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广东省阳东广雅学校2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


阳东广雅中学 2015~2016 学年第一学期高三年级期中考试试卷 数学(理) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

(CU A) ? B 为( 1 , 2, 3, 4? ,集合 A ? ? 1 , 2, 3? , B ? ?2, 4? , (1)已知全集 U ? ?0, 则
1, 2, 4? (A) ?
(2)复数 1 ?

) .

3, 4? (B) ?2,

2, 4? (C) ?0,
) .

2, 3, 4? (D) ?0,

5 ( i 是虚数单位)的模等于( 2?i
(B) 10 ) . (C) 5

(A) 10

(D) 5

(3)下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R, lg x ? 0 (C) ?x ? R,2 x ? 0

(B) ?x ? R, tan x ? 0 (D) ?x ? R, x 2 ? 0

(4)已知向量 m ? (a, ?2), n ? (1,1 ? a) ,且 m // n ,则实数 a =( (A)-1
3

??

?

?? ?

) .

(B)2 或-1
2

(C)2

(D)-2 )

(5)设 p:f(x)=x ﹣2x +mx+1 在(﹣∞,+∞)上单调递增;q:m> ,则 p 是 q 的( (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (6)已知函数 f ( x) ? ? (A) (C)必要不充分条件 (D)以上都不对

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) =(

1 9

).

1 2

(B)

1 4

(C)

1 6

(D)

1 8
1 主视图 1
1 俯视图

(7)已知某几何体的三视图如右图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯视 1 图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( (A) 2 (B) 1 (C) ) .
1 侧视图

1 2

(D)

1 3
) .

?x ? y ?1 ? 0 ? (8)已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
(A) ?2 (9) 若 (ax2 ? (B) 2 (C) 1 (D) ?1

b 6 ) 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 a 2 ? b 2 的最小值为( x



(A)1

( B)2

(C)3

( D)4 ) .

(10)设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为( (A) ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

(11)将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读, 则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( (A)150 (B)180 (C)240 )种。 (D)540

(12) 对函数 f ( x) , 在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最大值叫做函数 f ( x) 的下确界.现已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (1? x ) ? f (1? x ),当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? ?3x 2 ? 2 ,则 f ( x) 的下 确界为 (
(A) 2 (B) 1

) (C) 0 (D) ?1

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 ( 13 ) . 已知偶函数 f(x) 在 [0,+ ?) 单调递减, f(2)=0. 若 f(x -1)<0 ,则 x 的取值范围是 __________. (14)方程 x ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为
2



? x ? y ? 4, ? (15)已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么 OP 的最大值 ? x ? 1, ?
等于 .

x (16)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? e ( a ? R , e 为自然对数的底数),若函数 f ( x) 在点 (1, f (1))

处的切线平行于 x 轴,则 a ?



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 . (I) 求数列 {an } 的通项公式; (II)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

(18) . (12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC﹣ 1)=1. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 , ,求△ABC 的面积

(19) (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球, 从中随机抽取 50 个作为样本, .. 称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ?5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? ,由此得到 样本的重量频率分布直方图(如右图) , (Ⅰ)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数 与平均值; (Ⅱ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ?5,15? 内的小球个 数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

(20) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC;

(Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

(21)(本小题满分 12 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

3 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 1,a ? R . 2

(I) 讨论函数 f ( x) 的单调区间; (II)当 a ? 3 时,若函数 f ( x) 在区间 [ m,2] 上的最大值为 28 ,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为⊙ O 的直径, 直线 CD 与⊙ O 相切于点 E , AD 垂直 CD 于点 D ,BC 垂直 CD 于点 C , EF 垂直 AB 于点 F ,连接 AE , BE . 证明: (Ⅰ) ?FEB ? ?CEB ; (Ⅱ) EF ? AD ? BC .
2

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t , 以该直角坐标系的原点 O (t 为参数) ?y ? 2 ? t

为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为 ? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 1 且关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 的解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实 数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 B 10 D 11 A 12 D

4?,又 B ? ?2, 4? ,故选 C. (1) 【解析】 CU A ? ?0,
(2) 【解析】 1 ?

5 ? 3 ? i ,故模为 10 ,故选 A. 2?i

(3) 【解析】对选项 D,由于当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,故选 D. (4) 【解析】因为 m // n ,所以 a(1 ? a) ? ?2 ,解得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,故 a ? ?1或a ? 2 ,故 选 B. (5) 【解析】解:∵f(x)=x ﹣2x ﹣mx+1 在(﹣∞,+∞)上单调递增,∴f′(x)=3x ﹣ 4x﹣m, 即 3x ﹣4x﹣m≥0 在 R 上恒成立,所以△=16+12m≤0,即 m≥﹣ ,
2 3 2 2

?? ?

∵p:f(x)=x ﹣2x ﹣mx+1 在(﹣∞,+∞)上单调递增;q:m> ∴根据充分必要条件的定义可判断:p 是 q 的必要不充分条件, 故选:C

3

2

1 1 1 1 ? ?2 , f (?2) ? 2 ? 2 ? ,所以 f ( f ( )) ? ,故选 B. 9 4 9 4 1 1 (7) 【解析】该几何体为直三棱柱,故体为 V ? Sh ? ?1?1?1 ? ,故选 C. 2 2
(6) 【解析】 f ( ) ? log 3 (8) 【解析】由于可行域为三角形,且三角形的三个顶点分别为 (0, ?1) , (1, 0) , (0,1) ,所 以最优解为 (0,1) 时可使目标函数取得最大值为 2,故选 B.
r (9) B 【解析】 由二项式定理的展开公式可得:Tr ?1 ? C6 ax 2

1 9

? ?

6? r

?b? r 6? r r 12?3r ,x 3 . ? ? ? C6 a .b x ? x?

r

2 r? 3 ? r ? 3, 项 为 1 2? 3 , 因 为 (ax ?

b 6 ) 的 展 开 式 中 x 3 项 的 系 数 为 20 , 所 以 x

3 3 3 C6 a b ? 20 ? a3b3 ? 1 ? ab ? 1 ,由基本不等式可得 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2 ,当且仅当

a ? b 时等号成立.所以选 B.
(10) 【解析】对于选项 A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m? α ,故不正确; 对于选项 B, 因为 α 与 β 可能平行,也可能相交, 所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 C, 因为 α 与 β 可能平行,也可能相交, 所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 D,由 n⊥α ,n⊥β ,可得 α ∥β ,而 m⊥α ,则 m⊥β ,故正确,故选 D. ( 11 ) 【解析】分为两类,第一类为 2+2+1 即有 2 所学校 分别保送 2 名同学,方法数为
1 1 2 1 3 2 C3 C5C4 ? 90,第二类为 3+1+1 即有 1 所学校保送 3 名同学,方法数为 C3 C5 A2 ? 60 ,

故不同保送的方法数为 150 种,故选 A. (12) . 【解析】如右图所示,函数 f ( x) 在 R 上的部分图象, 易得下确界为 ?1 ,故选 D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13、 15、

-1? ? ?3, +?? ?-?,
10

14、 16、 e

1 4

14 【 解 析 】 方 程 有 实 根 时 , 满 足 ? ? 1 ? 4n ? 0 , 得 n ?

1 ,由几何概型知 4

P?

构成事件A的区域测度 试验的全部结果所构成的区域测度

,得 P =

1 . 4

2 2 15【解析】如右图所示, | OP |max ?| OB |? 1 ? 3 ? 10 .

16 【解析】 直线平行于 x 轴时斜率为 0 , 由 f ?( x) ? a ? e x 得 k ? f ?(1) ? a ? e ? 0 , 得出 a ? e . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 设 数 列 {an } 的 公 差 为

d

, 由 题 意 知

? 2a1 ? 2d ? 8 ? ?2a1 ? 4d ? 12


……………………2 分 得 ………………………………………… , 4分

a1 ? 2 d ?
所 以

an ?

1

( a ?

1

n? )

d ? 2,

得n ?2

( ?

n

an ? 2n
( Ⅱ

…………………6 分 ) 由 ( Ⅰ ) ……………8 分 可 得

Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2
∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k 因

a3 , ak ?1 , Sk

2 成 等 比 数 列 , 所 以 ak ?1 ? a3 Sk

, 从 而

(2k ? 2)2 ? 6(k 2 ? k ) , ………10 分
即 ∴

k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)

k?2

……………………………………………………12 分

(18) (12 分).解答:解: (Ⅰ)由 2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1 得:2cosAcosC( ﹣1)=1, ∴2(sinAsinC﹣cosAcosC)=1,即 cos(A+C)=﹣ , ∴cosB=﹣cos(A+C)= , 又 0<B<π , ∴B= ;

(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=

= ,



= ,

又 a+c=

,b=

, ∴

﹣2ac﹣3=ac,即 ac= ,

∴S△ABC= acsinB= × ×

=



19. (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ) 由题意, 得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 ; ……………………… 1分 又由最高矩形中点的的横坐标为 20 ,可估计盒子中小球重量的众数约为 20 (克) ,………2 分 而

50



























X ?0

. ?2

? 1

0

?0

. ?3

2?

2 (克) ?0 0? .

3?

3

0

0

.

1

8

4

故 由 样 本 估 计 总 体 , 可 估 计 盒 子 中 小 球 重 量 的 平 均 值 约 为 24.6 克;…………………………4 分 ( Ⅱ ) 利 用 样 本 估 计 总 体 , 该 盒 子 中 小 球 重 量 在 ?5 , 1 内 的 概 率 为 ?5

0.2 ,………………………………5 分


1 X ? B (3, ) 5

.

X













0



1



2



3 ,…………………………………………………6 分

64 48 ?1? ? 4? 1?1? ? 4? , P ? X ? 1? ? C3 , P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3

0

3

2

? 1 ? ? 4 ? 12 P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3

2



1 3?1? ? 4? . ………………10 分 P ? X ? 3? ? C3 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
?X 的分布列

3

0

X

0

1
48 125

2
12 125
.

3

为:

P
? EX ? 0 ?

64 125

1 125
( 或 者

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

1 3 EX ? 3 ? ? )………………12 分 5 5
(20)解: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩 形,所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB---------2 分。 EO ? 平 面 AEC,PB ? 平 面 AEC, 所 以 PB ∥ 平 面 AEC.-------------4 分

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直-----------5 分 如图, 以 A 为坐标原点,AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长, 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

??? ?

??? ?

则 D(0, 3,0), E (0,

? 3 1 ??? 3 1 , ), AE ? (0, , ) . -------------7 分 2 2 2 2

设 b(m,0,0)(m ? 0) ,则 c(m, 3,0), AC ? (m, 3,0) 。设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACE 的法向 量,

??? ?

???? ? mx ? 3 y ? 0, ? 3 ? n1 ? AC ? 0, ? , ?1, 3) ----------9 则 ? ??? 即? 3 ---------8 分,可取 n1 ? ( ? 1 m n ? AE ? 0, y ? z ? 0, ? ? ? 1 ? 2 2
分。 又 n2 ? (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量,由题设 cos n1 , n2 ?

1 ,即 2

3 3 1 ? ,解得 m ? ----------10 分。因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的 2 2 3 ? 4m 2
高为

1 . 2

三棱锥 E ? ACD 的体积 V ? 21. (本小题满分12分) 【 解

1 1 3 1 3 ? ? 3? ? ? .--------12 分 3 2 2 2 8







I



f ?(x)=3x2 +3? a ?1? x ??a ? 3? x ?1?? x ? a ? . ……………………………………………1 分


f ?( x) ? 0



x1 ? 1, x2 ? ?a .……………………………………………………………………2 分
( i )当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ?( x)=3 ? x? 1 ? ? 0, f (x) 在 ? ??, ?? ? 单调递
2

增. ………3 分 (ii)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? x2或x ? x1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增; 当

x2 ? x ? x1 时

f ?(x) ? 0



f (x)



? x2 , x1 ?

内 单 调 递

减. ………………………………4 分 (iii)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? x1或x ? x2 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增; 当

x1 ? x ? x2



f ?(x) ? 0



f (x)



? x1 , x2 ?

内 单 调 递

减. ………………………………5 分 综上,当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增, f (x) 在 ? x1 , x2 ? 内 单调递减;当 当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, ?? ? 单调递增; 当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增,

f (x) 在 ? x2 , x1 ? 内单调递减. (其中 x1 ? 1, x2 ? ?a )………………… 6 分
( II ) 当

a ?3





f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1, x ?[m, 2]



f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1)


f ?( x) ? 0





x1 ? 1, x2 ? ?3 .………………………………………………………………… 7 分
将 x , f ?( x ) , f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x )

(??,?3)
?

?3
0

( ?3,1)

1 0

(1, 2 ]

?

?

f ( x)



极大



极小



……………………………………………………………………………………… …… …………8 分 由 此 表 可 得

f ( x)极大 ? f (?3) ? 28



f ( x)极小 ? f (1) ? ?4 .…………………………………9 分


f (2) ? 3 ? 28 , ………………………………………………………………………………… 10
分 故 区 间 [ m, 2] 内 必 须 含 有 ? 3 , 即 m 的 取 值 范 围 是

( ? ?, ? 3] .……………………………… 12 分
(22) (本小题满 分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【证明】 (Ⅰ) 由直线 CD 与⊙ O 相切, 得∠CEB=∠EAB. ………………………………………… 1分 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF= 3分 π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= ,从而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB.……5 2 分 (Ⅱ)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边,得 Rt△BCE≌Rt△BFE,………6 分 所以 BC=BF. 类似可证,Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. ………………………………………………8 分 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF =AF·BF,所以 EF =AD·BC. ……………………… 10 分
2 2

π ;……………………… 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【解】 (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………………………2 分

圆 C2 的直角坐标方程 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,……………………………………4 分 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3) ,因此圆心的一个极坐标为 (2, 分 (答案不唯一,只要符合要求就给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 分 所以 AB ? 2 4 ? 10 分 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【解】 (Ⅰ)因为 m ? 1 ,不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ,…………………1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,………………………………3 分

2? ) . …………6 3

?1 ? 3 ? 1 2

?

6 ,………8 2

6 ? 10 .……………………………………………………………… 4

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式)

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

∵ (a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,…………………8 分
2 2 2 2 2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法二:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,
2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?

3 2

9 9 ? ,……………………9 分 2 2

2 2 ∴ a ? b 的最小值为

9 . ………………………………………………………………10 分 2


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