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【数学】2.3.1-1《直线与平面垂直的判定》课件


直线与平面有那些位置关系? c

a

?
a/ /?

O

b

b? ?

c ? ? =O

观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

思考: AB是旗杆所在直线,α是地面所在平面,在阳 光下观察旗杆与影子有什么关系。 A

直线垂直于平面内的 任意一条直线.
B

α

旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .

垂足

l
P

? ?
直线与平面的 一条边垂直

点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线,这个点和 垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的 距离。

直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线 上任意一点到这个平面的距离,叫做这 条直线和这个平面的距离。 注意: (1)求线面距离的本质是求点面距离。
(2)在求线面距离时,必须首先证明 线面平行。

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b

(? )

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

直线与平面垂直 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
C

A
D

?
B B
D D

P
C C

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 线与桌面所在平面 ? 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.
l

b

?

A

a

线线垂直

判定定理

线面垂直

二、直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l 和平面?内的两条相交直线 m,n都垂直,那么直线l垂直平面 ?。 即: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ? ? l?? l?m, l?n ?
m P

l

?
n

线不在多,重在相交

例2、求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
a b

?

a b a?? b , ? ? ? ? ?

m n

证明: 在平面?内作两条相交直线m, n.
?直线a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知:a ? m, a ? n

又? b ? a,? b ? m, b ? n m ? ? , n ? ? , m, n是两条相交直线, ?b ? ?

结论:
如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这 个平面。
a
b

?

? 直线与平面垂直的性质定理

: 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么着 两条直线平行。

练习题
1、在空间,下列命题 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行。 正确的是(B ) A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。

练习题
2.平行四边形ABCD所在平面?外有一点P,且 PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交 点O的连线PO垂直于平面ABCD. P
A D

O
B C

练习题
5.已知 : ? ? ? = CD, EA ? ? , EB ? ? . 求证 : CD ? AB .
E A

?

D

B

?

C

3.直线和平面所成角
1) 斜线: 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2) 斜足: 斜线和平面相交的交点 P 3) 斜线在平面内的射影:
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内 的射影.

l α A O

☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角, 叫做直线和平面所成的角.
规定:①若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°

②若直线与平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角为0 °

☆直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]

练习
如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1与面ABCD所成的角

0o 90o 45o
A1 D1 B1 C1

(2)A1C1与面BB1D1D所成的角
(3)A1C1与面BB1C1C所成的角

D

C

A

B

1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

作业布置

P67页练习第1题,P74页B组2题


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