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北京市西城区2011届高三上学期期末考试数学试题(理)

北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2011.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0}, B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ? B ? (A) {x ?1 ? x ? 3} (B) {x ?1 ? x ? 3} (C) {x x ? ?1} (D) {x x ? 3}

2. 已知点 A(?1,1) ,点 B (2, y ) ,向量 a = (1, 2) ,若 AB // a ,则实数 y 的值为 (A)5(B)6(C)7(D)8 3.已知 ?ABC 中 , a ? 1, b ? 2 , B ? 45 ,则角 A 等于
?

??? ?

(A) 150 (B) 90 (C) 60 (D) 30

?

?

?

?

4.在极坐标系中,过点 (1, 0) 并且与极轴垂直的直线方程是 (A) ? ? cos ? (B) ? ? sin ? (C) ? cos ? ? 1(D) ? sin ? ? 1 5. 阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ 内,则输入的实数 x 的取值范围是 (A) (??, ?2] (B) [?2, ?1] (C) [?1, 2] (D) [2, ??) 6.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 8a2 ? a5 ? 0 ,则下列式 子中数值不能确定的是 (A)

1 1 , ] 4 2

开始 输入 x

x ?[?2, 2]




f ( x) ? 2

f ( x) ? 2x
输出 f ( x) 结束

S a5 a S (B) 5 (C) n?1 (D) n?1 a3 an Sn S3
A B D C B

AB 7. 如图, 四边形 ABCD 中, ? AD ? CD ? 1 ,

A?

BD ? 2 , BD ? CD .将四边形 ABCD 沿
对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 D C

A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是
(A) A?C ? BD
?

(B) ?BA?C ? 90

?

(C) CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30 (D)四面体 A? ? BCD 的体积为

1 3

8.对于函数① f ( x) ? 4 x ?

1 1 ? 5 ,② f ( x) ? log 2 x ? ( ) x ,③ f ( x) ? cos( x ? 2) ? cos x , x 2

判断如下两个命题的真假: 命题甲: f ( x ) 在区间 (1, 2) 上是增函数; 命题乙: f ( x ) 在区间 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 (A)① (B)② (C)①③ (D)①②

第Ⅱ卷(非选择题
2 ? ______. (1 ? i) 2
2

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 为虚数单位,则

10.在 (2 ? x)5 的 展开式中, x 的系数为_____.

?x ? y ?1 ? 0, ? 11. 若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 2 , 则 2x ? y 的最大值为_____. ? x ? 1, ?
B 12.如图所示,过圆 C 外一点 P 做一条直线与圆 C 交于 A, 两点,
BA ? 2 AP , PT 与 圆 C 相 切于 T 点 .已 知圆 C 的 半 径为 2 ,
C B A

P

?CAB ? 30 ,则 PT ? _____.
?

T

13.双曲线 C : x ? y ? 1 的渐近线方程为_____;
2 2

若双曲线 C 的右顶点为 A ,过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P, Q 两点,且

??? ? ???? PA ? 2 AQ ,则直线 l 的斜率为_____.
14.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间 的“折线距离”. 则 坐标原点 O 与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值是____; 圆 x ? y ? 1上一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的最小值是____.
2 2

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 80 分. 解答应写出必要的文字说明 、 共 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x .[来源:Zxxk.Com] (Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 6 3

16.(本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形,∠ BAC = 90 , 1 1 1
?

点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: A1D ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面 A1DC ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? A 的余弦值. 1 C11 D A1

B1

B C A

17.(本小题满分 13 分) 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1, 2,3, 4,5,6 . (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的概率; (Ⅱ) 若从袋中每次随机抽取 2 个球, 有放回的抽取 3 次, 求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (Ⅲ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列.

18.(本小题满分 13 分)

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a b
(Ⅰ)若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若

坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

[来源:学科网] 20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足 bn ? an?1 ? an ,其中 n ? 1, 2,3,? . (Ⅰ)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn?1bn?1 ? bn (n ? 2) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . (ⅰ)记 cn ? a6n?1 (n ? 1) ,求证:数列 {cn } 为等差数列; (ⅱ) 若数列 { 足的条件.

an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项 a1 应满 n

北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末

高三数学参考答案及评分标准
(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 2011.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?i 10. 80 11. 12. 3 13. x ? y ? 0 , ?3 14.

4

5,

5 2

注:13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分.) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上, 所以 sin ? ? ?

1 3 , cos ? ? , 2 2

??????2 分

所以 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?

??????4 分

? 2 3 ? (?

3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2

??????5 分

(Ⅱ) f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3sin2x ? cos 2x ?1

??????6 分 ??????8 分

? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6
因为 x ? [ ? 所以 ?

?

? ?
,

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

6 3

] ,所以 ?

?

6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

??????10 分 ??????11 分 ??????13 分

所以 f ( x ) 的值域是 [?2,1] .

16.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)证明:因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, 1 1 所以 AA ? AC, AA ? AB , 1 1 所以 AA1 ? 平面 ABC ,三棱柱 ABC ? A B1C1 是直三棱柱. 1 因为 A1D ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? A D , 1 又因为 A B1 ? AC1 , D 为 B1C1 中点, 1 1 所以 A D ? B1C1 . 1 因为 CC1 ? B1C1 ? C1 , 所以 A1D ? 平面 BB1C1C . ?????4 分 C11 D A1 x O y C A B ?????3 分 z B1 ??????1 分 ??????2 分

(Ⅱ)证明:连结 AC1 ,交 AC 于点 O ,连结 OD , 1 因为 ACC1 A 为正方形,所以 O 为 AC1 中点, 1 又 D 为 B1C1 中点,所以 OD 为 ?AB1C1 中位线, 所以 AB1 // OD , ??????6 分

因为 OD ? 平面 A1DC , AB1 ? 平面 A1DC , 所以 AB1 // 平面 A1DC . ??????8 分

(Ⅲ)解: 因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, ?BAC ? 90 , 1 1
?

所以 AB, AC, AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz .

, 设 AB ? 1 ,则 C (0,1 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) . ???? ? 1 1 ???? A1 D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 ? 1) , , 2 2
设平面 A1DC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ??????9 分

1 1 2 2

?n ? A1 D ? 0 ? x ? y ? 0 ,? , x ? ? y ? ?z , ? n ? A1C ? 0 ? y ? z ? 0 ?
取 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, ?1) .

??? ? 又因为 AB ? 平面 ACC1 A ,所以平面 ACC1 A 的法向量为 AB ? (1,0, ,???11 分 0) 1 1
??? ? ??? ? n ? AB 1 3 cos? n, AB? ? ? , ??? ? ? 3 3 n AB
因为二面角 D ? AC ? A 是钝角, 1 所以,二面角 D ? AC ? A 的余弦值为 ? 1 17.(本小题满分 13 分) ??????12 分

??????10 分

3 . 3

??????13 分

解: (Ⅰ)设先后两次从袋中取出球的编号为 m, n ,则两次取球的编号的一切可能结果 (m, n) 有 6 ? 6 ? 36 种, 其中和为 6 的结果有 (1,5),(5,1),(2, 4),(4, 2),(3,3) ,共 5 种, 则所求概率为 ??????2 分

5 . 36

??????4 分
1 C5 1 ? . 2 C6 3

(Ⅱ)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p ?

??????6 分 所以, 3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为

1 2 2 C32 p 2 (1 ? p) ? 3 ? ( ) 2 ( ) ? . 3 3 9
(Ⅲ)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5,6 .
3 C3 1 , ? 3 C6 20

??????8 分 ??????9 分

P( X ? 3) ?

P( X ? 4) ?

C32 3 , ? 3 C6 20

2 C4 6 3 P( X ? 5) ? 3 ? ? , C6 20 10

P( X ? 6) ?

C52 10 1 ? ? . 3 C6 20 2
X

?????? 12 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

3 1 20
[来 源: 学| 科| 网 Z|X |X| K]

4

5

6

P

3 20

3 10

1 2

??????13 分 18、 (本小题满分 13 分)

?c ? 3 ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2 2

??????2 分

??????3 分[来

源:Z&xx&k.Com] 所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

??????4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? a 2 b 2 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?

? a 2b 2 , b2 ? a 2 k 2

??????6 分

依题意, OM ? ON , 易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1? k2 ) x1 x2 ? 9 ? 0. 源:学+科+网 Z+X+X+K] 即 ??????7 分

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

??????8 分[来

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
2

??????9 分

将其整理为 k ?

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2

??????10 分

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . 2 2
2

??????11 分

所以 k ?

1 2 2 ]? ( , ??] . ,即 k ? (??, ? 8 4 4

??????13 分

19.(本小题满分 14 分)

解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x
2 . 3

??????2 分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

??????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

??????5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ??????6 分

1 1 时, ? 2 , a 2 1 a 1 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ????7 分 ③当 a ? ④当 a ?

1 a

1 a

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ???8 分 2 2x

1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,[来源:学科网] ①当 a ?

1 a

1 a

1 a

???9 分

??????10 分

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ?????11 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
??????13 分 ??????14 分

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1.

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,有

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ????2 分
? 1? (n ? 1) ? n n2 n ? ? ?1 . 2 2 2
??????3 分

又因为 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 {an } 的通项为 an ? (Ⅱ) (ⅰ)因为对任意的 n ? N 有 bn ? 6 ?
*

n2 n ? ? 1 .??????4 分 2 2

bn ?5 b 1 ??????5 分 ? ? n ?1 ? bn , bn? 4 bn?3 bn? 2 所以 cn?1 ? cn ? a6n?5 ? a6n?1 ? b6n?1 ? b6n ? b6n?1 ? b6n?2 ? b6n?3 ? b6n?4 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 7 (n ? 1) , 2 2 所以数列 {cn } 为等差数列. ??????7 分 (ⅱ)设 cn ? a6n?i (n ? 0) , (其中 i 为常数且 i ? {1,2,3,4,5,6} ) ,所以

cn?1 ? cn ? a6n?6?i ? a6n?i ? b6n?i ? b6n?i ?1 ? b6n?i ?2 ? b6n?i ?3 ? b6n?i ?4 ? b6n?i ?5 ? 7(n ? 0) 所以数列 {a6 n?i } 均为以 7 为公差的等差数列. ??????9 分 7 7i 7i (i ? 6k ) ? ai ? ai ? a6 k ?i ai ? 7k 6 7 6 ? ? 6 , 设 fk ? ? ? 6k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k (其中 n ? 6k ? i ( k ? 0) , i 为 {1,2,3,4,5,6} 中的一个常数) , a 7i 7 当 ai ? 时,对任意的 n ? 6k ? i 有 n ? ; ??????10 分 6 6 n 7i 当 ai ? 时, 6 7i 7i ai ? ai ? 1 1 6 ? 6 ? (a ? 7i )( f k ?1 ? f k ? ? ) i 6(k ? 1) ? i 6k ? i 6 6(k ? 1) ? i 6k ? i 7i ?6 ? (ai ? )( ) 6 [6(k ? 1) ? i](6k ? i)
??????11 分

a 7i ①若 ai ? ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 { 6 k ?i } 为单调减数列; 6 6k ? i a 7i ②若 ai ? ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 { 6 k ?i } 为单调增数列; 6 6k ? i
??????12 分

7 4 1 1 1 1 7 4 1 1 1 6 3 2 3 6 2 6 3 2 3 6 an 当 a1 ? B 时,数列 { } 中必有某数重复出现无数次. n a 6 k ?i } (i ? 1,2,3,4,5,6) 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多 当 a1 ? B 时,{ 6k ? i a 出现一次,所以数列 { n } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无 数次. ???14 分 n
综上:设集合 B ? { } ? { } ? { } ? {? } ? {? } ? { } ? { , , , ? , ? } ,


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