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高考数列题(含详细解析)

高考数列题(含详细解析)
1.(2009 北京文) (本小题共 13 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q( n ? N? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整 数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

20 1 1 1 1 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 3 2 3 2 3

.

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时,bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时,bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2
m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 , 即 ?2 p? q? ? 3 p? 1 m ?q ??? p p

对任意的正整数 m 都成立.

1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

.

2.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1 ? 3,1 ? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6

∴该数集具有性质 P. (Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an
.

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

2

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an

.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A. a3

2 ,得 a2 a4 ? a3

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a3 a2 a3 a2

∴ 列.

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a 2 成等比数 a4 a3 a2 a1

.k.s.5.

3.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分)
x 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项

1 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n ?1 = Sn + Sn?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

.

【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

3

2 1 ?? , f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a1 ? f ?1? ? c ?

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1? ? n ?1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2 n?2 n 1? 2 1 ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

4.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ............. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 分析: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) 2 n ?1

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ?
4

(II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? (2 k ) ? ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ? 2
k ?1 k ?1

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2
*

5.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N , 其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

6.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ?7, 2

5

解得 a1 (2)

? ?5 ,d ? 2 ,
am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2 m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

(方法一) 则

am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。

.

7.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分) 对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序数组
2

( a, b) 的组数, 其中 a, b ??1,2,?, n?( a 和 b 可以相等) ; 对于随机选取的 a, b ??1,2,?, n?
( a 和 b 可以相等) ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率。
2

(1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理, 考查探究能力。 满分 10 分。

6

.

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g an ?
?

1) n? (N ?

)
.

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像 上 . 所 以 得

?

Sn ?

n

b ?

,r 当

n ?1



,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b 则
n?1

? 2n?1 ,

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? ? ,所以 1 bn 2n b1 b2 bn 2 4 6 2n

.

7

下面用数学归纳法证明不等式

b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · · · · · · ·k ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
4(k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? ( k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4(k ? 1)
.

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 ? ? 2k ? 2 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

9.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b 则 Tn ?
n?1

所以 an ? (b ?1)b

n ?1

? 2n?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2
8

2 1 1 1 1 n ?1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
相减,得 Tn ?

1 2

10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 10 分)

.

已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 s n . 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
.

.

? ?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0
即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d
?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

解得 ?

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9?

11.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分)

.

已 知 曲 线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从 点 P(? 1, 0 ) 向 曲 线 Cn 引 斜 率 为

kn (kn ? 0 )的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ? 解 :( 1 ) 设 直 线

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

ln : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 , 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ?0 , ∴

9

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

.

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

.

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , ? 2n ? 1 1 ? xn

' 令 f ( x) ? 0 , 得 cos x ?

? ? 2 ' , 给定区间 (0, ) , 则有 f ( x) ? 0 , 则函数 f ( x ) 在 (0, ) 上 4 4 2

单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ?

? 2s i x n 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn

.

12.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ? 1是奇数,其中 m 为正整数,

10

则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
1? 3 32 ? 3 ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4
an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 4

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 已知数列{ } 的前 n 项和 }与{ }的通项公式; < ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

,证明:当且仅当 n≥3 时,

.

( n ? 1) ? a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn ?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ? am ? 4n(n ? N )
*

11

又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ?2bn ? bn?1

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 ( n ?1)?1 2 16( n ? 1) ? ( ) 1 n ?1 Cn ?1 (n ? 1) 2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2
.



Cn?1 (n ? 1)2 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

又n ? 3时

.

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 14.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n? 3 k? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

12

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , n 1 2 4 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 故 2 n ?3 3 3? 2 2

15.(2009 江西卷理) (本小题满分 14 分) 各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

.

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 解: (1)由

1

?

? an ? ?.

a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 a1 ? an a2 ? an?1 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )

.

an ?

2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an ?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an ?1

.

故数列 {

1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

1 ? an 1 3n ? 1 ? n , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 3

13

可验证, an ?

3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

(2)

由 题 设

am ? an 的 值 仅 与 m ? n 有 关 , 记 为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )

.

考察函数 f ( x) ?

a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

.

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 ? 2 ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn ?1 ? g (a) 恒成立.
*
.

又 b2 n ?

2an ? g (a ) , (1 ? an )2
1 ,解上式得 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)
取? ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) ,即有 g (a)

1

?

? an ? ?. .

.

16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( 1 ? q)S 2n ? (1 ? q)T2 n ?
14

2dq(1 ? q 2n ) ,n? N* 1? q2

【解析】 (1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,
2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 (d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,

① ②

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) ③
③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q 3 ? ? ? q 2 n?1 ) ?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c 2 ? (a k1 ? al1 )b1 ? (a k 21 ? al2 )b2 ? ( a k n ? aln )bn
n?1 = (k1 ? l1 )db 1 ? (k 2 ? l 2 )db 1q ? ? ? (k n ? l n )db 1q

因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1

.

① 当 ki ? li 时, k i ? li ? ?1,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

15

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q(q ? 1) i ?2 所 以

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得 综上, c1 ? c2 17.(2009 湖北卷理)(本小题满分 13 分)
n ?1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

c1 ? c 2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

.

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 明。 解析: (I)在 S n ? ? an ? ( )

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证 2n ? 1 n 1 2
n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?

1 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

n?2

1 ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

.

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2
(II)由(I)得 cn ?

n . 2n

16

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1

由 2 ? 2 ?1 ? 1;22 ? 2 ? 2 ? 1;23 ? 2 ? 3 ? 1;24 ? 2 ? 4 ? 1;25 ? 2 ? 5;K

2 ? 2n ? 1. 证明如下: 可猜想当 n ? 3时,
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2k ?1 ? 2g 2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n?1 n 0 1 n?1 n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

18.(2009 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

17

又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? ( ? ) , bn ? …………………………………3 分 1 4 n 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ? ? ? 8? k ? ? 8? k ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16 ? 1 16k ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5
∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? …………………………………8 分
? ?

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n?1 ? b2 n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? ? ? ? ? 42n ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时,

18

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 3 48 2 1? 16
…………………………………14 分 19.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I) 由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? a 4 , 1? 2 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

a2 ? 3 a1 ? 2? 5 ,? b ? ? ? 1 a 2 2a 1 3

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4

? 数列 {

20.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ?? u2 ? u1 ? M ,
则称数列 {un } 为 B ? 数列. (Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断:

19

A 组:①数列 {xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {Sn } 是 B-数列,

②数列 {xn } 不是 B-数列; ④数列 {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论;
2 (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? ( ? )

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( ) n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
=

1 n? 3 ? 1 1 2 1 n -1 ? ? = 3 ? ?1 ? ( ) ? 3. ? ?1 ? ? ( )? ? ? ( ) ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ? ? ?
1 的等比数列是 B-数列 2
.

所以首项为 1,公比为 ?

(Ⅱ)命题 1:若数列 {xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 x n =1, n ? N ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {Sn } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ??? x2 ? x1

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 {xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N , 有
?

20

an?1 ? an ? an? a ?n 1 ? ??

a ? 2

1

a ?

.M

因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM .
2 故数列 an 是 B-数列.

? ?

21.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
1 2 1 2 ( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3 2
又 q ? 0 ,从而 q ? - 故 a1 ? 4 5分

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
22.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

10 分

1’ a2 ? 2, an+2= 已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

21

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n?2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? (? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
23.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 {xn } 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( )

1 2 6 5

n ?1



证(1)由 x1 ?

1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2 n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明:

22

(1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2 k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ?

(2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2 k ? x2 k ?2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1)?2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 22 2 n-1 xn ? xn ?1 ? ( ) xn ? 1? xn ? 2 ? ? ? ( ) x ? 2 x 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

1

24.(2009 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

23

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? ( ? ) , bn ? …………………………………3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ?1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? …………………………………8 分
?

5 得 (?4) n ? 1

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 cn ? b2 n?1 ? b2 n ? 2n ? ? ? ? ? 4 ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n
13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2
又 b1 ? 3, b2 ?
24

当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 3 48 2 1? 16
…………………………………14 分 25.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== 列{bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ? 两

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 2n
式 相
?1


1


n 1 n

an ?1 ? ? cn ?1 2

,由 得 an ? , (

( 时,

cn ( 2

1

? 1

?

) a

?
1

1a 2 ?

n

? ) b 1

,

? 即当 , cn

1 ? 2n ?n 又当n=1时, ( ?

n )

?2 n ? ? bn ? ? n ?1 ?2 n ?

)

于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ?? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4 n ?1

-4=

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6, 即Sn ? 2n? 2 ? 6 2 ?1

25

26.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 对于数列 ?un

? 若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ? ,恒有

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ... ? u2 ? u1 ? M
则称数列 ?un

? 为 B-数列

(1) 首项为 1,公比为 q( q ? 1) 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (2) 设 Sn 是数列 ?xn ? 的前 n 项和,给出下列两组论断; A 组:①数列 ?xn ? 是 B-数列 B 组:③数列 ?Sn ? 是 B-数列 ②数列 ?xn ? 不是 B-数列 ④数列 ?Sn ? 不是 B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件, 另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (3) 若数列 ?an ? ,?bn ? 都是 B ? 数列,证明:数列 ?anbn ? 也是 B ? 数列。 解(1)设满足题设的等比数列为 ?an ? ,则 an ? q n?1 ,于是

an ? an ?1 ? q n ?1 ? q n ?2 ? q

n?2

q ?1 , n ? 2
2 n ?1

因此| an ?1 - an |+| an - an ?1 |+…+| a 2 - a1 |= q ? 1 (1 ? q ? q ? ... ? q 因为 q ? 1, 所以 1 ? q ? q ? ... ? q
2 n ?1

).

1? q 1 ? ? ,即 1? q 1? q

n

an?1 ? an ? an ? an 1 ? ... ? a 2? a 1 ?

q ?1 1? q

故首项为 1,公比为 q ( q ? 1) 的等比数列是 B-数列。 (2)命题 1:若数列 ?xn ? 是 B-数列,则数列 ?Sn ? 是 B-数列 次命题为假命题。 事实上,设 xn ? 1, n ? N ? ,易知数列 ?xn ? 是 B-数列,但 Sn ? n

Sn?1 ? Sn ? Sn ? Sn?1 ? ... ? S2 ? S1 ? n
26

由 n 的任意性知,数列 ?Sn ? 是 B-数列此命题为。 命题 2:若数列 ?Sn ? 是 B-数列,则数列 ?xn ? 是 B-数列 此命题为真命题 事实上,因为数列 ?Sn ? 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? 1, 有

Sn?1 ? Sn ? Sn ? Sn?1 ? ... ? S2 ? S1 ? M
即 xn?1 ? xn ? ... ? x2 ? M 。于是

xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ? ... ? x2 ? x1 ? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? ... ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2M ? x1
所以数列 ?xn ? 是 B-数列。 (III)若数列 ?an ? { bn }是 B ? 数列,则存在正数 M1.M 2 ,对任意的 n ? N ? , 有

an?1 ? an ? an ? an? 1 ? .... ? a 2? a 1 ?M bn?1 ? bn ? bn ? an?1 ? .... ? b2 ? b1 ? M 2

1

注意到 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an? 1? an? 2? ... ? a ? a 2 a ? 1 a ? 1M ? 1
同理: bn ? M 2 ? b1 记 K2 ? M 2 ? b2 ,则有 K2 ? M 2 ? b2

1

an ?1bn ?1 ? an bn ? an ?1bn ?1 ? anbn ?1 ? anbn ?1 ? anbn

? bn?1 an?1?an ? an bn?1 ? bn ? K1 an?1 ? an ? k1 bn?1 ? bn
因此

K1 ( b b ? n ? 1? b n ? n

?n 1

b ? . . . . . .? a 2

a 1? )

k M 2 ? 1

1

k M 2

+ K1 ( bn ?1 ? bn ? bn ? bn ?1 ? ...... a2 ? a1 ) ? k 2 M 1 ? k1M 2 故数列 an bn 是 B ? 数列

?

?

27.(2009 天津卷理) (本小题满分 14 分)

27

已 知 等 差 数 列 { an } 的 公 差 为 d ( d ? 0 ) , 等 比 数 列 { bn } 的 公 比 为 q ( q>1 ) 。设

s n = a1b1 + a2b2 …..+ anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +…..+(-1 ) n ?1 anbn ,n ? N ?
(I) 若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值;

(II)

2dq(1 ? q 2 n ) ? 若 b1 =1,证明(1-q) S 2 n -(1+q) T2 n = ,n ? N ; 2 1? q
若正数 n 满足 2 ? n ? q,设 k1 , k2 ,..., kn和l1 , l2 ,..., ln是1 , 2,, ... n 的两个不同的排列,

(Ⅲ)

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明

c1 ? c2



本小题主要考查等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识, 考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ?1, bn ? 3n?1, n ? N * 所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? q n?1 则

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,
T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 , S 2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ... ? a2 n q 2 n ?1 )
① 式减去②式,得 ① 式加上②式,得





S2n ? T2n ?2 ( a1 ? a32q ?. . . .? a ? n 2
② 式两边同乘 q,得

2 n? 2 1

q

)



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

( 1? q ) S ?q T )n ? S ( ) ?q ( S T ) 2n ? ( 1 2 2n ? T 2n 2 n ? 2 n

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) ? 2dq(1 ? q 2 n ) , n ? N* 2 1? q

(Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

28

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ? 1) …, (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? qi ?2 (q ?1) 又 (ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1 , 所以

c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2 )

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

28.(2002 全国卷)设数列 {an } 满足: an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1,2,3,? (I)当 a1 ? 2 时,求 a 2 , a3 , a 4 并由此猜测 an 的一个通项公式; (II)当 a1 ? 3 时,证明对所的 n ? 1 ,有 (i) an ? n ? 2 ( ii )

2

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 2

解(I)由 a1 ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a1 ? 1 ? 3
29

2

由 a2 ? 3 ,得 a3 ? a2 ? 2a2 ? 1 ? 4 由 a3 ? 4 ,得 a4 ? a3 ? 3a3 ? 1 ? 5 由此猜想 an 的一个通项公式: an ? n ? 1 ( n ? 1 ) (II) (i)用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 1 ? 2 ,不等式成立. ②假设当 n ? k 时不等式成立,即 ak ? k ? 2 ,那么
2

2

ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? 2k ? 5 ? k ? 3 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (k ? 1) ? 2 据①和②,对于所有 n ? 1 ,有 an ? n ? 2 . (ii)由 an?1 ? an (an ? n) ? 1 及(i) ,对 k ? 2 ,有

ak ? ak ?1 (ak ?1 ? k ? 1) ? 1 ? ak ?1 (k ? 1 ? 2 ? k ? 1) ? 1 ? 2ak ?1 ? 1
……

ak ? 2k ?1 a1 ? 2k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2k ?1 (a1 ? 1) ? 1
于是

1 1 1 ? ? k ?1 , k ? 2 1 ? a k 1 ? a1 2

1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ?1 k ?1 1 ? a1 1 ? a1 k ?2 2 1 ? a1 k ?1 2 1 ? a1 1 ? 3 2 k ?1 1 ? a k

n

2 29(2012 安徽)数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【解析】 (I)必要条件 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列
2

充分条件

30

2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x12 ? 0

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列 4

31


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