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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案:2.10 导数的概念及其运算 Word版含答案


第十节 导数的概念及其运算 1.导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 (1)能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= , x y=x2,y=x3,y= x 的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. (3)能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 知识点一 导数的概念及几何意义 导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 li m → =x0,即 f′(x0)=li m → Δx 0 Δx 0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x Δx Δx→0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m . Δx Δx Δx→0 (2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0, y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)=li m → ?易误提醒 1.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. [自测练习] Δx 0 f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx 1.(2015· 陕西一检)已知直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的一条切线,则 m 的值为 ( ) A.0 C.1 B.2 D.3 3 解析:因为直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的切线,所以令 y′=2x- =-1,得 x 3 x=1,x=- (舍),即切点为(1,1),又切点(1,1)在直线 y=-x+m 上,所以 m=2,故选 B. 2 答案:B 2.(2015· 洛阳期末)函数 f(x)=exsin x 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( 3π A. 4 π C. 4 π B. 3 π D. 6 ) 解析:因为 f′(x)=exsin x+excos x,所以 f′(0)=1,即曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切 π 线的斜率为 1,所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 ,故选 C. 4 答案:C 知识点二 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x, (cos x)′=-sin_x, (ax)′=axln_a, (ex)′=ex, (logax)= 1 = . x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2 1 , (ln x)′ xln a 3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. ?易误提醒 1.利用公式求导时,一定

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