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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案:2.10 导数的概念及其运算 Word版含答案

第十节 导数的概念及其运算 1.导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 (1)能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= , x y=x2,y=x3,y= x 的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. (3)能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 知识点一 导数的概念及几何意义 导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 li m → =x0,即 f′(x0)=li m → Δx 0 Δx 0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x Δx Δx→0 Δx f?x0+Δx?-f?x0? Δy =li m . Δx Δx Δx→0 (2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0, y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)=li m → ?易误提醒 1.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. [自测练习] Δx 0 f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx 1.(2015· 陕西一检)已知直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的一条切线,则 m 的值为 ( ) A.0 C.1 B.2 D.3 3 解析:因为直线 y=-x+m 是曲线 y=x2-3ln x 的切线,所以令 y′=2x- =-1,得 x 3 x=1,x=- (舍),即切点为(1,1),又切点(1,1)在直线 y=-x+m 上,所以 m=2,故选 B. 2 答案:B 2.(2015· 洛阳期末)函数 f(x)=exsin x 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( 3π A. 4 π C. 4 π B. 3 π D. 6 ) 解析:因为 f′(x)=exsin x+excos x,所以 f′(0)=1,即曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切 π 线的斜率为 1,所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 ,故选 C. 4 答案:C 知识点二 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x, (cos x)′=-sin_x, (ax)′=axln_a, (ex)′=ex, (logax)= 1 = . x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2 1 , (ln x)′ xln a 3.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. ?易误提醒 1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)′=nxn ∈Q,(cos x)′=-sin x. 2.注意公式不要用混,如(ax)′=axln a,而不是(ax)′=xax 1. - -1 中 n≠0 且 n 3.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. [自测练习] 3.下列求导运算正确的是( 1 1 x+ ?′=1+ 2 A.? x ? ? x 1 B.(log2x)′= xln 2 C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x 1? 1 x x 2 2 2 ?1? 解析:? ?x+x?′=x′+?x?′=1-x2;(3 )′=3 ln 3;(x cos x)′=(x )′cos x+x (cos x)′=2xcos x-x2sin x. 答案:B 4.若函数 f(x)=2x+ln x 且 f′(a)=0,则 2aln 2a=( A.1 C.-ln 2 B.-1 D.ln 2 ) ) 1 1 1 解析:f ′(x)=2xln 2+ ,由 f′(a)=2aln 2+ =0,得 2aln 2=- ,则 a· 2a· ln 2=-1, x a a 即 2aln 2a=-1. 答案:B 考点一 导数的运算| 1.(2015· 济宁模拟)已知 f(x)=x(2 014+ln x),f′(x0)=2 015,则 x0=( A.e2 C.ln 2 B.1 D.e ) 1 解析:由题意可知 f′(x)=2 014+ln x+x· =2 015+ln x.由 f′(x0)=2 015,得 ln x0= x 0,解得 x0=1. 答案:B 2.若函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 解得 f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 3.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, π? ?π? ?π? n≥2),则 f1? ?2?+f2?2?+?+f2 016?2?=________. 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)

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