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几何概型习题


几何概型
经典例题:如图, ? A O B
? 60
?

, OA ? 2 , OB

? 5

,在线段 O B 上任取一点 C ,

试求:(1) ? A O C 为钝角三角形的概率; (2) ? A O C 为锐角三角形的概率.

A

练习: 1. 从一批羽毛球产品中任取一个, 其质量小于4.8g的概率为0.3, 质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85](g)范围内的概率是( D ) O C E A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 2.在长为10 cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形 的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( ) A.
3 10

B

B.

1 5

C.

2 5

D.

4 5

3.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y, 构成数对(x,y) ,则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( ) A.
1 16

B.
1 2 3

2 16

C.
1 4 2 3

3 16

D.

1 4

甲 4



4题图 4.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两 种颜色为其涂色, 每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为 ( ) A.
3 4

B.

3 8

C.

1 4

D.

1 8

5.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求 两人会面的概率为( ) A.
1 3

B.

4 9

C.

5 9

D.

7 10

6如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概 率为( ) A.
2

?

B.

1

?

C.

2 3

D.

1 3

1

7.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 4 5 ,若向圆内投镖,如果某人每
?

次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( A.
1 8


3 4

B.

1 4

C.

1 2

D.

8.现有 1 0 0 m l 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取 2 0 m l 的蒸馏水,则 抽到细菌的概率为 ( ) A.
1 100

B.

1 20

C.

1 10

D.

1 5

9.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早 晨 5 : 0 0 至 7 : 0 0 和下午 5 : 0 0 至 6 : 0 0 ,则该船在一昼夜内可以进港的概率 是 ( )
1 1
1

1

A. 4

B. 8

C. 10

D. 1 2 )

10.在区间 [0 ,1 0 ] 中任意取一个数,则它与 4 之和大于 1 0 的概率是(
1
2

3

2

A. 5

B. 5

C.

5

D. 7

11.若过正三角形 A B C 的顶点 A 任作一条直线 L ,则 L 与线段 B C 相交的概率为 ( )
1
1

1

1

A. 2

B. 3

C.

6

D. 1 2

12.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 13.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个 平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率( )
r

r

a ? r

a ? r

A.a

B.2 a

C.

a

D.

2a

14.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上车的 概率为 . 15. 随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与 ? C P D 为锐角的概率是__________________. 16.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于 的概率是
6 5



17.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你 家,你父亲离开家去上班的时间为早上7:00~8:00之间,你父亲在离开家前能 拿到报纸的概率为_______.
2

18.飞镖随机地掷在下面的靶子上. (1)在靶子1中,飞镖投到区域A、B、C的概率是多少? (2)在靶子1中,飞镖投在区域A或B中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没 有投在区域C中的概率是多少?

C A C

B

B A

靶子1

靶子2

19.一只海豚在水池中游弋,水池为长 3 0 m ,宽 2 0 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖 离岸边不超过 2 m 的概率.

20. 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的 概率.

21. 利用随机模拟方法计算曲线 y

?

1 x

,x

? 1 ,x ? 2

和y

? 0

所围成的图形的面积.

3

几何概型 答案 经典例题:解:如图,由平面几何知识: 当 A D ? O B 时, O D ? 1 ;当 O A ? A E 时, O E ? 4 , B E ? 1 . (1)当且仅当点 C 在线段 O D 或 B E 上时, ? A O C 为钝角三角形 记" ? A O C 为钝角三角形"为事件 M ,则 P ( M
)? OD ? EB OB ? 1?1 5 ? 0 .4

即 ? A O C 为钝角三角形的概率为 0 .4 . (2)当且仅当点 C 在线段 D E 上时, ? A O C 为锐角三角, 记" ? A O C 为锐角三角"为事件 N ,则 P ( N ) ?
DE OB ? 3 5 ? 0 .6

即 ? A O C 为锐角三角形的概率为 0 .6 . 练习: 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
4

1 11

a rc s in

; 15.

5

?
2

; 16.

25 72

; 17. 87.5%;18.(1)都是 ; (2)
3

1

2 3 ; 3 4



19.解:由已知可得,海豚的活动范围在 26×16 ㎡的区域外, 所以海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率为 P
? 1? 26 ? 16 30 ? 20 ? 0 .3 0 8



20.解:设构成三角形的事件为 A,长度为 10 的线段被分成三段的长度分别为 x, y,10-(x+y) , y 则
?0 ? x ? 10 ? ?0 ? y ? 10 ?0 ? 10 ? ( x ? y) ? 10 ? ?0 ? x ? 10 ? ,即 ? 0 ? y ? 1 0 ?0 ? x ? y ? 10 ?

10


5

由一个三角形两边之和大于第三边,有
x ? y ? 10 ? ( x ? y )

,即 5 ?

x ? y ? 10


O 5 10
? y ?5

x

又由三角形两边之差小于第三边,有 x ? 5 ,即 0 ?
?0 ? x ? 5 ? 构造三角形的条件为 ? 0 ? y ? 5 ?5 ? x ? y ? 10 ?

x?5

,同理 0

. ∴



∴ 满足条件的点 P(x,y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域 的边界) .
S ? 阴 影= 1 2 · = 5
2

25 2

,S

?OAB



1 2

· 0 =50 1

2

.∴

P ( A )=

S ?阴 影 S ?OMN



1 4



21. 解: (1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间上的随机数,a 1 ? R A N D , b ? RAND ; (2)进行平移变换: a ? a 1 ? 1 ; (其中 a , b 分别为随机点的横坐标和 纵坐标) (3) 数出落在阴影内的点数 N 1 , 用几何概型公式计算阴影部分的面积.
4

例如,做 1 0 0 0 次试验,即 N 即S
? 0 .6 8 9

? 1000

,模拟得到 N 1

? 6 8 9 ,所以

S 1

?

N1 N

? 0 .6 8 9 ,



5


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