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【人教A版】高中数学同步辅导与检测:选修2-1全集第二章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用

第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第 2 课时 椭圆的简单几何性质 椭圆方程及性质的应用 A级 一、选择题 基础巩固 1.已知直线 l:x+y-3=0,椭圆 位置关系是( A.相交 C.相离 ) B.相切 x2 +y2=1,则直线与椭圆的 4 D.相切或相交 x2 解析:把 x+y-3=0 代入 +y2=1, 4 得 x2 +(3-x)2=1, 4 即 5x2-24x+32=0. 因为 Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0, 所以直线与椭圆相离. 答案:C 2.如图, 直线 l: x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B, 该椭圆的离心率为( ) 1 A. 5 C. 5 5 2 B. 5 2 5 D. 5 1 b 1 解析:因为 x-2y+2=0,所以 y= x+1,即 = , c 2 2 即 a2-c2 1 a2 5 c 2 5 = ,所以 = , = . c2 2 c2 4 a 5 答案:D 3.椭圆 离分别是( A.8,2 C.5,1 x 2 y2 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距 25 9 ) B.5,4 D.9,1 解析:因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9, 最小距离为 a-c=1. 答案:D π 4.过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 3 的长为( ) 7 D. 6 6 16 7 A. B. C. 7 7 16 ?y= 3(x+ 2), 解析:由? 消去 y 整理得 7x2+12 2 2 ?x +2y =4, 由弦长公式得|AB|= 答案:B 1+( 3)2× 2x+8=0, ? 12 2?2 8 16 ?- ? -4× = . 7 7 7 ? ? x 2 y2 5.已知 F 是椭圆 + =1 的一个焦点,AB 为过其中心的一条 25 9 弦,则△ABF 的面积最大值为( A.6 B.15 C.20 D.12 1 1 解析:S= |OF|·|y1-y2|≤ |OF|·2b=12. 2 2 答案:D 二、填空题 x2 6.已知 F1 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点,直线 l:y=x-1 2 与椭圆 C 交于 A,B 两点,那么|F1A|+|F1B|的值为________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ) ?x2+2y2=2, 由? 联立得:3x2-4x=0, ?y=x-1, ?4 1? 可知:A(0,-1),B?3,3?,又 F1(-1,0), ? ? 所以|F1A|+|F1B|= 2+ 答案: 8 2 3 5 2 8 2 = . 3 3 7.已知椭圆方程是 x 2 y2 + =1,则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所 9 4 在的直线方程为________. 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x21 y21 + =1,① 9 4 x22 y22 + =1,② 9 4 (x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) ①-②得 =- , 9 4 所以 k= 4(x1+x2) 4×2 4 =- =- =- . 9 9×2 x1-x2 9(y1+y2) y1-y2 4 所以直线 l 的方程为 y-1=- (x-1), 9 即 4x+9y-13=0. 答案:4x+9y-13=0 8.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1, F2 在 x 轴上, 离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 2 的周长为 16,那么 C 的方程为________________. 答案: x 2 y2 + =1 16 8 三、解答题 9.在椭圆 x 2 y2 + =1 上求一点 P,使它到直线 l:3x-2y-16=0 4 7 的距离最短,并求出最短距离. 3 x2 解: 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y= x+m, 代入 + 2 4 y2 =1, 7 并整理得 4x2+3mx+m2-7=0, Δ=9m2-16(m2-7)=0?m2=16?m=± 4, 3 3 故两切线方程为 y= x+4 和 y= x-4, 2 2 3 显然 y= x-4 距 l 最近, 且最短距离 d= 2 ?3 7? 切点为 P?2,-4?. ? ? 8 = , 13 32+(-2)2 |16-8| 10.设椭圆 C: x 2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l a2 b2 → =2FB →. 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,AF (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知,y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2, ? ?y= 3(x-c), 联立?x2 y2 得(3a2+b2)y2+2 + = 1 , ? ?a2 b2 3b2cy-3b4=0, - 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) 解得 y1= ,y2= , 3a2+b2 3a2+b2 → =2FB → ,所以-y1=2y2, 因为AF 即 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) =2· , 3a2+b2 3a2+b2 c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 所以 1 1+ |y2-y1|, 3 2 4 3ab2 15 · = . 3 3a2+b2 4 5 5 c 2 由 = ,得 b2= a2,b= a, a 3 9 3 5 15 代入上式得 a= ,所以 a=3,b= 5, 4 4 x 2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 B级 能力提升 x 2 y2 6 1. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率

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