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高考专题复习:求数列通项公式_图文

河北衡水重点中学高三数学一轮复习 学案 组编:吴组长 审核: 日期 型如 a n?1 ? 求数列通项公式 数列的通项公式是一块叩门金砖,数列这一章中,数列的 通项公式可以说是灵魂.因为找到数列的通项公式,就可以知道 了数列的特性。总结一下求通项公式的常见题型与方法。 题型一:观察归纳法: 通过观察、分析给出的数列的前几项,归纳出数列的通项公 式的一种方法. 5? 4 ? d ? (a 1 ? 4d ) 2 2 ∴ …………② 3 3 a1 ? d? 5, 5 由①②得: 3 3 3 a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 ∴ 5a 1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求 出首项与公差(公比)后再写出通项。 题型二:转化法 通过变换递推关系,将关系式转化为与等差、等比有关的 can 使得问题得到转化。或者是 (c, d非0常数) an ? d 通常要注意到项之间的变化规律,项与项数之间的关系等. 数列,常用的类型与转化途径有: 例 1.指出下列数列的通项公式 (1) ? 例 4 : 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? 1 4 9 16 , ,? , ,… 2 ? 4 5 ? 7 8 ? 10 11 ? 13 n 2 = (?1) ? n (3n ? 1)(3n ? 1) (一).通过配凑转化为等比数列,将递推关系 3 3an , an ?1 ? , 5 2an ? 1 a n?1 ? pan ? d ( p, d为常数, p ? 0, d ? 0) 变为: an n ? 1, 2, ? .求 {an } 的通项公式; 解: (Ⅰ)? an ?1 ? (2)7,77,777,7777,… 练习: 1, an ? 7 (10 n ? 1) 9 a n?1 ? d d ? p(a n ? ) p?1 p?1 3an 1 2 1 ,? , ? ? 2an ? 1 an?1 3 3a n 1 1 1 , , ,... 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 例 3:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 1 ,求通项 an 。 ? ? 1 1? 1 1 2 ? 1 ? ? ? 1? ,又 ? 1 ? , an ?1 3 ? an a1 3 ? an ? 1 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n (1 ? n) ? n an ? 3 ? 2 n ?1 ? 1 练习: 已知数列{an}满足 a1 =4,an=3an-1-2.求 an. 解:由 an=3an-1-2 得 an-1=3(an-1-1). 定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义 法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例 2 .等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 Sn ,且 ?1 ? 2 1 ? ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 ? an ? ? 所以{ an ? 1 }是等比数列,首项 a1 ? 1 ? 3 , 公比为 3. 所以 an ? 1 = 3 ? 3 综上, an = 3 ? 1 n n ?1 3n 1 2 1 2 . ? 1 ? ? n?1 ? n ,? an ? n 3 ?2 an 3 3 3 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列, S5 ? a 解:设数列 {a n } 公差为 d(d ? 0) 2 5 .求数列 {a n } 的通项公式 ? 3n . 练习:数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; 2n?1 an ( n ? N ? ). an ? 2n 2 a , a , a ∵ 1 3 9 成等比数列,∴ a 3 ? a1a 9 , 2 2 即 (a 1 ? 2d) ? a 1 (a 1 ? 8d) ,得 d ? a 1d (二).取倒数转化为等差数列, 答案: ∵ d ? 0 ,∴ a 1 ? d ……………………① ∵ S5 ? a5 2 an ? 2n n ?1 1 河北衡水重点中学高三数学一轮复习 学案 满 足 组编:吴组长 审核: 日期 则 练 习 1 、 已 知 函 数 . , 数 列 an ?1 an 3 ? ? , 2n ?1 2n 2 a 2 an 3 ? ? 1 为首,以 为公差的等差数列, } 是以 1 1 2 2 2 2n an 3 ? 1 ? (n ? 1) , n 2 2 3 2 1 2 n 故数列 { 由等差数列的通项公式,得 (1)证明数列 (2)记 是等差数列,并求数列 ,求 . 的通项公式; 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 题型三、累加法: 解析: 1)由已知得 即 利用恒等式 a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? ? ? (a n ? a n?1 ) 求通项 注意 ∴数列 是首项为 1,公差 3 的等差数列. 公式的方法称为累加法。 累加法是求型如 a n?1 ? a n ? f (n) 1.两边取对数前,要注意数列各项都是正数 所以 ,即 的递推数列通项公式的基本方法,其中 f(n)可求前 n 项和。 例 7: 在数列 {an } 中,a1 ? 1 ,a2 ? 2 , 且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . 2.取对数时,对数的底数要有针对性,是为了使数列的 首项为 1。 (2) ∵ = 练习 4:数列 ? an ? 满足 a1 ? 10, an?1 ? 10an ,求通项 an . 2 (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列; * an ? 102 n ?1 (Ⅱ)求数列 {a

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