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2015年北京市中考数学试题及答案解析(Word版)


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2015 年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)下面各题均有四个选项,其中只有一.个.是符 合题意的 1. (3 分) (2015?北京)截止到 2015 年 6 月 1 日,北京市已建成 34 个地下调蓄设施,蓄水 能力达到 140000 立方米,将 140000 用科学记数法表示应为( ) 4 5 6 A.14×10 B.1.4×10 C.1.4×10 D.14×106

考点: 科学记数法—表示较大的数. 专题: 计算题. 分析: 将 140000 用科学记数法表示即可. 5 解答: 解:140000=1.4×10 , 故选 B. 点评: 此题考查了科学记数法﹣表示较大的数,较小的数,以及近似数与有效数字,科学记 n 数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
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2. (3 分) (2015?北京)实数 a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中, 绝对值最大的是( )

A.a

B.b

C .c

D.d

考点: 实数大小比较. 分析: 首先根据数轴的特征,以及绝对值的含义和性质,判断出实数 a,b,c,d 的绝对值 的取值范围,然后比较大小,判断出这四个数中,绝对值最大的是哪个数即可. 解答: 解:根据图示,可得 3<|a|<4,1<|b|<2,0<|c|<1,2<|d|<3, 所以这四个数中,绝对值最大的是 a. 故选:A. 点评: 此题主要考查了实数大小的比较方法,以及绝对值的非负性质的应用,要熟练掌握, 解答此题的关键是判断出实数 a,b,c,d 的绝对值的取值范围.
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3. (3 分) (2015?北京)一个不透明的盒子中装有 3 个红球,2 个黄球和 1 个绿球,这些球 除了颜色外无其他差别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 概率公式. 专题: 计算题.

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分析: 直接根据概率公式求解. 解答: 解:从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率=

= .

故选 B. 点评: 本题考查了概率公式:随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数除以所 有可能出现的结果数. 4. (3 分) (2015?北京)剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为 ( ) A. B. C. D.

考点: 轴对称图形. 分析: 根据轴对称图形的概念求解. 解答: 解:A、不是轴对称图形, B.不是轴对称图形, C.不是轴对称图形, D.是轴对称图形, 故选:D. 点评: 本题考查了轴对称图形,轴对称图形的判断方法:把某个图象沿某条直线折叠,如果 图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形.
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5. (3 分) (2015?北京)如图,直线 l1,l2,l3 交于一点,直线 l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°, 则∠3 的度数为( )

A.26°

B.36°

C.46°

D.56°

考点: 平行线的性质. 分析: 如图,首先运用平行线的性质求出∠AOB 的大小,然后借助平角的定义求出∠3 即可 解决问题. 解答: 解:如图,∵直线 l4∥l1, ∴∠1+∠AOB=180°,而∠1=124°, ∴∠AOB=56°, ∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB =180°﹣88°﹣56° =36°, 故选 B.
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点评: 该题主要考查了平行线的性质及其应用问题;应牢固掌握平行线的性质,这是灵活运 用、解题的基础和关键. 6. (3 分) (2015?北京)如图,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔 开.若测得 AM 的长为 1.2km,则 M,C 两点间的距离为( )

A.0.5km

B.0.6km

C.0.9km

D.1.2km

考点: 直角三角形斜边上的中线. 专题: 应用题. 分析: 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得 MC=AM=1.2km. 解答: 解:∵在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,M 为 AB 的中点,
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∴MC= AB=AM=1.2km. 故选 D. 点评: 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜 边的一半.理解题意,将实际问题转化为数学问题是解题的关键. 7. (3 分) (2015?北京)某市 6 月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中, 众数和中位数分别是( )

A.21,21

B.21,21.5

C.21,22

D.22,22

考点: 众数;条形统计图;中位数. 专题: 数形结合.

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分析: 根据条形统计图得到各数据的权,然后根据众数和中位数的定义求解. 解答: 解:这组数据中,21 出现了 10 次,出现次数最多,所以众数为 21, 第 15 个数和第 16 个数都是 22,所以中位数是 22. 故选 C. 点评: 本题考查了众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了条形统 计图和中位数. 8. (3 分) (2015?北京)如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图, 若这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向,表示太和门的点的坐标为 (0, ﹣1) , 表示九龙壁的点的坐标为 (4, 1) , 则表示下列宫殿的点的坐标正确的是 ( )

A.景仁宫(4,2)? C. 保和殿(1,0)

B. 养心殿(﹣2,3) D.武英殿(﹣3.5,﹣4)

考点: 坐标确定位置. 分析: 根据平面直角坐标系,找出相应的位置,然后写出坐标即可. 解答: 解:根据表示太和门的点的坐标为(0,﹣1) ,表示九龙壁的点的坐标为(4,1) ,
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可得:原点是中和殿, 所以可得景仁宫(2,4) ,养心殿(﹣2,3) ,保和殿(0,1) ,武英殿(﹣3.5,﹣3) , 故选 B
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点评: 此题考查坐标确定位置,本题解题的关键就是确定坐标原点和 x,y 轴的位置及方向. 9. (3 分) (2015?北京)一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次,若购买会员年卡,可享受 如下优惠: 会员年卡类型 办卡费用(元) 每次游泳收费(元) 50 25 A 类 200 20 B 类 400 15 C 类 例如,购买 A 类会员年卡,一年内游泳 20 次,消费 50+25×20=550 元,若一年内在该游泳 馆游泳的次数介于 45~55 次之间,则最省钱的方式为( ) A.购买 A 类会员年卡 B. 购买 B 类会员年卡 C. 购买 C 类会员年卡 D.不购买会员年卡 考点: 一次函数的应用. 分析: 设一年内在该游泳馆游泳的次数为 x 次, 消费的钱数为 y 元, 根据题意得: yA=50+25x, yB=200+20x,yC=400+15x,当 45≤x≤50 时,确定 y 的范围,进行比较即可解答. 解答: 解:设一年内在该游泳馆游泳的次数为 x 次,消费的钱数为 y 元, 根据题意得: yA=50+25x, yB=200+20x, yC=400+15x, 当 45≤x≤50 时,
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1175≤yA≤1300; 1100≤yB≤1200; 1075≤yC≤1150; 由此可见,C 类会员年卡消费最低,所以最省钱的方式为购买 C 类会员年卡. 故选:C. 点评: 本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是根据题意,列出函数关系式,并确定 函数值的范围. 10. (3 分) (2015?北京) 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示, 通道由在同一平面内的 AB, BC,CA,OA,OB,OC 组成.为记录寻宝者的行进路线,在 BC 的中点 M 处放置了一 台定位仪器.设寻宝者行进的时间为 x,寻宝者与定位仪器之间的距离为 y,若寻宝者匀 速行进,且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则寻宝者的行进路线可能为 ( )

A.A→O→B

B.B→A→C

C.B→O→C

D.C→B→O

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考点: 动点问题的函数图象. 分析: 根据函数的增减性:不同的观察点获得的函数图象的增减性不同,可得答案. 解答: 解:A、从 A 点到 O 点 y 随 x 增大一直减小到 0,故 A 不符合题意; B.从 B 到 A 点 y 随 x 的增大先减小再增大,从 A 到 C 点 y 随 x 的增大先减小 再增大,但在 A 点距离最大,故 B 不符合题意; C.从 B 到 O 点 y 随 x 的增大先减小再增大,从 O 到 C 点 y 随 x 的增大先减小再增 大,在 B、C 点距离最大,故 C 符合题意; D.从 C 到 M 点 y 随 x 的增大而减小,一直到 y 为 0,从 M 点到 B 点 y 随 x 的增大 而增大,明显与图象不符,故 D 不符合题意; 故选:C. 点评: 本题考查了动点问题的函数图象, 利用观察点与动点 P 之间距离的变化关系得出函数 的增减性是解题关键.
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二、填填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 3 2 2 11. (3 分) (2015?北京)分解因式:5x ﹣10x +5x= 5x(x﹣1) . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 先提取公因式 5x,再根据完全平方公式进行二次分解. 3 2 解答: 解:5x ﹣10x +5x 2 =5x(x ﹣2x+1) 2 =5x(x﹣1) . 2 故答案为:5x(x﹣1) . 点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次 分解,注意分解要彻底.
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12. (3 分) (2015?北京)如图是由射线 AB,BC,CD,DE,EA 组成的平面图形,则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° .

考点: 多边形内角与外角. 分析: 首先根据图示,可得∠1=180°﹣∠BAE,∠2=180°﹣∠ABC,∠3=180°﹣∠BCD, ∠4=180°﹣∠CDE,∠5=180°﹣∠DEA,然后根据三角形的内角和定理,求出五边形 ABCDE 的内角和是多少,再用 180°×5 减去五边形 ABCDE 的内角和,求出 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等于多少即可. 解答: 解:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =(180°﹣∠BAE)+(180°﹣∠ABC)+(180°﹣∠BCD)+(180°﹣∠CDE)+(180° ﹣∠DEA)
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=180°×5﹣(∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA) =900°﹣(5﹣2)×180° =900°﹣540° =360°. 故答案为:360°. 点评: 此题主要考查了多边形内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: (1)n 边形的内角和=(n﹣2)?180 (n≥3)且 n 为整数) . (2)多边形的外角和指每个顶点处 取一个外角,则 n 边形取 n 个外角,无论边数是几,其外角和永远为 360°. 13. (3 分) (2015?北京) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学 的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章 算术》最高的数学成就. 《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊 各直金几何?” 译文:“假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两.问:每头牛、每 只羊各值金多少两?” 设每头牛值金 x 两,每只羊值金 y 两,可列方程组为 .

考点: 由实际问题抽象出二元一次方程组. 分析: 根据“假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两”,得到等量关 系,即可列出方程组. 解答: 解:根据题意得: ,
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故答案为:



点评: 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组, 解决本题的关键是找到题目中所存在 的等量关系.
2

14. (3 分) (2015?北京)关于 x 的一元二次方程 ax +bx+ =0 有两个相等的实数根,写出一 组满足条件的实数 a,b 的值:a= 4 ,b= 2 . 考点: 根的判别式. 专题: 开放型.

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分析: 2 2 由于关于 x 的一元二次方程 ax +bx+ =0 有两个相等的实数根,得到 a=b ,找一组满 足条件的数据即可. 解答: 2 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+ =0 有两个相等的实数根, ∴△=b ﹣4× a=b ﹣a=0, ∴a=b , 当 b=2 时,a=4, 故 b=2,a=4 时满足条件. 故答案为:4,2. 点评: 本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握判别式的意义是解题的关键. 15. (3 分) (2015?北京)北京市 2009﹣2014 年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统 计图中提供的信息,预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次,你的预 估理由是 根据 2009﹣2011 年呈直线上升,故 2013﹣2015 年也呈直线上升 .
2 2 2

考点: 用样本估计总体;折线统计图. 分析: 根据统计图进行用样本估计总体来预估即可. 解答: 解:预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次,根据 2009﹣2011 年呈直 线上升,故 2013﹣2015 年也呈直线上升, 故答案为:980;根据 2009﹣2011 年呈直线上升,故 2013﹣2015 年也呈直线上升. 点评: 此题考查用样本估计总体,关键是根据统计图分析其上升规律.
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16. (3 分) (2015?北京)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题:

小芸的作法如下:

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老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 . 考点: 作图—基本作图. 专题: 作图题. 分析: 通过作图得到 CA=CB,DA=DB,则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断 CD 为 线段 AB 的垂直平分线. 解答: 解:∵CA=CB,DA=DB, ∴CD 垂直平分 AB(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上) 故答案为:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 点评: 本题考查了基本作图: 基本作图有: 作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角; 作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线.
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三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. (5 分) (2015?北京)计算: ( ) ﹣(π﹣
﹣2

) +|

0

﹣2|+4sin60°.

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 分析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用 绝对值的代数意义化简,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=4﹣1+2﹣ +4× =5+ .
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点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18. (5 分) (2015?北京)已知 2a +3a﹣6=0.求代数式 3a(2a+1)﹣(2a+1) (2a﹣1)的 值. 考点: 整式的混合运算—化简求值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算,第二项利用平方差公式化简,去括号合 并得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值. 2 2 解答: 解:∵2a +3a﹣6=0,即 2a +3a=6, 2 2 2 ∴原式=6a +3a﹣4a +1=2a +3a+1=6+1=7. 点评: 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
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2

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19. (5 分) (2015?北京)解不等式组

,并写出它的所有非负整数解.

考点: 解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解. 专题: 计算题. 分析: 分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集, 即可确定出所有非负整数解. 解答: 解: ,
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由①得:x≥﹣2; 由②得:x< , ∴不等式组的解集为﹣2≤x< , 则不等式组的所有非负整数解为:0,1,2,3. 点评: 此题考查了解一元一次不等式组,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法 则是解本题的关键. 20. (5 分) (2015?北京)如图,在△ ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E.求证:∠CBE=∠BAD.

考点: 等腰三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: 根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD,根据同角的余角相等可得: ∠CBE=∠CAD,再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD. 解答: 证明:∵AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC, ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD, ∴∠CBE=∠BAD. 点评: 考查了余角的性质,等腰三角形的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合.
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21. (5 分) (2015?北京)为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自 行车供市民使用.到 2013 年底,全市已有公租自行车 25 000 辆,租赁点 600 个.预计 到 2015 年底,全市将有公租自行车 50 000 辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量
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是 2013 年底平均每个租赁点的公租自行车数量的 1.2 倍.预计到 2015 年底,全市将有 租赁点多少个? 考点: 分式方程的应用. 分析: 根据租赁点的公租自行车数量变化表示出 2013 年和 2015 年平均每个租赁点的公租自 行车数量,进而得出等式求出即可. 解答: 解:设到 2015 年底,全市将有租赁点 x 个,根据题意可得:
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×1.2=



解得:x=1000, 经检验得:x=1000 是原方程的根, 答:到 2015 年底,全市将有租赁点 1000 个. 点评: 此题主要考查了分式的方程的应用,根据题意得出正确等量关系是解题关键. 22. (5 分) (2015?北京) 在?ABCD 中, 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, 点 F 在边 CD 上, DF=BE, 连接 AF,BF. (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF 平分∠DAB.

考点: 平行四边形的性质;角平分线的性质;勾股定理的逆定理;矩形的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据平行四边形的性质,可得 AB 与 CD 的关系,根据平行四边形的判定,可得 BFDE 是平行四边形,再根据矩形的判定,可得答案; (2)根据平行线的性质,可得∠DFA=∠FAB,根据等腰三角形的判定与性质,可得 ∠DAF=∠DFA,根据角平分线的判定,可得答案. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD. ∵BE∥DF,BE=DF, ∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90°, ∴四边形 BFDE 是矩形; (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥DC, ∴∠DFA=∠FAB. 在 Rt△ BCF 中,由勾股定理,得
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BC= ∴AD=BC=DF=5,

=

=5,

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∴∠DAF=∠DFA, ∴∠DAF=∠FAB, 即 AF 平分∠DAB. 点评: 本题考查了平行四边形的性质,利用了平行四边形的性质,矩形的判定,等腰三角形 的判定与性质,利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA 是解题关键. 23. (5 分) (2015?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx+b(k≠0)与双曲线 y= 的 一个交点为 P(2,m) ,与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B. (1)求 m 的值; (2)若 PA=2AB,求 k 的值. 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)将点 P 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得 m 的值; (2) 作 PC⊥x 轴于点 C, 设点 A 的坐标为 (a, 0) , 则 AO=﹣a, AC=2﹣a, 根据 PA=2AB 得到 AB:AP=AO:AC=1:2,求得 a 值后代入求得 k 值即可. 解答: 解:∵y= 经过 P(2,m) ,
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∴2m=8, 解得:m=4; (2)点 P(2,4)在 y=kx+b 上, ∴4=2k+b, ∴b=4﹣2k, ∵直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B, ∴A(2﹣ ,0) ,B(0,4﹣2k) , 如图, ∵PA=2AB, ∴AB=PB,则 OA=OC, ∴ ﹣2=2, 解得 k=1;

点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 解题的关键是表示出 A 的坐标, 然后 利用线段之间的倍数关系确定 k 的值,难度不大.

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24. (5 分) (2015?北京)如图,AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM,弦 CD∥BM, 交 AB 于点 F,且 = ,连接 AC,AD,延长 AD 交 BM 于点 E.

(1)求证:△ ACD 是等边三角形; (2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长.

考点: 切线的性质;等边三角形的判定与性质. 分析: (1)由 AB 是⊙O 的直径,BM 是⊙O 的切线,得到 AB⊥BE,由于 CD∥BE,得到
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CD⊥AB,根据垂径定理得到

,于是得到

,问题即可得证;

(2) 连接 OE, 过 O 作 ON⊥AD 于 N, 由 ( 1) 知, △ ACD 是等边三角形, 得到∠DAC=60° 又直角三角形的性质得到 BE= AE,ON= AO,设⊙O 的半径为:r 则 ON= r, AN=DN= r,由于得到 EN=2+ ,BE= AE= ,在 Rt△ DEF 与 Rt△ BEO

中,由勾股定理列方程即可得到结论. 解答: (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,BM 是⊙O 的切线, ∴AB⊥BE, ∵CD∥BE, ∴CD⊥AB, ∴ ∵ ∴ = , , ,

∴AD=AC=CD, ∴△ACD 是等边三角形; (2)解:连接 OE,过 O 作 ON⊥AD 于 N,由(1)知,△ ACD 是等边三角形, ∴∠DAC=60° ∵AD=AC,CD⊥AB, ∴∠DAB=30°, ∴BE= AE,ON= AO, 设⊙O 的半径为:r,
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∴ON= r,AN=DN= ∴EN=2+

r, ,

,BE= AE=

在 Rt△ DEF 与 Rt△ BEO 中, 2 2 2 2 2 OE =ON +NE =OB +BE , 即 ∴r=2 ∴OE = ∴OE=2 .
2

=r + , +25=28,

2



点评: 本题考查了切线的性质,垂径定理,等边三角形的判定,直角三角形的性质,勾股定 理,过 O 作 ON⊥AD 于 N,构造直角三角形是解题的关键. 25. (5 分) (2015?北京)阅读下列材料: 2015 年清明小长假,北京市属公园开展以“清明踏青,春色满园”为主题的游园活动,虽然 气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为 190 万人次.其中, 玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的游客接待量分别为 38 万人次、21.75 万人次;颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春 色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为 26 万人次、20 万人次、17.6 万人次;北京动 物园游客接待量为 18 万人次,熊猫馆的游客密集度较高. 2014 年清明小长假,天气晴好,北京市属公园游客接待量约为 200 万人次,其中,玉渊潭 公园游客接待量比 2013 年清明小长假增长了 25%; 颐和园游客接待量为 26.2 万人次, 2013 年清明小长假增加了 4.6 万人次;北京动物园游客接待量为 22 万人次. 2013 年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为 32 万人次、 13 万人次、14.9 万人次. 根据以上材料解答下列问题: (1)2014 年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为 40 万人次; (2)选择统计表或统计图,将 2013﹣2015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园 的游客接待量表示出来. 考点: 条形统计图;统计表. 分析: (1)2013 年的人数乘以(1+25%)即可求解; (2)求出 2014 年颐和园的游客接待量,然后利用统计表即可表示. 解答: 解: (1)2014 年,玉渊潭公园的游客接待量是:32×(1+25%)=40(万人) .
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故答案是:40; (2)2013 年颐和园的游客接待量是:26.4﹣4.6=21.8(万元) . 玉渊潭公园 颐和园 32 21.8 2013 年 40 26.2 2014 年 38 26 2015 年

北京动物园 14.9 22 18

点评: 本题考查了数据的分析与整理,正确读懂题意,从所列的数据中整理出 2013﹣2015 年三年中,三个公园的游客数是关键.
2

26. (5 分) (2015?北京)有这样一个问题:探究函数 y= x + 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验,对函数 y= x + 的图象与性质进行了探究. 下面是小东的探究过程,请补充完整: (1)函数 y= x + 的自变量 x 的取值范围是 x≠0 ; (2)下表是 y 与 x 的几组对应值. x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ y … ﹣ ﹣ ﹣
2 2

1

2

3 m

… …

求 m 的值; (3)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出 的点,画出该函数的图象; (4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1, ) ,结合函数的图 象,写出该函数的其它性质(一条即可) 该函数没有最大值 .

考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象;反比例函数的性质;二次函数的性质. 分析: (1)由图表可知 x≠0; (2)根据图表可知当 x=3 时的函数值为 m,把 x=3 代入解析式即可求得; (3)根据坐标系中的点,用平滑的直线连接即可; (4)观察图象即可得出该函数的其他性质.

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解答: 解: (1)x≠0, (2)令 x=3, ∴y= ×3 + = + = ∴m= ; ;
2

(3)如图

(4)该函数的其它性质: ①该函数没有最大值; ②该函数在 x=0 处断开; ③该函数没有最小值; ④该函数图象没有经过第四象限. 故答案为该函数没有最大值. 点评: 本题考查了二次函数的图象和性质,反比例函数的图象和性质,根据图表画出函数的 图象是解题的关键. 27. (7 分) (2015?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,过点(0,2)且平行于 x 轴的直线, 与直线 y=x﹣1 交于点 A,点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B,抛物线 C1:y=x +bx+c 经 过点 A,B. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标; 2 (3)若抛物线 C2:y=ax (a≠0)与线段 AB 恰有一个公共点,结合函数的图象,求 a 的取值 范围.
2

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考点: 二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式. 分析: (1)当 y=2 时,则 2=x﹣1,解得 x=3,确定 A(3,2) ,根据 AB 关于 x=1 对称,所 以 B(﹣1,2) .
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(2)把(3,2) , (﹣2,2)代入抛物线 C1:y=x +bx+c 得 值,即可解答; 2 (3)画出函数图象,把 A,B 代入 y=ax ,求出 a 的值,即可解答. 解答: 解: (1)当 y=2 时,则 2=x﹣1, 解得:x=3, ∴A(3,2) , ∵点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B, ∴B(﹣1,2) . 2 (2)把(3,2) , (﹣2,2)代入抛物线 C1:y=x +bx+c 得:

2

,求出 b,c 的

解得: ∴y=x ﹣2x﹣1. 顶点坐标为(1,﹣2) . (3)如图,当 C2 过 A 点,B 点时为临界,
2

代入 A(3,2)则 9a=2,
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解得:a= , 代入 B(﹣1,2) ,则 a(﹣1) =2, 解得:a=2, ∴ 点评: 本题考查了二次函数的性质,解集本题的关键是求出二次函数的解析式,并结合图形 解决问题. 28. (7 分) (2015?北京)在正方形 ABCD 中,BD 是一条对角线,点 P 在射线 CD 上(与 点 C、D 不重合) ,连接 AP,平移△ ADP,使点 D 移动到点 C,得到△ BCQ,过点 Q 作 QH⊥BD 于 H,连接 AH,PH. (1)若点 P 在线段 CD 上,如图 1. ①依题意补全图 1; ②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明; (2)若点 P 在线段 CD 的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形 ABCD 的边长为 1,请写出求 DP 长的思路. (可以不写出计算结果)
2

考点: 四边形综合题. 分析: (1)①根据题意画出图形即可; ②连接 CH,先根据正方形的性质得出△ DHQ 是等腰直角三角形,再由 SSS 定理得 出△ HDP≌△ HQC,故 PH=CH,∠HPC=∠HCP,由正方形的性质即可得出结论; (2)根据四边形 ABCD 是正方形,QH⊥BD 可知△ DHQ 是等腰直角三角形,再由平 移的性质得出 PD=CQ. 作 HR⊥PC 于点 R, 由∠AHQ=152°, 可得出∠AHB 及∠DAH 的度数,设 DP=x,则 DR=HR=RQ,由锐角三角函数的定义即可得出结论. 解答: 解: (1)①如图 1;
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②如图 1,连接 CH, ∵四边形 ABCD 是正方形,QH⊥BD, ∴∠HDQ=45°, ∴△DHQ 是等腰直角三角形. ∵DP=CQ, 在△ HDP 与△ HQC 中. ∵ ,

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∴△HDP≌△HQC(SSS) , ∴PH=CH,∠HPC=∠HCP. ∵BD 是正方形 ABCD 的对称轴, ∴AH=CH,∠DAH=∠HCP, ∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°, ∴AH=PH,AH⊥PH. (2)如图 2, ∵四边形 ABCD 是正方形,QH⊥BD, ∴∠HDQ=45°, ∴△DHQ 是等腰直角三角形. ∵△BCQ 由△ ADP 平移而成, ∴PD=CQ. 作 HR⊥PC 于点 R, ∵∠AHQ=152°, ∴∠AHB=62°, ∴∠DAH=17°. 设 DP=x,则 DR=HR=RQ= .

∵tan17°=

,即 tan17°=



∴x=



点评: 本题考查的是四边形综合题,涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的 判定与性质等知识,难度适中.

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29. (8 分) (2015?北京)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙C 的半径为 r,P 是与圆心 C 不重合 的点, 点 P 关于⊙C 的反称点的定义如下: 若在射线 CP 上存在一点 P′, 满足 CP+CP′=2r, 则称 P′为点 P 关于⊙C 的反称点,如图为点 P 及其关于⊙C 的反称点 P′的示意图. 特别地,当点 P′与圆心 C 重合时,规定 CP′=0. (1)当⊙O 的半径为 1 时. ①分别判断点 M(2,1) ,N( ,0) ,T(1, )关于⊙O 的反称点是否存在?若存在,

求其坐标; ②点 P 在直线 y=﹣x+2 上,若点 P 关于⊙O 的反称点 P′存在,且点 P′不在 x 轴上,求点 P 的横坐标的取值范围; (2)⊙C 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 y=﹣ x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,

若线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于⊙C 的反称点 P′在⊙C 的内部,求圆心 C 的横坐标的 取值范围.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)①根据反称点的定义,可得当⊙O 的半径为 1 时,点 M(2,1)关于⊙O 的反
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称点不存在;N( ,0)关于⊙O 的反称点存在,反称点 N′( ,0) ;T(1,



关于⊙O 的反称点存在,反称点 T′(0,0) ; 2 2 2 ②由 OP≤2r=2,得出 OP ≤4,设 P(x,﹣x+2) ,由勾股定理得出 OP =x +(﹣x+2) 2 2 =2x ﹣4x+4≤4,解不等式得出 0≤x≤2.再分别将 x=2 与 0 代入检验即可; (2)先由 y=﹣ x+2 ,求出 A(6,0) ,B(0,2 ) ,则 = ,∠OBA=60°,

∠OAB=30°.再设 C(x,0) ,分两种情况进行讨论:①C 在 OA 上;②C 在 A 点右 侧. 解答: 解: (1)当⊙O 的半径为 1 时. ①点 M(2,1)关于⊙O 的反称点不存在; N( ,0)关于⊙O 的反称点存在,反称点 N′( ,0) ; T(1, )关于⊙O 的反称点存在,反称点 T′(0,0) ;
2

②∵OP≤2r=2,OP ≤4,设 P(x,﹣x+2) , 2 2 2 2 ∴OP =x +(﹣x+2) =2x ﹣4x+4≤4, 2 ∴2x ﹣4x≤0,
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x(x﹣2)≤0, ∴0≤x≤2. 当 x=2 时,P(2,0) ,P′(0,0)不符合题意; 当 x=0 时,P(0,2) ,P′(0,0)不符合题意; ∴0<x<2;

(2)∵直线 y=﹣

x+2

与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B, ) ,

∴A(6,0) ,B(0,2 ∴ = ,

∴∠OBA=60°,∠OAB=30°. 设 C(x,0) . ①当 C 在 OA 上时,作 CH⊥AB 于 H,则 CH≤CP≤2r=2, 所以 AC≤4, C 点横坐标 x≥2(当 x=2 时,C 点坐标(2,0) ,H 点的反称点 H′(2,0)在圆 的内部) ; ②当 C 在 A 点右侧时,C 到线段 AB 的距离为 AC 长,AC 最大值为 2, 所以 C 点横坐标 x≤8. 综上所述,圆心 C 的横坐标的取值范围是 2≤x≤8.

点评: 本题是圆的综合题, 其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征, 特殊角的三角函数值, 勾股定理,一元二次不等式的解法,利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本 题的关键.

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