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2018-2019版高中数学人教B版必修四课件:第二单元 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义


第二章 §2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生 位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义. 3. 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量 是否垂直. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 向量的夹角 思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在 夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 答案 存在夹角,不一样. 答案 思考2 → → △ABC为正三角形,设 AB =a,BC=b,则向量a与b的夹角 是多少? 答案 → 如图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD,则BD=a, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=60°, 则∠CBD=120°, 故向量a与b的夹角为120°. 答案 梳理 两个向量夹角的定义 → → (1)已知两个非零向量a,b,作 OA=a, OB=b, 〈a,b〉 则 ∠AOB 称作向量a和向量b的夹角,记作 ,并规定它的范围是 0≤〈a,b〉≤π . a〉 在这个规定下, 两个向量的夹角被唯一确定了, 并且有〈a, b〉=〈b, . π 〈a,b〉=2 (2)当 时,我们说向量a和向量b互相垂直,记作 a⊥b . 知识点二 向量在轴上的正射影 思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量?其在轴上的坐标的 符号取决于谁? 答案 向量 b 在轴上的射影是一个向量,其在轴上的坐标为数量, 其符号取决于夹角θ的范围:当θ为锐角时,该数量为正值; 当θ为钝角时,该数量为负值;当θ为直角时,该数量为0; 当θ=0°时,该数量为|b|;当θ=180°时,该数量为-|b|. 答案 梳理 向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图). — — → → 作 OA=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量 O1A1 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在 → 轴 l 的方向 轴l 上的数量或在 上的数量. OA=a在轴l上正射影的坐标记作al, 向量a的方向与轴l的正向所成的角为 θ,则由三角函数中的余弦定义有 al =|a|cos θ. 知识点三 向量的数量积(内积) 思考1 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s 的夹角为θ,那么力F所做的功W是多少? 答案 W=|F||s|cos θ. 答案 思考2 对于两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积( 或内积) ,记作a· b ,即 a· b = |a|· |b|cos θ,那么 a· b的 运算结果是向量还是数量?特别地,零向量与任一向量的 数量积是多少? 答案 a· b的运算结果是数量. 0· a=0. 答案 梳理 向量数量积的定义 |a||b|cos〈 a,b 〉 叫做向量 a 和 b 的数量积 ( 或内积 ) ,记作 a· b, 即a· b=|a||b|cos〈 a,b 〉. 知识点四 向量数量积的性质 思考1 设a与b都是非零向量,若a⊥b,则a· b等于多少?反之成立吗? 答案 a⊥b?a· b=0. 思考2 当a与b同向时,a· b等于什么?当a与b反向时,a· b等于什么? 特别地,a· a等于什么? 答案 当a与b同向时,a· b=|a||b|; a· a=a =|a| 或|a|= a· a. 当a与b反向时

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