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2017_2018学年高中数学2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3直线与平面垂直的性质课时作业新人教A版必修2

第二章 2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.平面 α ∥平面 β ,直线 a∥α ,直线 b⊥β ,那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定 是 ( C ) B.异面 C.垂直 D.不相交 A.平行 [解析] ∵α ∥β ,b⊥β ,∴b⊥α . 又∵a∥α ,∴b⊥a. 2.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面. ( C ) A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β [解析] ∵m∥n,m⊥α ,则 n⊥α ,故选 C. 3.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么 ( C ) A.PA=PB>PC C.PA=PB=PC [解析] ∵PM⊥平面 ABC,MC? 平面 ABC, ∴PM⊥MC,PM⊥AB. 又∵M 为 AB 中点,∠ACB=90°, ∴MA=MB=MC.∴PA=PA=PC. B.PA=PB<PC D.PA≠PA≠PC 4.如图,设平面 α ∩平面 β =PQ,EG⊥平面 α ,FH⊥平面 α ,垂足分别为 G、H.为 使 PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 ( B ) 1 A.EF⊥平面 α C.PQ⊥GE B.EF⊥平面 β D.PQ⊥FH [解析] 因为 EG⊥平面 α ,PQ? 平面 α ,所以 EG⊥PQ.若 EF⊥平面 β ,则由 PQ? 平 面 β ,得 EF⊥PQ.又 EG 与 EF 为相交直线,所以 PQ⊥平面 EFHG,所以 PQ⊥GH,故选 B. 5.下列命题正确的是 ( A ① ) a∥b ? ? ?? b⊥α ;② a⊥α ? ? A.①② a⊥α ? ? ?? a∥b;③ b⊥α ? ? B.①②③ a⊥α ? ? ?? b∥α ;④ a⊥b ? ? C.②③④ a∥α ? ? ?? b⊥α . a⊥b ? ? D.①②④ [解析] 由性质定理可得(1)(2)正确. 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是 ( A ) A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [解析] ∵DD1⊥平面 ABCD, ∴D1D⊥AC, 又 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1, ∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面 AB1C. 2 而 AP⊥BD1,∴AP? 平面 AB1C. 又 P∈平面 BB1C1C,∴P 点轨迹为平面 AB1C 与平面 BB1C1C 的交线 B1C.故选 A. 二、填空题 7.线段 AB 在平面 α 的同侧,A、B 到 α 的距离分别为 3 和 5,则 AB 的中点到 α 的距 离为__4__. [解析] 如图,设 AB 的中点为 M,分别过 A、M、B 向 α 作垂线,垂足分别为 A1、M1、 B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1, 四边形 AA1B1B 为直角梯形, AA1=3,BB1=5,MM1 为其中位线, ∴MM1=4. 8.正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是__ [解析] 如图, 2 __. 3 由已知得 PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, ∴PA⊥平面 PBC. 又 PB⊥PC,PB=PC,BC=2, ∴PB=PC= 2. 1 1 1 2 ∴VP-ABC=VA-PBC= PA·S△PBC= × 2× × 2× 2= . 3 3 2 3 三、解答题 9.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD, AB=AA1= 2. 3 证明:A1C⊥平面 BB1D1D. [解析] ∵A1O⊥平面 ABCD,∴A1O⊥BD. 又底面 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 A1OC,∴BD⊥A1C. 又 OA1 是 AC 的中垂线, ∴A1A=A1C= 2,且 AC=2,∴AC =AA1+A1C , ∴△AA1C 是直角三角形,∴AA1⊥A1C. 又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面 BB1D1D. 10.如右图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB ∥DC. 2 2 2 (1)求证:D1C⊥AC1; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E∥平面 A1BD,并说明理由. [解析] (1)连接 C1D. ∵DC=DD1,∴四边形 DCC1D1 是正方形,∴DC1⊥D1C. ∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面 DCC1D1,D1C? 平面 DCC1D1,∴AD⊥D1C.又 AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面 ADC1. 又 AC1? 平面 ADC1,∴D1C⊥AC1. (2)如图,连接 AD1、AE、D1E, 设 AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接 MN. ∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN, 要使 D1E∥平面 A1BD, 须使 MN∥D1E,又 M 是 AD1 的中点, ∴N 是 AE 的中点. 又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE. 即 E 是 DC 的中点. 4 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E∥平面 A1BD. B 级 素养提升 一、选择题 1.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α ,则 ( C A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定

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