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2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)


?

课 外 园地 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3 年第 7 、 8期( 上半月)  

1 1 3  

2 0 1 3年全 国高 中数学联合竞赛  湖北省预赛试题 ( 高二年 级)  
徐胜林  
( 华 中师 范 大 学 数 学竞 赛 与 数 学 普 及 研 究 所 , 4 3 0 0 7 9 )  





填 空题 ( 本题 满 分 9 0分 , 每小题 9分. 直 接 

+ d一 0 , 则n 6 十  +  的最 大值 为 

.  

将答 案 写在 横线 上 . )   1 . 设集合 A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) , B一 { 2 , 4 , 6 ,   1 8 ) , 若 C一 { 口 +b   1 口∈ A, b∈ B) , 则集 合 C的所  有元 素 之 和为
. 
— —

二、 解答 题 ( 本题 满 分 6 O分 , 每小题 2 O分 . )  

1 1 . 求 函数 Y— z   +X  
a 井 一 2+  , 6 井 = 

一 1的值 域.  
2   7 b .
,  

1 2 . 已知 数列 ( 口   ) , { b   ) 满足: a 。= 1 , b 。= 3 ,  
∈ N  .  

2 . 已知数 列 { 口   ) 满足 : n o一 0 , 口 1— 1 , 且 口 2   一 口   , 口 2  1   一 日  + 1 (   ∈  N  ) ,   则 口 2 o 1 3  

● 
— —

( 1 ) 证 明 : 对 一 切   ∈ N 。 , 有  
1;  

+ 譬 一  

3 . 设 函数 

厂   i f   2 I   l , z ≤ 0 ,   l , z> o ,  
…  


( 2 )求数 列 { n   ) 的通 项公 式 .  

og2 x

1 3 . 设P ( x 。 , Y 。 ) 为椭圆等 +Y 。 =1 内一定点  
( 不在 坐标 轴 上 ) , 过 点 P 的两 条 直线 分 别 与 椭 圆 

则方程 厂 (   ) 一- 砉 - 的解集为— — .  

4 . 函 数   一 1 _ _   + 1 _ _   + 1 _ _   _ l  +  
1   的最 小值 为  5 . 设 0< z< Y< - - “ 6 - , 则 P— c o s 2 x— c o s 2 y  
厶  


交 于 A、 c和 B、 D, 若A B/ /C D.  
( 1 )证 明 : 直线 A B 的斜 率为定 值 ;   ( 2 )过点 P作 AB 的平 行线 , 与椭 圆交 于 E, F  
两点 , 证明: 点 P平 分线 段 E F.  
参 考 答 案 


4 c o s x+ 4 c o s y的取 值 范 围是 


.  


2  

. . 2  

填 空题 :  
2 .9 .   3 .{ 一1 ,   ,   ) .  
6 . z一 4 .  

6 . 设 F为 椭 圆 c:   +  = 1的右焦 点 , 过 椭 
。 

1 . 1 7 8 .  

圆 C外 一 点 P 作 椭 圆 C 的 切 线 , 切点 为 M, 若 
P F M 一9 0 。 , 则 点 P 的轨迹 方程 为
4 . 2 (   + 1 ) .  
. 
— —

5 . ( 一 2 , O ) .  

7 . 从 集合 A 一 { 1 , 2 , 3 , …, 3 O ) 中取 出五个 不  同 的数 , 使 这 五个 数构 成等 差 数 列 , 则 可 以 得 到 的  不 同的等 差数 列 的个数 为 
.  


7 . 1 9 6 .  8 . 刍 .  9 . 导 .  1 0 .   5 .  
二、 解 答题 :  

8 . 四面体 P—A BC的体 积为 1 , G和 K 分 别是  △A B C和 △ P B C的重 心 , 过 G作 直线 分别 交 AB,  

1 1 .易求 得 函数 的定 义 域 为 ( X     ≥ 1或 z I  
≤一 1 ) .  

AC于点 M , N, 那 么 四棱 锥 K — MNC B 的体 积 的 
最大值 为  .   9 . 已知 互 不 相 等 的三 个 实数 n , b , c成 等 比数  列, 且 l o g   口, l o g   f , l o g   b构 成 公 差 为 d 的 等 差 数 
列, 则 d一  .  

( 1 )易知 函数 y—  十z  
( 2 )当 X≤一 1时 ,   Y— x ( x+  ̄ /   。 一1 )  


一1 是[ 1 , +。 。 )  

上 的增 函数 , 所 以, 当 X≥ 1时 , 可得 Y≥ 1 .  

x ( x+  ̄ / 孑 可
X 一

) ( z一  ̄ / 孑 『 - 二 二 二 _ _ )  
 ̄ / z   一1  

1 O . 已知 n , b , c , d∈ [ 一1 , +。 。 ) , 且n +b +C  

l 1 4  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



— — — — —  

兰 — — 一

: — — — — — —   — — 一

 

又口   一1 , 递推 可求得  -  3一一 1 所 以 n  

: = - - - - — - - - - - ? - - - - - - — - - - - - 一

z一 



4 "  ̄ -1  
X 

3?9   一 1   9 , r  + 1 。  
 

1+ 

1 3 .( 1 )设 P( x 0 , Y 0 ) , A( x 1 , Y 1 ) , B(  2 , y 2 ) ,  

c ( z 。 , 3 , 。 ) , D( x   , y   ) ,  
因为  ≤一 1 , 所以 O ≤ 1 一  1< 1 1≤ 1+ 


一 

, 则 有 

z o — X1= (  3 一X o ) , Y 0 一Y l=  (  3 一Y o ) ,  

≤ 1 , 即 丢 <  
1+  

所 

一 

一 

.  

因 为 点 c 在 椭 圆 上 , 所 以 譬 +   ; 一 1 , 即  
4   +    。 。   ~ 

≤ 1 .  

综合 可 知 : 3 , >  1 故 函数  —  + 


整 理得 

的 值 域 为 ( 丢 , + ∞ ) .  
1 2 .( 1 )用 数学 归纳法证 明 .  
( 口 1 — 1 ) 。  

( 1 +   )   q -   +   3 ) 一 号 ( 1 十 . ; 【 ) (   。 z   + 4   。   。 )  

① 当 , l= 1 时 , 口  = 1 , b  一 3 ,显 然 有 

4  + 譬 _ 1 -   ② 假 设 当   = 愚 时 结 论 成 立 , 即  
。 一 一 + 
6  
  9 ’  

+ ( 譬 +   i ) =   。 .   又 点 A 在 椭 圆 上 , 所 以 譬 + 3 , } = 1 , 从 而 可 得   + 譬   ( 1 +   )   ( 譬 +   3 ) 一 丢 ( 1 +   ) ( z 。   + 4   。   )  
一  



1成立 , 则9 口 2 +4   =9 ( 2 a   +3 ) , 那么 6 蚪  一  
3 b k  





1  

① 

一 

, 所 以 

又 因为A B∥ C D, 故有百 声一| ; 【 茚 , 同理可得 

( 口 胂1— 1 ) 。  
4  

( 1 +   )   ( 譬 +   ) 一 丢 ( 1 十   ) (   。   z + 4   。   z )  
一   一

1  

② 

: =

4 ( 2 a   +3 )   +瓦  
- - - - - — - - - - - - - - ? - - - - — - - — - 一  

( 5 a I +3 )  

② 一① , 得 X o ( z l — 2 ) +4 y o (   1 一Y 2 ) 一0 .  

因为 z 。≠ 0 , Y 。≠ 0 , 易 知 AB 不与 坐标 轴平 
( 5 a   +3 )  + 4 b i  
4 ( 2 a ^+ 3 )  

行, 所 以直线 
定 值.  

的斜 率 足一  y  ̄   -Y 2一一   X o, 为 

( 5 a   +3 )  +9 ( 2 a   +3 一n ; )  
4 ( 2 a ^ +3 )  
= — — — — — — — — — — — — — — — — — — : — — 一 = 1, I .  
一   :

4 ( 2 a ^ +3 )  

~ 
。 ,

( 2 ) 直 线 E F 的 方 程 为   一 一 最‘ - . Z : 0 ) 十  
代 人椭 圆方程得  X 2 十[ 一  (  —z ) + 。 ] 。 = 



所以, 当  — k+ 1时结论 也成 立.   综合 ① 、 ② 可知 : 对一切  ∈ N  ' 有 

整 理 得 

一 

? z+ 

+ 萼 一 1 .  
( 2 )由( 1 ) 知9 a : +4 b : 一9 ( 2 a   +3 ) , 所以口 井 l  
2+ 


+ 譬 + 3 ,   一 1 = 。 , 所 以  
z  (   + 4v   )  
XE- t -X F :  — —  

一 2+ 

一  7 a . +6
. 

8  



z   +4 y 3  
1 6 y  

2 x0,  

易 得 口  - 一 3 一  a   n - 3, 口  



1 一 

因 此点 P是 E F 的中点 , 即点 P平 分线段 EF.  


所 以  

一 可 1 ? 熹.  


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