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2.2.2直线方程的几种形式


2.2.2直线方程的几种形式
伽利略铁球的轨迹 伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家,科学革命的先驱! 历史上他首先在科 学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识,扩大、加深并改变了人类 对物质运动和宇宙的认识。为了证实和传播哥白尼的“日心说”,伽利略献出了毕生精力. 由此,他晚年受到教会迫害,并被终身监禁。他以系统的实验和观察推翻了以亚里 士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观,开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑 体系的近代科学. 因此,他被称为“ 近代科学之父”。他的工作,为牛顿的理论体系的建 立奠定了基础. 据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战,曾手拿一大一小两个铁球,站在高高的比 萨斜塔上,将一大一小两个铁球同时扔下,结果人们发现,两个铁球同时落地,于是亚 里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了. 一个铁球可以看作是一个质点,那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运 动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中,这样的点的集合被称为直线, 直线的位置既可以由两个点来惟一确定,也可以由一个点和一个方向来确定. 课程学习目标 [课程目标] 目标重点:各种直线方程的推导,点斜式是直线方程的重中之重;根据所给条件灵活选 取适当的形式和方法,熟练地求出直线的方程. 目标难点:清楚各种直线方程的局限性;把握求直线方程的灵活性;运用数形结合、分 类讨论等数学方法和特殊———一般———特殊的思维方式理解直线与二元一次方程 的对应关系. [学法关键] 1.直线是点的集合,求直线方程实际上是求直线上点的坐标 之间满足的一个等量关系; 2.求直线方程的过程中,既要说明直线上的点的坐标满足方 程, 也要说明以方程的解为坐标的点在直线上,只有满足了这 两点, 我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程 的直线; 3.通过二元一次方程与直线关系的认识和理解,培养数形结 合、 数形转化的能力, 能正确运用直线方程的各种形式解决问 题。 研习点1.直线的点斜式方程 1.点斜式方程 设直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线的方程为y-y0=k(x -x0), 由于此方程是由直线上一点P0(x0,y0)和斜率k所确定的直线 方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 注意:利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与 否. (1)当直线l的倾斜角α =90°时,斜率k不存在,不能用点 斜式方程表示,但这时直线l恰与y轴平行或重合,这时直线l上

每个点的横坐标都等于x0,所以此时的方程为x=x0. (2)当直线l的倾斜角α =0°时,k=0,此时直线l的方程为y=y0,即y-y0=0. (3)当直线l的倾斜角不为0°或90°时,可以直接代入方程求解. 2.斜截式方程:如果一条直线通过点(0,b)且斜率为k,则直线的点斜式方程为y=kx+ b 其中k为斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称直线的截距. 注意:利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. (1)并非所有直线在y轴上都有截距,当直线的斜率不存在时,如直线x=2在y轴上 就没有截距,即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距,从而得斜截式方程不能表示与 x轴垂直的直线的方程. (2)直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数,当k=0时,该函数为常量函数.x=b; 当k≠0时,该函数为一次函数,且当k>0时,函数单调递增,当k<0时,函数单调递减. (3)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联 系及其相互转化. 直线点斜式方程的理解
y ? y0 y ? y0 推出的,因此 ? k 表示的直线上缺少 x ? x0 x ? x0 一个点 P(x0,y0),y-y0=k(x-x0)才是整条直线; 2.经过点 P0(x0,y0)的直线有无数条,这无数条直线可以分为两类: ①斜率存在时,直线方程 y-y0=k(x-x0); ②斜率不存在时,直线方程为 x=x0. 3.直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式; 4.从函数的角度来看,当斜率 k 存在时,直线方程可以看作是函数解析式,当斜率 k 不存在时,直线方程为 x=x0,它不是函数解析式。

1.由于点斜式方程是由斜率公式 k ?

研习点2.直线的两点式方程 若直线l经过两点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2),则直线l的方程为 种形式的方程叫做直线的两点式方程. 两点式方程的理解: (1)当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两点式
y ? y1 x ? x1 表示它 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 ,这 ? y2 ? y1 x2 ? x1

的方程; (2)可以把两点式的方程化为整式(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1),就可以用它来求过 平面上任意两点的直线方程; 如过两点 A(1,2),B(1,3)的直线方程可以求得 x=1,过 两点 A(1,3),B(-2,3)的直线方程可以求得 y=3. y ? y1 x ? x1 (3) 需要特别注意整式(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1)与两点式方程 的区 ? y2 ? y1 x2 ? x1 别,前者对于任意的两点都适用,而后者则有条件的限制,两者并不相同,前者是后者 的拓展。 研习点 3.直线的截距式方程

若直线 l 在 x 轴上的截距是 a,在 y 轴上的截距是 b,且 a≠0,b≠0,则直线 l 的方程为 x y ? ? 1 ,这种形式的方程叫做直线的截距式方程。 a b 用截距式方程表示直线时,要注意以下几点: (1)方程的条件限制为 a≠0,b≠0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表 示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线; (2)用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度; (3)要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念,截距式中的截距可正、 可负,但不可为零。 截距式方程的应用 (1)与坐标轴围成的三角形的周长为:|a|+|b|+ a2 ? b2 ; 1 (2)直线与坐标轴围成的三角形面积为:S= | ab | ; 2 (3)直线在两坐标轴上的截距相等,则 k=-1 或直线过原点,常设此方程为 x+y=a 或 y=kx.

研习点4.直线方程的一般形式 方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)叫做直线的一般式方程.

直线的一般式方程的理解 1.两个独立的条件可求直线方程: 求直线方程,表面上需求 A、B、C 三个系数,由于 A、B 不同时为零, B C B C 若 A≠0,则方程化为 x ? y ? ? 0 ,只需确定 , 的值; A A A A 若 B≠0,同理只需确定两个数值即可; 因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程; 2.直线方程的其他形式都可以化成一般式,解题时,如果没有特殊说明应把最后结果 化为一般式,一般式也可以化为其他形式。 3.在一般式 Ax+By+C=0(A、B 不全为零)中, C 若 A=0,则 y= ? ,它表示一条与 y 轴垂直的直线; B C 若 B=0,则 x ? ? ,它表示一条与 x 轴垂直的直线. A 研习点5.直线方程的选择 (1)待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法,但要注意选择形式,一般地 已知一点,可以待定斜率k,但要注意讨论斜率k不存在的情形,如果已知斜率可以选择 斜截式待定截距等; (2)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,解题过程中要能够根据不同的题 设条件,灵活选用恰当的直线形式求直线方程。请参看下表:

直线形式 点斜式

直线方程

局限性 不能表示与 x 轴垂直 的直线

斜截式

两点式 截距式

一般式

选择条件 已知一个定点和斜率 k 已知一点,可设点斜式 方程 不能表示与 x 轴垂直 已知在 y 轴上的截距 的直线 已知斜率,可设斜截式 方程 已知两个定点 不能表示与 x 轴、y 轴垂直的直线 已知两个截距 不能表示与x轴垂 已知两个截距 直、与y 轴垂直、过 已知直线与坐标轴围成 原点的的直线 三角形的面积问题可设 截距式方程 能表示所有的直线 求直线方程的最后结果 均可以化为一般式方程

题型1.直线的点斜式方程 例1.一条直线经过点M(-2,-3),倾斜角α =135°,求这条直线的方程。 解:这条直线经过点M(-2,-3),斜率是k=tanα =-1 代入点斜式方程得:y+3=-1×(x+2),即x+y+5=0,这就是所求直线的方程.
3 ,且分别满足下列条件的直线方程: 3 (1)经过点M( 3 ,-1);(2)在x轴上的截距是-5.

例2.求斜率为

解:(1)所求直线经过点( 3 ,-1),斜率为 即 3 x-3y-6=0. (2)所求直线的斜率是 为y=

3 3 ,所求直线方程为 y ? 1 ? ( x ? 3) , 3 3

3 ,在x 轴上的截距为-5,即过点(-5,0),所求直线的方程 3

3 (x+5),即 3x ? 3 y ? 5 3 ? 0 . 3

题型2.直线的斜截式方程 例3.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A、B、C需满足条件( ) (A)A、B、C同号 (B)AC<0,BC<0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0 A C 解:原方程可化为 y ? ? x ? ,因为直线通过第二、三、四象限,所以其斜率小于0, B B A C y轴上的截距小于0,即 ? 0 ,且 ? 0 ,即A、B同号,A、C同号,故选A. B B 例4.直线y=ax+b (a+b=0)的图象是( )

解:由已知,直线y=ax+b的斜率为a,在y轴上的截距为b. 当x=1时,y=a+b=0,即直线经过点(1,0),选D. 例5.写出过下列两点的直线方程,再化成斜截式方程. (1)P1(2,1),P2(0,-3);(2)P1(2,0),P2(0,3)。 y ?1 x ? 2 ? 解:(1)直线P1P2的两点式方程为: ,整理得斜截式方程为:y=2x-3. ?3 ? 1 0 ? 2 3 y?0 x?2 ? (2)直线P1P2的两点式方程为: ,整理得斜截式方程为:y=- x+3。 2 3?0 0? 2 例6. 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在的直线 方程. 解:(用两点式求AB所在直线的方程) y x?5 ? 直线AB经过点A(-5,0)、B(3,-3),由两点式得 ,整理得3x+8y+15=0, ?3 3 ? 5 这就是直线AB的方程! (用斜截式求BC所在直线方程) 2?3 5 5 ? ? ,截距b=2,由斜截式得y=- x+2, 因为B(3,-3)、C(0,2),所以 k BC ? ?3 3 3 整理得5x+3y-6=0,这就是直线BC的方程. (用截距式求AC所在直线的方程) 因为A(-5,0)、C(0,2),所以直线在x,一轴上的截距分别是-5与2,有截距式得 x y ? ? 1 ,整理得2x-5y+10=0,这就是直线AC的方程。 ?5 2 题型4.直线的截距式方程 1 例7.已知直线的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求该直线的方程。 6 b 1 1 x y 解:设直线方程为 ? ? 1 , 因为直线斜率 k ? ? ? ,又 S ? | ab |? 3 , a 6 2 a b ?a ? ?6 ? a ? 6 解得 ? 或? , 所求直线方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0。 ? b ?1 ?b ? ?1 例8.过点A(1,4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解:(1)当直线经过原点时,横截距和纵截距都为0,符合题意; )

?1 4 x y ? ? ?1 (2)当直线不经过原点时,设直线方程为: ? ? 1 ,由题意 ? a b , a b ? ? | a |?| b | ?a ? ?3 ?a ? 5 解得 ? 或? , 综合(1)、(2),符合题意的直线共有三条. 故选C. ? b?3 ?b ? 5
题型5.直线的一般式方程
4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3 4 4 解:经过点A(6,-4),并且斜率等于- 的直线方程的点斜式是:y+4=- (x-6),化 3 3 成一般式得:4x+3y-12=0.

例9.已知直线经过点A(6,-4),斜率为-

例10. 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式, 求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距, 并画图. 1 1 解:将原方程整理,得斜截式y= x+3,令y=0,可得x=-6,因此,直线l的斜率k= , 2 2 它在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距是3.

【教考动向· 演练】 1.下列说法中不正确的是( D ) (A)点斜式y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的任何直线 (B)斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任何直线 y ? y1 x ? x1 (C)两点式 适用于不垂直于坐标轴的任何直线 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y (D)截距式 ? ? 1 适用于不过原点的任何直线 a b 2.直线3x-2y=4的截距式方程为( D ) 3x y 3x y x y x y ?1 (A) ? ? 1 (B) ? ? 1 (C ) ? (D) ? ?1 1 1 4 4 2 4 ?2 ?2 3 2 3 3.过点(3,-4)且平行于x轴的直线方程是 y+4=0 ;过点(5,- 2)且平行于y轴的直线方程是 x-5=0 。 4.过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点,若P为AB的中点,求直线的方程. (3x+y-6=0) 5.已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0),求: (1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程; (2)BC边的中线的一般式方程,并化为截距式方程. (1)6x-8y-13=0; (2)7x-y-11=0 例11.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1), Q2(a2,b2)的直线方程. 解:P(2,3)在已知直线上,

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 b ?b 2 所以 ? ,两式相减得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即 2 1 ? ? = kQ1Q2 , a2 ? a1 3 ? 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0 2 故所求直线方程为y-b1=- (x-a1),即2x+3y-3b1-2a1=0, 3 而2a1+3b1=-1,所求直线方程为2x+3y+1=0. 解法二:P(2,3)在已知直线上, ? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 所以 ? , ? 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0

可见两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的坐标都满足方程2x+3y+1=0, 所以过Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)两点的直线方程是2x+3y+1=0. 例12.过点P(1,2)作直线l,交x,y轴的正半轴于A、B两点,求使△OAB面积取得最小 值时直线l的方程. x y 解:设直线l的截距式方程为: ? ? 1 ,依题意a>0,b>0,又因为点P(1,2)在直线l上, a b 1 2 所以 ? ? 1,即b+2a=ab, a b 1 又因为△OAB的面积S= ab. 2 1 1 2 1 b 4a 1 所以 S= (b+2a)= (b ? 2a )( ? ) ? (2 ? 2 ? ? ) 2 2 a b 2 a b 1 ≥ (4 ? 4) =4, 2 b 4a 当且仅当 ? 时等号成立. 即b=2a时等号成立。 a b ? b ? 2a ?a ? 2 ? 由 ?1 2 ,解得 ? , b ? 4 ? ? 1 ? ? ?a b 所以当且仅当a=2且b=4时,△OAB的面积S取最小值4. x y 此时,直线的方程为 ? ? 1 ,即2x+y-4=0. 2 4 【教考动向· 演练】 6.如果AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( C ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 7.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6,则l的方程是 ( A ) (A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0 (C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0 2 2 8.若直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是( D ) 1 1 (A)1 (B)2 (C)- (D)2或- 2 2 2 2 9.已知直线l:Ax+By+C=0(A +B ≠0),点P(x0,y0)在l上,则l的方程可化为( D )

(A)A(x+x0)+B(y+y0)+C=0 (B)A(x+x0)+B(y+y0)=0 (C)A(x-x0)+B(y-y0)+C=0 (D)A(x-x0)+B(y-y0)=0 10.经过点(-3,-2),在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2x-3y=0,x+y+5=0 11.若点(a,12)在过点(1,3)及点(5,7)的直线上,则a= 10 . 2 2 12.(1)已知直线l:(2m +m-3)x+(m -m)y-4m+1=0,求m的取值范围# (2)如果ab>0,bc<0,那么直线ax-by-c必经过第几象限? (1)m∈R且m≠1;(2)第一、三、四象限

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