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18版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数学案新人教B版必修1

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3.3 幂函数
学习目标 1 α 1.理解幂函数的概念.2.掌握 y=x (α =-1, ,1,2,3)的图象与性质.3.理解 2

和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.

知识点一 幂函数的概念 1 2 思考 y= ,y=x,y=x 三个函数有什么共同特征?

x

梳理 一般地,形如________的函数叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1 2 -1 3 1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y=x;(2)y=x ;(3)y=x ;(4)y=x ;(5)y=x 的图 2 象如图.

2.五个幂函数的性质

y=x
定义域 值域 奇偶性 单调性 增

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x-1

在[0,+∞) 上 ____,在(-∞,

在(0,+∞) 上 ____,在(-∞,
1

0]上____

0)上____

知识点三 一般幂函数的图象特征 思考 类比 y=x 的图象和性质,研究 y=x 的图象与性质.
3 5

梳理 一般幂函数特征 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点________; (2)α >0 时,幂函数的图象通过________,并且在区间[0,+∞)上是____函数.特别地, 当 α >1 时,幂函数的图象________;当 0<α <1 时,幂函数的图象________; (3)______时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数; (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y=x 对称; (5)在第一象限,作直线 x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂 指数按从____到____的顺序排列.

类型一 幂函数的概念 例 1 已知 y=(m +2m-2)x
2

m2-2

+2n-3 是幂函数,求 m,n 的值.

反思与感悟 幂函数与指数函数、 对数函数的定义类似, 只有满足函数解析式右边的系数为
2

1,底数为自变量 x,指数为一常数这三个条件,才是幂函数.如:y=3x ,y=(2x) ,y=? ? ?2?
2 3 4

?x?

都不是幂函数.

1 2 2 跟踪训练 1 在函数 y= 2,y=2x ,y=x +x,y=1 中,幂函数的个数为(

x

)

A.0 B.1 C.2 D.3 类型二 幂函数的图象及应用 例 2 1 若点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上,问当 x 4

为何值时,(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x).

引申探究 若对于例 2 中的 f(x),g(x),定义 h(x)=? 试画出 h(x)的图象.
? ?f ?g ?

x ,f x x ,f x

g x , g x ,

3

反思与感悟 注意本题中对 f(x)>g(x),f(x)=g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们 从图形角度解读不等式和方程,是以后常用的方法. 跟踪训练 2 幂函数 y=x (α ≠0), 当 α 取不同的正数时, 在区间[0,1]上它们的图象是一 簇美丽的曲线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y =x ,y=x 的图象三等分,即有 BM=MN=NA.那么 α β 等于(
α β α

)

A.1 C.3 类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小

B.2 D.无法确定

?2? ?2? ?2? 例 3 设 a=? ? 3 ,b=? ? 3 ,c=? ? 3 ,则 a,b,c 的大小关系是( ?3? ?3? ?5?
A.a>b>c C.b>c>a B.b>a>c D.c>b>a

2

1

2

)

反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点: 指数不变. 比较大小的问题主 要是利用函数的单调性, 特别是要善于应用“搭桥”法进行分组, 常数 0 和 1 是常用的中间 量. 跟踪训练 3 比较下列各组数中两个数的大小:

?2?0.3 ?1?0.3 (1)? ? 与? ? ; ?5? ?3? ? 2?-1 ? 3?-1 (2)?- ? 与?- ? ; ? 3? ? 5? ?2?0.3 (3)? ? 与(0.3) 5 . ?5?
2

4

命题角度2 幂函数性质的综合应用 例 4 已知函数 f(x)=

mx2-2mx+m-1 (m∈R),试比较 f(5)与 f(-π )的大小. x2-2x+1

反思与感悟 幂函数 y=x 中只有一个参数 α ,幂函数的所有性质都与 α 的取值有关,故 可由 α 确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,也可由这些性质去限制 α 的取值. 跟踪训练 4 已知幂函数 f(x)=x
1 m 2+m

α

(m∈N+).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若函数还经过(2, 2), 试确定 m 的值, 并求满足 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.

5

2? ?1 α 1.已知幂函数 f(x)=k·x 的图象过点? , ?,则 k+α 等于( ?2 2 ? 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 2.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2, 1 A.16 B. 16 C.2 1 D. 2 2 ),则 f(4)的值等于( 2 )

)

1 α 3.设 α ∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 的所有 α 的值为( 2 A.1,3 C.-1,3
2

)

B.-1,1 D.-1,1,3 )

4.下列是 y=x 3 的图象的是(

5.以下结论正确的是(

)
α

A.当 α =0 时,函数 y=x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数 y=x 的图象关于原点对称,则 y=x 在定义域内 y 随 x 的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
6
α α

1.幂函数 y=x (α ∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数 α 为 常数,这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数 y=x 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:(1)α >0 时,图象过点(0,0),(1,1),在第一象限的图象上升;α <0 时,图象不过原点,在第 一象限的图象下降,反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性:α >1 时,曲线下凸;0< α <1 时,曲线上凸;α <0 时,曲线下凸. 1 α 3.在具体应用时,不一定是 y=x ,α =-1, ,1,2,3 这五个已研究熟的幂函数,这时可 2 根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质.
α

α

7

答案精析 问题导学 知识点一 思考 底数为 x,指数为常数. 梳理

y=xα (α ∈R)
知识点二 2. R R R [0, +∞) {x|x≠0} R [0, +∞) R [0, +∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇

非奇非偶 奇 增 减 增 知识点三

增 减 减

思考 y=x 与 y=x 的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当 0<x<1 时,x =x ·x <x ,当 x>1 时,x =x ·x >x ,结合两函数性质,可得图象如下:
3 2 3 5 3 2 3

3

5

5

梳理 (1)(1,1) (2)原点 增 下凸 上凸 (3)α <0 题型探究
?m +2m-2=1, ? 由题意得? ? ?2n-3=0,
2

(5)小 大

例1 解

m=-3或1, ? ? 解得? 3 n= , ? ? 2

3 所以 m=-3 或 1,n= . 2 1 -2 跟踪训练 1 B [∵y= 2=x ,

x

所以是幂函数;

y=2x2 由于出现系数 2,因此不是幂函数; y=x2+x 是两项和的形式,不是幂函数; y=1=x0(x≠0),可以看出,常数函数 y=1 的图象比幂函数 y=x0 的图象多了一个点(0,1),
所以常数函数 y=1 不是幂函数.] 例 2 解 设 f(x)=x ,因为点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,所以将点( 2,2)代入
α

f(x)=xα 中,得 2=( 2)α ,解得 α =2,则 f(x)=x2.同理可求得 g(x)=x-2.
8

在同一坐标系里作出函数 f(x)=x 和 g(x)=x 的图象(如图所示),观察图象可得:

2

-2

(1)当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x). (2)当 x=1 或 x=-1 时,f(x)=g(x). (3)当-1<x<1 且 x≠0 时,f(x)<g(x). 引申探究 解 h(x)的图象如图所示:

跟踪训练 2 A 例3 B

?2?x ?2? ?2? [∵y=? ? 在 R 上为减函数,∴? ? 3 <? ? 3 ,即 a<b;∵f(x)=x 3 在(0,+∞)上 ?3? ?3? ?3?
2

2

1

2

为增函数,

?2? ?2? ∴? ? 3 >? ? 3 ,即 a>c.∴b>a>c.故选 B.] ?3? ?5?
跟踪训练 3 解 (1)∵0<0.3<1, ∴y=x 在(0,+∞)上为增函数. 2 1 又 > , 5 3
0.3

2

?2?0.3 ?1?0.3 ∴? ? >? ? . ?5? ?3?
(2)∵y=x 在(-∞,0)上是减函数, 2 3 又- <- . 3 5
-1

? 2?-1 ? 3?-1 ∴?- ? >?- ? . ? 3? ? 5?
(3)∵y=x 在(0,+∞)上为增函数, 2 ?2?0.3 0.3 ∴由 >0.3,可得? ? >0.3 .① 5 ?5? 又 y=0.3 在(-∞,+∞)上为减函数, ∴0.3 >0.3 .②
0.3 0.3

x

2 5

9

?2?0.3 由①②知? ? >0.3 5 . ?5?
例 4 解 f(x)=

2

mx2-2mx+m-1 m x- = x2-2x+1 x-

2

-1 =m- 2

1 x-

2

=m-(x-1) .

-2

f(x)的图象可由 y=x-2 的图象首先作关于 x 轴的对称变换,然后向右平移 1 个单位长度,
再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示).

显然,图象关于 x=1 对称且在(1,+∞)上单调递增, ∴f(-π )=f(2+π ),而 2+π >5, ∴f(-π )=f(2+π )>f(5). 跟踪训练 4 解 (1)∵m∈N+, ∴m +m=m×(m+1)为偶数. 令 m +m=2k,k∈N+,则 f(x)=
2 2

2k

x,

∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上 f(x)为增函数.
1

(2)∵ 2=2 2 = 2 m ∴m +m=2,
2

2

1 ?m



解得 m=1 或 m=-2(舍去),
1

∴f(x)=x 2 , 由(1)知 f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数. ∴f(2-a)>f(a-1)等价于 2-a>a-1≥0, 3 解得 1≤a< . 2 当堂训练 1.C 2.D 3.A 4.B 5.D

10


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