? cos17 ? 1 ? ? sin 30? ? 选 C. ? ? cos17 cos17 2
sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 4 C. D. 3 3

(2012 高考江西文 4)若 A. 3 4

B.

3 4

【答案】B

sin ? ? cos ? 1 ? ,得 2(sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? ,即 tan ? ? ?3 。 sin ? ? cos ? 2 2 tan ? ?6 6 3 又 tan 2? ? ? ? ? ,选 B. 2 1 ? tan ? 1 ? 9 8 4

【解析】由

(2010 福建文数)2.计算1 ? 2sin 22.5? 的结果等于( A.
1 2

) D.
3 2

B.

2 2

C.

3 3

【答案】B 【解析】原式= cos 45? =
2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数 值 (2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 是
4

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数
2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数
2

?

?

【答案】A
2? ? ?? 【解析】 因为 y ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 ? cos ? ?? , ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ?

4

?

2?

2

所以选 A. (2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? (A) ?
4 3

(B)

5 4

(C) ?

3 4

(D)

4 5

(2009 陕西卷文)若 tan ? ? 2 ,则 OA ? OB ? AB ? 2?AOB ? 60? 的值为

(A)0 (B) 答案:B.

3 4

(C)1 (D)

5 4

解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cos ? (cos ? ? 0) 得,
2 sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3 cos ? 原式= = = ? 故选 B. sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? tan? +2 4 cos ?

(2012 高考江苏 11) (5 分) 设 ? 为锐角, 若 cos ? ?? ?
?

? ?? 4 则 sin(2a ? ) ?? , 6? 5 12

的值为 ▲ 【答案】



17 2。 50

【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? < ,∴
2

?

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 3



∵ cos ? ?? ?
?

?? 4 ?? 3 ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ 6? 5 6? 5 ?

?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ?

∴ cos ? ? 2? ?
?

?? 7 。 ?? 3 ? 25 )= sin(2a ?

∴ sin(2a ?

?
12

?
3

? ?? ? ?? ? ? ? ? )= sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 4 3 4 3? 4 ? ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

湖 南

(2013)17

.( 本 小 题 满 分
?
3 ).g ( x) ? 2 sin 2 x。 2
3 5

12

分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin( x ?

?
6

) ? cos( x ?

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ? 3

。求 g (? ) 的值;

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。

(2012 高考广东文 16)本小题满分 12 分)
x ?? ?? ? 已知函数 f ( x) ? A cos ? ? ? ? , x ? R ,且 f ? ? ? 2 ?4 6? ?3?

(1)求 A 的值;
?? 4 ? 30 2 ? 8 ? ? (2) 设? ? ? ? ? 求 cos(? ? ? ) ?0, 2 ? ,f ? 4? ? 3 ? ? ? ? 17 ,f ? 4 ? ? 3 ? ? ? 5 ,
? ? ? ? ? ?

的值.

(2010 上海文数)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?
?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2

解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0. (2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, )
2

?

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ? , 0 ? ? ?
?
2

,求 cos ? 的值

四.三角函数的图象 四川 (2013)5 、函数
f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

的部分 )
2
π 3

y

图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是 A (A) 2, ? ?
3

B) 2, ? ? (C) 4, ? ? (D) 4, ?
6 6

3

O -2

5π 12

x

湖北 (2013)6 .将函数 y ?

3 cosx ? sin x x ( ?R 的图象向左平移 )

m (m ? 0 )个单位长度后,所得到的图象关于

y 轴对称,则 m 的最小值

是 A.
π 12

B. π
6

C. π

3

D. 5π
6

福建 9. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(? ? ? ? ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单
2 2

?

?

位 长 度 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 象 , 若 f ( x), g ( x) 的 图 象 都 经 过 点
P(0, 3 ) ,则 ? 的值可以是( 2
5? 3


?
2

A.

B.

5? 6

C.

D.

? 6

【答案】B 【 解 析 】 本 题 考 查 的 三 角 函 数 的 图 像 的 平 移 . 把 P(0,
f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

3 ) 代入 2

?
2

?? ?

?
2

) ,解得 ? ?

?
3

,所以 g ( x) ? sin(2 x ? ? 2? ) ,把
3

?

P(0,

3 ? ) 代入得, ? ? k? 或 ? ? k? ? ,观察选项,故选 B 6 2

(2012 高考新课标文 9)已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ?

?
4

和x ?

5? 是函 4

数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π (A)4 【答案】A 【解析】因为 x ?
5? 是函数图象中相邻的对称轴,所以 4 4 5? ? T T 2? , 即 ? ? , T ? 2? . 又 T ? ? ? ? 2? , 所 以 ? ? 1 , 所 以 4 4 2 2 ?

π (B)3

π (C)2

3π (D) 4

?

和x?

f ( x) ? sin( x ? ? ) ,因为 x ?

?

??

?
4

4

是函数的对称轴所以
?
4

?

4

?? ?

?

因为 0 ? ? ? ? , 所以 ? ? ? k? ,

, 检验知此时 x ?

5? 也为对称轴, 4

2

? k? ,所以

所以选 A. (2012 高考安徽文 7) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数
y ? cos 2 x 的图象

(A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 【答案】C
1 个单位 2

(B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移 个单位
1 2

【解析】 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 。 (2012 高考浙江文 6)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向 下平移 1 个单位长度,得到的图像是

1 2

【答案】A

【解析】由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变) , 即解析式为 y=cosx+1, 向左平移一个单位为 y=cos
? (x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),利用特殊点 ? ? , 0 ? 变为 2 ? ? ?? ? ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ?

?

(2012 高考天津文科 7)将函数 f(x)=sin ? x(其中 ? >0)的图像向右平移
?
4

个单位长度,所得图像经过点( (A)
1 3

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是 C)
5 3

(B)1

(D)2

【答案】D 【 解 析
?
4






?
4




??
4





?
4









g ( x) ? f ( x ?

) ? sin ? ( x ?

) ? sin(?x ?

) ,因为此时函数过点 (

所以 sin ? (

3? ? 3? ? ?? ? ) ? 0 ,即 ? ( ? ) ? ? k? , 所以 ? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的 4 4 4 4 2

3? ,0) , 4

最小值为 2,选 D. 4. (2011 年高考海南卷文科 11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,
4 4

?

?

则(

)
? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 2 2 4 2 4 2

A. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 B. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 C. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 D. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 【答案】D

【解析】因为 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,故选 D.
4 4 2

?

?

?

(2011 年 高 考天 津卷 文 科 7) 已 知 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R, 其 中
? ? 0, ?? ? ? ? ? . 若 f ( x) 的最小正周期为 6? , 且当 x ?

?
2

时, f ( x) 取得最

大值,则 A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数 是增函数 C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数 是减函数 【答案】A
1 1 ? ? 6? ,解得 ? ? ,又 sin( ? ? ? ) ? 1 ,且 ?? ? ? ? ? , ? 3 3 2 ? 1 ? 所以 ? ? ,所以 f ( x) ? sin( x ? ) ,故 A 正确. 3 3 3

B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上

D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上

【解析】由题意知

2?

( 2011

年 高 考 辽 宁 卷 文 科
?
2

12) 已 知 函 数
?
24 )?

f ( x) ? A tan(? x ? ? )(? ? 1,| ? |?

) , y=f(x)的部分图像如图,则 f (

(A) 2 ? 3 (C)
3 3

(B)

3

(D) 2 ? 3

2010 辽宁文数) (6) 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移
3

?

4? 3

个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是 (A)
2 3

(B)

4 3
2?

(C)
?
?

3 2

(D) 3

解析:选 C.由已知,周期 T ? (2010 天津文数) (8)

4? 3 ,?? ? . 3 2

? ? 5? ? 为了得到这 右图是函数y ? A sin (? x +?)(x ? R)在区间 ?- , ? 上的图象, ? 6 6 ?

个函数的图象,只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象 上所有的点

(A)向左平移 个单位长度, 再把所得各点的
3

?

横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2
3

?

1 2

倍,纵坐标不变 (C) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
6

?

1 2

倍,纵坐标不变

(D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2
6

?

倍,纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于 中等题。 由图像可知函数的周期为 ? ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ).代入(- ,0)可得 ? 的一个值为 ,故图像中函数的一
6

?

?

个表达式是 y=sin(2x+ ),即 y=sin2(x+
3

?

?
6

3

),所以只需将 y=sinx(x

∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横
6

?

坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最 后求 ? 。三角函数图像进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期 变换时,需要将 x 的系数变为原来的
1

1 2

?

(2010 四川文数) (7)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平

行移动

?
10

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵

坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?
1 2

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ? )
5

?

(C) y ? sin( x ?

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

(2012 高考全国文 15)当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时,
x ? ___________.

【答案】

5? 6

【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? ) , 当 0 ? x ? 2? 时 ,
5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得 3 3 3 3 2 6 5? 最大值,所以 x ? . 6 ?

?

?

? x?

?

3

?

(2011 年高考陕西卷文科 6)方程 x ? cos x 在 ? ??, ?? ? 内 (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 【答案】C 【解析】 :令 y1 ?| x | , y2 ? cos x ,则它们的图像如图 故选 C (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根

(2011 年高考全国卷文科 7)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的 图像向右平移 个单位长度后, 所得的图像与原图像重合, 则 ? 的最
3

?

小值等于 (A)
1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

【答案】C 【解析】 f ( x ? ) ? cos[? ( x ? )] ? cos ? x 即 cos(? x ?
??

?

?

??
3

??
3

3

3

) ? cos ? x

? 2k? ? 2? (k ? Z ) ? ? ? ?6k ? 6 z 则 k ? ?1 时 ?min ? 6 故选 C

(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 ... 是( ) 【来源:全,品?中&高*考+网】

D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知 识点因含有参数而丰富, 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有 深度. 【解析】 对于振幅大于 1 时, 三角函数的周期为 T ?
2? ,? a ? 1,?T ? 2? , a

而 D 不符合要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . (2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平 移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( ).
? 4

A. y ? 2 cos 2 x
y ? cos 2 x

B. y ? 2sin 2 x

C. y ? 1 ? sin(2 x ? )
4

?

D.

(2009 全国卷Ⅱ文)若将函数 y ? tan(?x ? )(? ? 0) 的图像向右平移
?
4 6

?

?
6

个单位长度后, 与函数 y ? tan(?x ? ) 的图像重合, 则 ? 的最小值为 (A)
1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D) 【来源:

1 2

全,品?中&高*考+网】 【答案】D 【解析】本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出 ω min=
1 2

(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ? )( x ? R, w ? 0) 的最小正周期
4

?

为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴 对称,则 ? 的一个值是( ) A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ?
2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式 w

?
2

B

3? 8

C

?
4

D

?
8

可知平移后是偶函数, sin[2( x ? ? ) ? ] ? ? cos 2 x ,故选 D
4

?

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公

式运用以及诱导公式的运用。 (2009 全国卷Ⅰ文) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 对称,那么 ? 的最小值为 (A)
?
6 4? , 0) 中心 3

(B)

?
4

(C)

?
3

(D)

?
2

(2009 湖北卷文)函数 y ? cos(2 x ? ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/,
6

F/的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于 A.
( ,?2) 6 6

?

B.

( ,2) 6

?

C.

(?

? ,?2) 6

D. (? ? ,2) 【答案】D 【解析】由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ? , 2) 时,
F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?

? 6

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

(2011 年 高 考 江 苏 卷 9) 函 数 f ( x) ? A sin( wx ? ? ), ( A, w, ? 是 常 数 ,
A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (0) ? ____

? 7
? 2
3 12

?

?? (2010 江苏卷)10、定义在区间 ? ? 0 , ? 上的函数 y=6cosx 的图像与
? 2?

y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、 数形结合思想。 线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为
2 3 2 3

(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在 闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 品 ? 中 & 高 * 考 + .【来源:全, 网 】

(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,

则f? ?

7? ? 12

? ?? ?



(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图 所示, 【来源:全,品?中&高*考+网】 则? =

4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】
3 2

? ω=

3 2

上海(2013)21. (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [? ? , 2? ] 上单调递增,求 ? 的取值范围;
4 3

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? 个单位,再向上平移
6

1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b]( a, b ? R 且 a ? b )满足:
y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有

30 个零点, 在所有满足上述条件的 [a, b] 中,

求 b ? a 的最小值. (2012 高考陕西文 17)(本小题满分 12 分) 【来源:全,品?中&高*考 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两
6

?

条对称轴之间的距离为 ,
2

?

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。
2 2

?

?

(2011 年高考浙江卷文科 18)(本题满分 14 分)已知函数
f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如

图所示,P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) . 【来源:全,品?中&高*考+网】 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) ,
?PRQ ? 2? ,求 A 的值. 3

法二:设点 Q( x0 , ? A) 由题意可知 x0 ?
3 ?PRQ ?

?

?
6

?

3? 所以 Q(4, ? A) ,在 ? PRQ 中 2

3 ?A 3 2? ? ? ?? ? A? 3. ,??xRQ ? , 则k RQ ? ? 3 4 ?1 3 3 6

(2011 年高考重庆卷文科 18) (本小题满分 13 分, (I) 小问 7 分, (II) 小问 6 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos(? ? x) cos x( x ? R). (1)求 f ( x) 的最小正周期; (II)若函数 y ? f ( x) 的图象按 b ? ? ? ,
?4 ?? 3? ? 平移后得到函数 y ? g ( x) 2 ? ?

的图象,求 y ? g ( x) 在 (0, ] 上的最大值。
4

?

五.三角函数的性质
?? ? ?? 天津(2013)(6) 函数 f ( x) ? sin ? ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是
? 4?
? 2?

(A) (C)

?1
2 2

(B)

?

2 2

(D) 0

重庆(2013)(9)已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log2 10)) ? 5 , 则 f (lg(lg 2)) ? (A ) ? 5 【答案】C. (B) ?1 (C) 3 (D) 4

(2012 高考全国文 3)若函数 f ( x) ? sin (A)
5? 3

?
2

(B )

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? (C) (D) 2

【答案】C

x ?? x ? x ? ? sin( ? ) ,因为函数 f ( x) ? sin( ? ) 为偶 3 3 3 3 3 ? ? 3? 函数, 所以 ? ? k? , 所以 ? ? ? 3k? , k ? Z ,又 ? ? [0,2? ] , 所以当 k ? 0 3 2 2 3? 时, ? ? ,选 C. 2

【解析】函数 f ( x) ? sin

?x ? ? (2012 高考山东文 8)函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和 ?
? 6 3?

为 (A) 2 ?
3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ?

3

【答案】A 【解析】因为 0 ? x ? 9 ,所以 0 ?
?

?
6

x?

9? ? ? ? 9? ? , ? ? x ? ? ? ,即 6 3 6 3 6 3

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? ? ? ? ? , 所以当 x ? ? ? 时, 最小值为 2 sin(? ) ? ? 3 , 6 6 3 3 3

当 x?
6

?

?
3

?

?
2

时,最大值为 2 sin

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之和为

2 ? 3 ,选 A.

(2012 高考江西文 9)已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则
4

?

1 5

A.a+b=0

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

【答案】C 【解析】先化简函数 f ( x) ? sin 2 ( x ? ) ?
4

?

1 ? cos 2( x ? 2

?

) 4 ? 1 ? sin 2 x ,所以 2 2

1 sin (2 lg ) 1 1 (2 lg 5) 1 sin (2 lg 5) 5 ? 1 ? sin , b ? f (lg ) ? ? ,所以 a ? f (lg 5) ? ? 5 2 2 2 2 2 2 1 sin (2 lg 5) 1 sin (2 lg 5) a?b ? ? ? ? ? 1 ,选 C。 2 2 2 2

(2102 高考福建文 8)函数 f(x)=sin(x- )的图像的一条对称轴是 A.x=
?
4

?

B.x=

?
2

4

C.x=-

?
4

D.x=-

?
2

【答案】C. 【解析】因为 y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? , k ? Z ,所以 f ( x) ? sin( x ? )
?

?

2 4 ? ? 3? 的对称轴为 x ? ? k? ? , k ? Z ,即 x ? k? ? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,一条 4 2 4

对称轴是 x ? ? .故选 C.
4

?

(2011 年高考湖北卷文科 6)已知函数 f ( x ) ? 则 x 的取值范围为 A. { x | k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? z}
3

3 sin x ? cos x, x ? R , 若 f ( x) ? 1 ,

B. { x | 2k? ? ? ? 2k? ? ? , k ? z}
3

C. { x | k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? z}
6 6

D.

{ x | 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

5? , k ? z} 6

答案:A 解析:由
? 1 ? 3 sin x ? cos x ? 1 ,即 sin( x ? ) ? ,解得 2k? ? ? x ? 2k? ? ? (k ? z ) , 6 2 3

所以选 A. (2010 陕西文数)3.函数 f (x)=2sinxcosx 是

[C] (A)最小正周期为 2π 的奇函数 的偶函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 偶函数 解析:本题考查三角函数的性质 (D) 最小正周期为π 的 (B)最小正周期为 2π

f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数
(2010 重庆文数) (6)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ , ] 上为减函
4 2

? ?

数的是 (A) y ? sin(2 x ? ) (C) y ? sin( x ? )
2

?

?

2

(B) y ? cos(2 x ? ) (D) y ? cos( x ? )
2

?

?

2

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当 x ? [ , ] 时, 2 x ? ? ? ?, 4 2 2 ? ? 2
?
2

? ?

?

? 3? ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数 ? 2 ?

而函数 y ? cos(2 x ? ) 为增函数,所以选 A (2010 山东文数) (10)观察 ( x 2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x3 , (cos x)' ? ? sin x ,由 归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为
f ( x) 的导函数,则 g (? x) =

( A ) f ( x) (D) ? g ( x) 答案:D

(B) ? f ( x)

(C) g ( x)

(2010 湖北文数)2.函数 f(x)=

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为 2 4

A.

?
2

B.x

C.2 ?

D.4 ?

【答案】D
? 【解析】由 T=| 21 |=4π ,故 D 正确.
2

( 2009 安 徽 卷 文 ) 设 函 数 ,则导数 A. B. 的取值范围是 C. D.

,其中

(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x 的最小正周期为 A. 2? 【答案】A 【解析】 由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? ) 可得最小正
6

B.

3? 2

C. ?

D.

?
2

?

周期为 2? ,故选 A. (2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
2

?

A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? [0, ]上是增函数 C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 数 【答案】D
? 2

B. 函数 f ( x) 在区间

D. 函数 f ( x) 是奇函

【解析】∵ f ( x) ? sin( x ? ) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D
2

?

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 (2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
2

?

A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? [0, ]上是增函数 C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 数
? 2

B. 函数 f ( x) 在区间

D. 函数 f ( x) 是奇函

(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题: 【来源:全,品? 中&高*考+网】
p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
x x 1 + cos 2 = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y ) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

其中假命题的是 (A) p1 , p4
p3

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 ,

2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin110 ? cos100 ? sin1680 C. sin110 ? sin1680 ? cos100 【答案】C



B. sin1680 ? sin110 ? cos100 D. sin1680 ? cos100 ? sin110

解析因为 sin160? ? sin(180? ? 12? ) ? sin12? , cos10? ? cos(90? ? 80? ) ? sin 80? , 由于 正 弦 函 数 y ? sin x 在 区 间 [0? , 90? ] 上 为 递 增 函 数 , 因 此
sin11? ? sin12? ? sin 80? ,即 sin11? ? sin160? ? cos10? 。

(2012 高考上海文 3)函数 f ( x) ? 【答案】 ?

sin x ?1

2 cos x

的最小正周期是

【解析】函数 f ( x) ? sin x cos x ? (?2) ? 2 ? sin 2 x ,周期 T ? 数 f ( x) 的周期为 ? 。

1 2

2? ? ? ,即函 2

重庆 (2013)(15)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x2 ? (8sin? )x ? cos 2 ? ? 0对 x ? R 恒 成立,则 a 的取值范围为 【答案】 [0, ] ? [
6



?

5? ,? ]. 6

江苏(2013)1.函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的最小正周期为
4

?



【答案】π 2π 2π 【解析】T=| ω |=| 2 |=π. (2011 年高考安徽卷文科 15)设 f ( x) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a,b? R, ab ? 0,若 f ( x) ? f ( ) 对一切则 x ? R 恒成立,则
6

?

① f(

11? )?0 12

② f(

7? ? )< f( ) 10 5

③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 ④ f ( x) 的单调递增区间是 ? ? k? ? , k? ?
? 6

?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤存在经过点(a,b)的直线与函数的图 f ( x) 像不相交 以上结论正确的是 【答案】①③ 【命题意图】本题考查辅助角公式的应用,考查基本不等式,考查三 角函数求值,考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.
2 2 【解析】 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ? a ? b sin(2 x ? ? ) ?

(写出所有正确结论的编号).

a 2 ? b 2 ,又

? ? ? 3 1 ? f ( ) ? a sin ? b cos ? a ? b …0 ,由题意 f ( x) ? f ( ) 对一切则 x ? R 6 3 3 2 2 6

恒成立,则
a 2 ? b2 ?

a 2 ? b2 ?

3 1 a? b 对 一 切 则 x ? R 恒 成 立 , 即 2 2

3 2 1 2 3 a 2 ? 3b 2 剠2 3ab a ? b ? ab , 4 4 2

00 恒成立, 而 a 2 ? 3b 2 …2 3ab ,





a 2 ? 3b 2 = ? 2 3ab







a ? 3b ? 0

.





?? ? f ( x) ? 3b sin 2x ? b cos 2x ? 2 b sin x? ? . ? 2 6? ?

( 2010 浙 江 文 数 ) ( 12 ) 函 数 f ( x) ? sin 2 (2 x ? ) 的 最 小 正 周 期
4

?





答案:

? 2

( 2009 是

上 海 卷 文 ) 函 数 f ( x) ? 2 cos2 x ? sin 2x 的 最 小 值 。

【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为:1 ? 2
4

?

(2009 上海卷文)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x 。项数为 27 的等差数列
? ? ?? 则当 k= {an } 满足 an ? ? ? , ? , 且公差 d ? 0 ,若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a27 ) ? 0 , ? 2 2?

时, f (ak ) ? 0. 。

(16) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ? ) .
3

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y ? f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过 怎样的变化得到. 【解析】 (1) f ( x) ? sin x ? sin x cos ? cos x sin
3

?

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6



时 , sin( x ? ) ? ?1 6 ? 3? 4? x? ? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 2 3

?

f ( x) m i n ? ? 3







所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ?

4? ? 2k? , k ? Z } . 3

(1) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? )
6 6

?

?

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与 三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力,中等难度. 北 京
f ( x) ?

(2013)15

.( 本 小 题 共 13 分 )
1 1x ? ) s i n 2 x 2 c o s 4

已 知 函 数

2 ( 2 c x ? o s

(1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值。 (2)若 ? ? ( ? , ? ) ,且 f (? ) ?
2

2 2



求 ? 的值。

辽 宁
a?

(2013)17

.( 本 小 题 满 分
, x? ? s b i n

12

分 ) 设 向 量
, 0 , .

?

3 s ix n

?

? ,x ? ? ?
?

??

c ?o x s 2?

, s i n x

(I)若 a ? b .求x的值; (II)设函数 f ( x) ? a ? b,求f ( x)的最大值 【解析】 : 由 . ,得 4 ,又 .从而 , = = .所以 .

当 所以



时,

取最大值 1

的最大值为

山东(2013)(18)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?
3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 的图象 2

的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,
3? ] 上的最大值和最小值 2

? 4

(2012 高考湖南文 18)(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 的部分图像如图 5 所示.
2

?

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?
?
12 ) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

(Ⅱ)

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? ? ? ?

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3

?

由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? , 得 k? ?
2 3 2

?

?

?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? , k ? z. 12 12 ? ? ?

(2012 高考四川文 18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? sin cos ? 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?
3 2 ,求 sin 2? 的值。 10
x 2 x 2 x 2 1 2

命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二 倍角公式等基础知识,考查基本运算能力以及化归与转化的数学思 想.

(2012 高考重庆文 19)(本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小 问 7 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) 在x ?
? 2

?
6

处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ?
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

【答案】 (Ⅰ) ? ? 【解析】

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos 2 x ? [0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?

3 cos 2 x ? 1 2

(2102 高考北京文 15)本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

(2012 高考湖北文 18)(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) = x=π 对称,其中 为常数,且 的图像关于直线

1.求函数 f(x)的最小正周期;

2.若 y=f(x)的图像经过点 【答案】

,求函数 f(x)的值域。

(2011 年高考福建卷文科 21)(本小题满分 12 分) 设函数 f( ? )= 3 sin ? ? cos ? ,其中,角 ? 的顶点 与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终 边经过点 P(x,y) ,且 0 ? ? ? ? . (1)若点 P 的坐标为 ( ,
1 3 ) ,求 f (? ) 的值; 2 2

? x+y ? 1 ? (II)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: ? x ? 1 ,上的一个动 ?y ? 1 ?

点,试确定角 ? 的取值范围,并求函数 f (? ) 的最小 值和最大值.

(2011 年高考四川卷文科 18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? ?x?
? 7? 4 3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ? ? ?, x ? R ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ?
4 5 4 5

?
2

,求证:

? f (? )?

2

?2 ? 0.

? ? ?? ?? ? 2? ? ? f ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2sin ? ? ? 4 ? ? ? 2 ? 4sin ? ? ? 4 ? ? 2 ? ?? ? ? ?
2

2

? ? ?? ? ? 2 ?1 ? cos ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ?2sin 2 ? ? 0 , 2 ?? ? ?

所以,结论成立. (2010 湖南文数)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

(2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分)
?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数
f ? x?
? ? 3? ? , ? ? 8 4 ? 上的取值范围; ? 在区间

(1) 当 m=0 时,求

(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

3 5 ,求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函 数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识 交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解 : ( 1 ) 当 m=0 时 ,

f ( x) ? (1 ?

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

? 2 1 ? ? 3? ,1] ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ? [? 4 2 2 4 8 4

从而得: f ( x) 的值域为 [0,

1? 2 ] 2

(2010 山东文数)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos 2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为
?



(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ?
f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 , 2

纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? ?0, 的最小值.

?? ?上 ? 16 ?

(2010 北京文数) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;
3

?

(Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos
3

?

2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 3 3 4 4

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2 cos 2 x ? 1) ? (1 ? cos 2 x)
? 3cos 2 x ? 1, x ? R

因为 cos x ? ? ?1,1? , 所以,当 cos x ? ?1 时 f ( x) 取最大值 2 ;当
cos x ? 0 时, f ( x) 去最小值-1。

(2010 湖北文数)16.(本小题满分 12 分)
cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 已经函数 f ( x) ? 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样变化得出?

(Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使用 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

(2010 广东文数)

(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? ? 6 2?

? ?

(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 【来源:全,品?中&高*考+网】 设向量 a ? (4 cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4 cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) 【来源: 全,品? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; 【来源:全, 中&高*考+网】 品?中&高*考+网】 (2)求 | b ? c | 的最大值;【来源:全,品?中&高* 考+网】 (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .【来源:全,品?中&高* 考 + 网 】
? ?
? ?

?

?

?

?

?

?

(2009 湖南卷文) (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / /b ,求 tan ? 的值;
? ?
? ?

(Ⅱ)若 | a |?| b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

?

?

(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 为 ? ,且图象上一个最低点为 M (
2? , ?2) . 3

?
2

)的周期

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?

12

] ,求 f ( x) 的最值.

(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分) 【来源:全,品?中&高*考+

网】 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos cos, ? ? sin
4

?
2

?

?? 【来源:全,品?中&高* sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

考+网】 (Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之 间的距离等于 ,求函数 f ( x) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函
3

?

数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? )【来源:全,品?中&高*考+网】
4 T ? 依题意, ? 【来源:全,品?中&高*考+网】 2 3

?

又T ?

2?

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? )
4

?

函 数 f ( x) 的 图 像 向 左 平 移 m 个 单 位 后 所 对 应 的 函 数 为
?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立

亦即 sin(?3x ? 3m ? ) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。
? sin(?3 x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3 x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4

?

?

?

4

4

?

?

?

即 2sin 3x cos(3m ? ) ? 0 对 x ? R 恒成立。
? cos(3m ? ) ? 0 4

?

?

4

故 3m ?
?m ?

?

k? ? ? (k ? Z ) 【来源:全,品?中&高*考+网】从而,最小正 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

实数 m ?

?

12

(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) 2 ? 2 cos 2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 个单位
2 2? . 3

?

长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增区间.

六.解斜三角形 陕西(2013)9. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若
b cos C ? c cos B ? a sin A ,

则△ABC 的形状为 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不 确

(A) 直角三角形 定 【答案】A

【解析】因为 b cos C ? c cos B ? a sin A ,所以 sin B cos C ? sin C cos B ? sin A sin A 又 sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C) ? sin A 。联立两式得 sin A ? sin A sin A 。 所以 sin A ? 1, A ?
?
2

。选 A

湖南(2013)5.在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB= 3 b,则角 A 等于 A A.
? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

6. (2011 年高考浙江卷文科 5)在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ?

(A)(D) 1

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

【答案】 D 【 解 析 】 : 由 余 弦 定 理 得 :

a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, ? 2 R sin A cos A ? 2 R sin B sin B

即sin A cos A ? sin 2 B 则 sin A cos A ? cos 2 B ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,故选 D

( 2011 年 高 考四川 卷 文 科 8) 在△ ABC 中, sin2A sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是 (A) (0, ] (C) (0, ]
3



sin2B+

? ?

6

(B) [ , ? )
6

?

(D) [ , ? )
3

?

答案:C 解析:由正弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,由余弦定理,得
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,则 cos A ?

1 ? ,? 0 ? A ? ? ,? 0 ? A ? . 2 3

( 2011 年 高 考 重 庆 卷 文 科 8) 若 △ ABC 的 内 角 , A, B, C 满 足
6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ?

A.

15 4

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

11 16

【答案】D 2010 上海文数) 18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , 则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能

解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cos c ?
5 2 ? 112 ? 13 2 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11

(2010 湖南文数)7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b,c,若∠C=120°,c= A.a>b C. a=b
2 a,则

B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

(2010 北京文数) (7)某班设计了一个八边 形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成 的正方形所组成, 该八边形的面积为 (A) 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; (B) sin ? ? 3 cos ? ? 3 (C) 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 ; 答案:A (D) 2sin ? ? cos ? ? 1

1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若
a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75o ,则 b ?

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

(2011 年高考福建卷文科 14)若△ ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60? , 则边 AB 的长度等于_____________.

(2010 山东文数) (15) 在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c, 若a ? 答案: (2010 北京文数) (10)在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 则 a= 答案:1 (2010 广东文数) 。
2? , 3
2, b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角

A 的大小为

.

(2010 江苏卷)13、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、 b、c, ? ? 6 cos C ,则
b a a b tan C tan C =____▲_____。 ? tan A tan B

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转 化思想。一题多解。

(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 值等于 2 ,

AC 的 cos A

AC 的取值范围为 ( 2, 3) .

16. 已知向量 a ? (cos x, ? 1 ), b ? (
2

3 sin x,cos 2 x), x ? R ,

b. 设函数 f ( x) ? a·

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.
?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

【答案】(Ⅰ) ? . 【解析】(Ⅰ)

(Ⅱ) 1,? .

1 2

f ( x) ? a· b = cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ? ), 最小正周期为 ? 。
6

?

(Ⅱ)
? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, . 2 6 6 6 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 2

?? 所以,f (x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ?
? 2?

山东(2013)(7)、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? (A) 2 3 (B) 2 (C) 2 (D)1

天津(2013)(16) (本小题满分 13 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3,
cos B ? 2 . 3

(Ⅰ) 求 b 的值;
?? (Ⅱ) 求 sin ? ? 2 B ? ? 的值.
? 3?

重庆(2013)(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分) 在 △ ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 . a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 a b (Ⅰ)求 A ;

(Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值, 并指出此时 B 的值.

安徽 (2013) ( 12 )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 。若
b ? c ? 2 a,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? __【答案】B

【解析】? 3 sin A ? 5 sin B 由正弦定理,所以 3a ? 5b,即a ? b ; 因为 b ? c ? 2a ,所以 c ? a ,
a2 ? b2 ? c2 1 2? cos C ? ? ? ,所以 C ? ,答案选择 B 3 2ab 2
7 3

5 3

【考点定位】考查正弦定理和余弦定理,属于中等难度.

四川(2013)17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且
c o As ? (B )B ?c o s A ? 3 s B i n ?( A。 ?c ) ? s i n ( 5 )

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上 的投影。 湖北(2013)18. (本小题满分 12 分) 在△
ABC

??? ?

??? ?

中,角

A

, B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知

cos 2 A ? 3 c oB s( ? C ? ). 1

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

江西(2013)17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.求证:a,b,c 成 等差数列; 若 C=
2? 3

,求 的值。

a b

[ 解 析 ] :( 1 ) 由 已 知 得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1. 故

sinAsinB+sinBsinC=2sin2B 因为 sinB 不为 0,所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所 以 a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知 c2 ? a2 ? b2 ? 2ac cos C 得 (2b ? a)2 ? a 2 ? b 2 ? 2ac cos 简得 ?
a b 3 5 2? 化 3

辽宁(2013)(6)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的 边
a, b c a s


,
i? B .


n


1 ? C 2 c


c o s B A s i b n

且a ? b, 则?B ?

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案】A
1 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 2

因为 0<B<π ,所以 ,所以 ,所以 ,



= ,因为 a>b,所以 B 为锐角 所以 B= ,选 A (2012 高考上海文 17)在△ ABC 中, 若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 则△ ABC 的 形状是( ) B 、直角三角形 C 、锐角三角形

A 、钝角三角形 D、不能确定 【答案】A

【解析】 根据正弦定理可知由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,可知 a 2 ? b 2 ? c 2 , 在 三角形中 cos C ? 选 A. (2012 高考四川文 5)如图,正方形 ABCD 的边长为1 ,延长 BA 至 E ,使
D C

a2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形, 2ab

AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? (



E

A

B

(1)

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 【解析】 EB ? EA ? AB ? 2 ,
EC ? EB 2 ? BC 2 ? 4 ? 1 ? 5 ,
?EDC ? ?EDA ? ?ADC ?
D C

?
4

?

?
2

?

3? , 4

E

A

B

由正弦定理得

sin ?CED DC 1 5 ? ? ? , sin ?EDC CE 5 5
5 5 3? 10 gsin ?EDC ? gsin ? . 5 5 4 10

所以 sin ?CED ?

(2012 高考湖南文 8) 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 A.
3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 【 解 析 】 设 AB ? c , 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 知
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B,

即 7 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60? , c 2 ? 2c ? 3 ? 0,即(c - 3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3. 设 BC 边 上 的 高 等 于 h , 由 三 角 形 面 积 公 式

S? ABC ?

1 1 AB?BC ? sin B ? BC ?h ,知 2 2

3 3 1 1 . ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? 2 2 2

(2012 高考湖北文 8)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 【答案】D 【解析】因为 a, b, c 为连续的三个正整数,且 A ? B ? C ,可得 a ? b ? c , 所以 a ? c ? 2, b ? c ? 1 ①;又因为已知 3b ? 20a cos A ,所以 cos A ? 由余弦定理可得 cos A ?
3b ②. 20a

B.5∶6∶7

C.5∶4∶3

D.6∶5∶4

b2 ? c2 ? a 2 3b b 2 ? c 2 ? a 2 ③, 则由②③可得 ④, ? 2bc 20a 2bc
15 7

b ? 5. 联立①④, 得 7c 2 ? 13c ? 60 ? 0 , 解得 c ? 4 或 c ? ? (舍去) , 则a ? 6,

故由正弦定理可得, sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5 : 4 .故应选 D. (2012 高考广东文 6)在△ ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 , 则 AC ? A. 4 3 【答案】B
BC AC BC ? sin B 【解析】根据正弦定理, ,则 AC ? ? ? sin A sin B sin A

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

3 2? 3 2

2 2 ?2 3

(2102 高考北京文 11)在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= ,则∠C
3

?

的大小为_________。 【答案】 90? 【 解 析 】 在 △ ABC 中 , 利 用 正 弦 定 理
3 sin
a b ,可得 ? sin A sin B

?
3

?

3 1 ? sin B ? ,所以 B ? 30? 。再利用三角形内角和 180? ,可得 sin B 2

?C ? 90? .

(2102 高考福建文 13)在△ABC 中, 已知∠BAC=60°, ∠ABC=45°,
BC ? 3 ,则 AC=_______.

【答案】 2 .
AC BC BC ? sin B 【解析】由正弦定理得 ,所以 AC ? ? ? sin B sin A sin A

3? 3 2

2 2 ? 2.

(2012 高考重庆文 13)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 且 a=1,b=2, cos C ? ,则 sin B ? 【答案】
15 4
1 4 1 4

【解析】由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,所以
1 15 c ? 2 。所以 b ? c, B ? C ,即 sin B ? sin C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4

(2012 高考陕西文 13)三角形 ABC 中, 角 A,B,C 所对应的长分别为 a, b,c,若 a=2 ,B= 【答案】2. 【解析】由余弦定理知 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 ?
3 ? 4, 2

?
6

,c=2 3 ,则 b=

.

?b ? 2 .

福建(2013)21(本小题满分 12 分)如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中,
?OPQ ? 90? , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.

(1)若 OM ? 3 ,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时,
?OMN 的面积最小?并求出面积的最小

值.

本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的 三角函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解 能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 , 由余弦定理得, OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP2 ? 4MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得
OM OP ? , sin ?OPM sin ?OMP

所以 OM ? 同理 ON ?

OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ? OP sin 45? sin ? 75? ? ? ?

故 S?OMN ? ? OM ? ON ? sin ?MON
1 OP2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

1 2

?
?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?
1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

?

? 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所 以 当 ? ? 30? 时 , 因 为 0? ?? ?6 0 ,

sin ? ?2?

的最大值为 1 ,此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 ? 3 ?0

2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . (2012 高考浙江文 18)(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【 解 析 】( 1 ) ? bsinA=
3 acosB , 由 正 弦 定 理 可 得

sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

( 2 ) ? sinC=2sinA , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 由 余 弦 定 理
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

, 解得 a ? 3 , ? c ? 2a ? 2 3 .

(2012 高考安徽文 16)(本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有
2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 【解析】

(2012 高考山东文 17) (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 内 角
sin B (tan A ? tan C ) ? tan A tanC .

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

,已知

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

(2012 高考辽宁文 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数 列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

(2012 高考新课标文 17)(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = -ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 【答案】 3asinC

(2012 高考江苏 15)(14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;
5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 【答案】解: (1 )∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B ,即

??? ? ????

??? ? ??? ?

(2)若 cos C ?

AC ?cos A=3BC ?cos B 。

由正弦定理,得

AC BC = ,∴ sin B?cos A=3sin A?cos B 。 sin B sin A sin B sin A =3? 又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴ cos B cos A



tan B ? 3tan A 。

(2)∵ ∴ tan C ? 2 。 ∴ ∴
tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B

5 cos C ? , 0 <C < ? 5

,∴

? 5? 2 5 sin C ? 1 ? ? ? 5 ? ? = 5 ? ?

2



tan ? ?? ? ? A ? B ? ? ??2





tan ? A ? B ? ? ? 2



由 (1) ,得

4 tan A 1 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? 。 2 1 ? 3tan A 3

∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A= 。 (2012 高考天津文科 16)(本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A , B , C 所对的分别是 a,b , c 。已知 a=2.c= 2 ,cosA= 2 . 4

? 4

(I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+ )的值。 【答案】
д 3

(2012 高考全国文 17) (本小题满分 10 分) (注意: 在试题卷上作答无 ........ 效 ) .
c 满足 2b 2 ? 3ac , ?ABC 中, C 成等差数列, b、 内角 A 、B 、 其对边 a 、

求 A。 【答案】

(2011 年高考山东卷文科 17)(本小题满分 12 分)

在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 (I) (II)
sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. 4

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b



(2011 年高考安徽卷文科 16) (本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 , b= 2 , 1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

(2011 年高考江西卷文科 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知
3a cos A ? c cos B ? b cos C .

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 1, cos B ? cos C ?
2 3 ,求边 c 的值. 3

2011 年高考陕西卷文科 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定 理。 解:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或:在△ABC 中,a,b,c 为 A, B,C 的对边,有 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

证法一

如图, a 2 ? BC ? ? AC ? AB ? ? ? AC ? AB ?

??? ?2

???? ??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ??? ?2 ???? 2 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b 2 ? 2bc cos A ? c 2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

同理可证 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C 证法二:已知 ? ABC中A, B, C所对边分别为a, b, c,以A为原点,
AB所在直线为x轴 建立直角坐标系,则

C (b cos A, b sin A), B(a, 0), ? a 2 ? BC ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2
? b 2 cos 2 A ? 2bc cos A ? c 2 ? b 2 sin 2 A ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

2

同理可证 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C (2011 年高考湖南卷文科 17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大
4

?

小.

(2011 年高考湖北卷文科 16)(本小题满分 10 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,已 知. a ? 1, b ? 2, cos C ? 1
4

(Ⅰ) 求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A—C.)

(2)∵ cos C ? 1 , ∴ sin C ?
4

1 15 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4

15 a sin C 15 ∵ sin A ? ? 4 ,? . c 2 8

∵ a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角. ∴ cos A ?
1 ? sin 2 A ? 1 ? ( 15 2 7 ) ? . 8 8

∴ cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ? 7 ? 1 ?
8 4

15 15 11 ? ? . 8 4 16

(2011 年高考天津卷文科 16)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 B=C, 2b ? 3a . (Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)求 cos(2 A ? ) 的值.
4

?

【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三

角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识,考查基本 运算能力. (2011 年高考江苏卷 15)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ? ) ? 2 cos A, 求 A 的值;
6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

(2)因为 cos A ? , 所以 sin A ? 得:
c b ,因为 b ? 3c ,所以 ? sin C sin B

1 3

2 2 , 所以在△ABC 中,由正弦定理 3

c 3c 3 1 ,所以 3sin C ? sin( A ? C ) = sin(60? ? C ) = cos C ? sin C ,解 ? 2 2 sin C sin( A ? C )


5sin C ? 3 cos C , 又因为 sin 2 C ? cos 2 C ? 1 ,所以 sin 2 C ?

25 2 sin C ? 1 ,解得 3

sin C 的值为

21 . 14

(2011 年高考辽宁卷文科 17)(本小题满分 12 分) △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asinAsinB+bcos2A= 2 a。 (I)求 ; (II)若 c2=b2+ 3 a2,求 B。
b a

35.(2011 年高考全国卷文科 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别 为 a、b、c.己知 a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若
A ? 750 , b ? 2, 求a与c

(Ⅱ)法一 A=750,? C ? 1800 ? A ? B ? 1800 ? 750 ? 450 ? 600 由正弦定理得:
b c 2 c ,则 c ? 6 ? 即 ? 0 sin B sin C sin 45 sin 600

由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B得4=a 2 ? 2 3a ? 6 ,即 a 2 ? 2 3a ? 2 ? 0
? a ? 3 ? 1或a ? 3 ? 1(舍去)

法二(Ⅱ)首先 sin A ? sin(45? ? 30? ) ?
2?

2? 6 3 . sin C ? sin 60? ? . 4 2

b sin A 由正弦定理 a ? ? sin B

2? 6 3 2? b sin C 4 2 ? 6. ? 3 ? 1. 同理 c ? ? sin B 2 2 2 2

(2010 陕西文数)17.(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

(2010 辽宁文数) (17) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分 别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

(2010 全国卷 2 文数) (17) (本小题满分 10 分)
? ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD ? 33 ,sin B ?
5 3 ,cos ?ADC ? , 13 5

求 AD 。

(2010 安徽文数)16、 (本小题满分 12 分)
?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?
12 。 13

(Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

??? ? ????

(2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), 设 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c, 且

3 b 2 +3 c 2 -3 a 2 =4 2 bc . (Ⅰ) 求 sinA 的值;
2sin( A ? ) sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

(2010 浙江文数) (18) (本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对 的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。
3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(2010 天津文数) (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,
AC cos B 。 ? AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C:
1 ?? (Ⅱ)若 cos A =- ,求 sin ? ? 4B ? ? 的值。 3

?

3?

(2010 江苏卷)17、 (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放

置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该 小 组 已 经 测 得一 组 ? 、 ? 的 值 , tan ? =1.24 , tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆 到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m, 试问 d 为多少时, ? - ? 最大?

(2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有 理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理 论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10 分。

(方法二)证明: (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知
cos A ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

是有理数。

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A ? sin nA 都是有理数。 ①当 n ? 1 时, 由 (1 ) 知 cos A 是有理数, 从而有 sin A ? sin A ? 1 ? cos 2 A 也 是有理数。 ②假设当 n ? k (k ? 1) 时, cos kA 和 sin A ? sin kA 都是有理数。 当 n ? k ? 1 时,由 cos(k ? 1) A ? cos A ? cos kA ? sin A ? sin kA ,
sin A ? sin(k ? 1) A ? sin A ? (sin A ? cos kA ? cos A ? sin kA) ? (sin A ? sin A) ? cos kA ? (sin A ? sin kA) ? cos A ,

及①和归纳假设,知 cos(k ? 1) A 和 sin A ? sin(k ? 1) A 都是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。

综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 别为 a, b, c ,且满足 cos
??? ? ???? AB ? AC ? 3 .
A 2 5 , ? 2 5

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

(2009

山 东 卷 文 )( 本 小 题 满 分
?
2

12

分 ) 设 函 数

f(x)=2 sin x cos 2 (1) 求 ? .的值;

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2) 在 ? ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边 , 已 知
a ? 1, b ? 2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? , b 2 ? ac ,求 B. 解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范 围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到 sinB= 掉),从而求出 B= 。
3

3 2

3 (负值舍 2

?

解:由

cos(A ? C)+cosB= 及 B=π ? (A+C)得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= , sinAsinC= .
3 4 3 2 3 2

3 2

又由 b 2 =ac 及正弦定理得【来源:全,品?中&高*考+网】
sin 2 B ? sin A sin C ,



sin 2 B ?

3 , 4

sin B ?

3 2



sin B ? ?

3 (舍去) , 2

于是 B= 又由

π 2 π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c

所 以 B= 。 (2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,C-A= , sinB= 。 (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= ,求 ABC 的面积。

π 3

(2)如图,由正弦定理得 BC ? AC ? BC ∴ BC ? AC ? sin A ? sin B sin B sin A
又sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
2 2 6?3 2?

6? 1 3

3 3 ?3 2

∴ S ? ABC ? 1 AC ? BC ? sin C ? 1 ?

6 ? 3 2 .【来源:全,品?中&高* 3

考(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)

在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? , (1 ? 3)c ? 2b .
6

?

(1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .
??? ? ??? ?

16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin(2 A ? ) 的值。
4

?

【答案】

2 10
AB BC ,于 ? sin C sin A

【解析】 (1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理, 是 AB ? sin C
BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos 2 A =

5 , 5
4 5 3 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ?
sin( 2 A ?

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?

2 10

【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数 的关系式,二倍角的正弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基 本运算能力。 17.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且
sin A ? 5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

(II)由(I)知 C ? 由

2 3? ,∴ sin C ? 2 4

a b c 得 ? ? sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b

又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ? 1
a ? 2, c ? 5



b ?1

+(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 如图, A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 750 , 300 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 600 , AC=0.1km。 试探究图中 B, D 间距离与另外哪两点距离相等, 然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
2 ? 1.414 , 6 ? 2.449 ) 【来源:全 , 品?中 &

高*(18)解:在 ?ACD 中,?DAC =30°,?ADC =60°- ?DAC =30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 即 AB=
AB AC , 【来源:全,品?中&高*考+网】 ? sin?BCA sin?ABC

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。 (2009 四川卷文) (本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且
sin A ? 5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。 【来源:全,品?中&高*考+网】 【解析】 (I)∵ A、B 为锐角, sin A ? ∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ?
5 10 ,sin B ? 5 10
2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10

cos( A ? B ) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?
?
4

(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且
3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小: 【来源:全,品?中&高*考+网】

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

由余弦定理得【来源:全,品?中&高*考+网】
a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5

【来源: 全(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 【来源: 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量, 已知 AB ? 50m ,BC ? 120m , 于 A 处测得水深 AD ? 80m , 于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的 余弦值。 【来源:全,品?中&高*考+网】

(17) 解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. 【来源:全,品?

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ? 1702 ? 10 198 , 【来源: 全,品? DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ? 1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . 【来源:全,

在 ?DEF 中,由余弦定理,
DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 . cos ?DEF ? ? ? 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

(2009 上海卷文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) ,
? ? ? n ? (sin B , sin A ) , p ? (b ? 2, a ? 2) . ??

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 【来源:全,品?中& (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?
a b , 其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径,a ? b【来源: 全,】 ? b? 2R 2R
u v v

??
??

?

? ?

?
3

,求Δ ABC 的面积 .

??ABC 为等腰三角形


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