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【高考数学】排列组合与二项式定理典型例题整合


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
十、排列、组合和二项式定理
1.排列数 A
m n 中 m 中 n ? m, n ? 1, m ? 0, n、m ? N . n ? m ? 1, n、m ? N 、组合数 Cn

(1)排列数公式
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)

(n ? m ? 1) ?

n! n (m ? n) ; An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m)!

2 ?1 。如(1)1!+2!+3!+?
(答:8)

+n! ( n ? 4, n ? N * )的个位数字为 (2)组合数公式
m n

(答:3) ; (2)满足 A8x ? 6 A8x ?2 的 x =

m An n ? (n ? 1) ? ? (n ? m ? 1) n! 0 m n m C ? m ? ? ( m ? n) ; ! ? 1 ,Cn 规定 0 ? 1 .如已知 Cn ? Cm ?1 ? A n ? 6, Am m ? (m ? 1) ? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!

求 n,m 的值(答:m=n=2)
m m m?1 m n?m k k ?1 (3) 排 列 数 、 组 合 数 的 性 质 : ① Cn ; ② Cn ? Cn?1 ? Cn?1 ; ③ kCn ; ? Cn ? nCn ?1
r ?1 ④ Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ;⑤ n ? n ! ? (n ? 1)!? n !;⑥ ? Cnr? 1

n 1 1 ? ? . (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

2.解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次 得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一 步都不能独立地完成这件事, 只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事, 各步是关联的) , 有序排列, 无序组合. 如 (1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种(答: 3 ) ; (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意 种(答:70) ; (3)从集合 ?1, 2,3? 和
5

取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有

; (4)72 的正 ?1,4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___(答:23) 约数(包括 1 和 72)共有 个(答:12) ; (5)? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共 10 个点,以这些点为顶点,可以构成_____个三角形(答:90) ; (6)用六种不同颜色把右图中 A、B、 C、D 四块区域分开,允许同一颜色涂不同区域,但相邻区域不能是同一种颜色,则 共 有 种不同涂法(答:480) ; (7)同室 4 人各写 1 张贺年卡,然后每人从中拿 1 张 A 别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有 种(答:9) ; (8) f 是 集 合 M ? ?a, b, c? 到集合 N ? ??1,0,1 ? 的映射,且 f (a) ? f (b) C B 集

? f (c) ,则不同的映射共有

个(答:7) ; (9)满足 A ? B ? C ? {1,2,3,4} 的

4 D 合 A、B、C 共有 组(答: 7 ) 3.解排列组合问题的方法有: (1)特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置 优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。如(1)某单位准备用不同花色的装饰石材分别装 饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有_____种(答:300) ; (2)某银行储蓄卡的密 码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如 2816)的方法设计密码,当 积为一位数时,十位上数字选 0. 千位、百位上都能取 0. 这样设计出来的密码共有_______种(答:100) ; (3) 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数_______个(答:156) ; (4)某班上午要上语、 数、外和体育 4 门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不同排课方案种数为_____(答:6) ; (5)四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种;②甲球 只能放入第 2 或 3 号盒,而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_________种(答:84;96) ; (6)设有编号为 1、 2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和 茶杯的编号相同的盖法有_________种(答:31) (2)间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉))。如在平面直角坐 标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的个数为_____(答:15) 。 (3)相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排 列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列) 。如(1)把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要排在 一起,不同的排法种数为_____(答:2880) ; (2)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的 情况的不同种数为_____(答:20) ; (3)把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人, 每人至少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是_____(答:144) (4)不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排

好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间) 。如(1)3 人坐在一排八个 座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种(答:24) ; (2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为 _____(答:42) 。 (5)多排问题单排法。如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x,这 2 n 个学生排成前后两排,每排各 n 个学 生的排法数为 y,则 x,y 的大小关系为_____(答:相等) ; (6)多元问题分类法。如(1)某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料,现有 5 种原料可用,但甲、 乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______ 种(答:15) ; (2)某公司新招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给 一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分配方案有______种(答:36) ; (3)9 名翻译 中, 6 个懂英语, 4 个懂日语, 从中选拨 5 人参加外事活动, 要求其中 3 人担任英语翻译, 选拨的方法有____________ 种(答:90) ; (7)有序问题组合法。如(1)书架上有 3 本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不便,再放上 2 本不同 的书,有 种不同的放法(答:20) ; (2)百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛,每个运动员的速 度都不同,则运动员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_____种(答:360) ; (3)学号为 1,2,3,4 的四 名学生的考试成绩 xi ?{89,90,91,92,93}(i ? 1, 2,3, 4) 且满足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则这四位同学考试成绩的所有 可能情况有_____种(答:15) ; (4)设集合 A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,对任意 x ? A ,有 f (1) ? f (2) ? f (3) ,则 则称这样的三位数为凸数 (如 120、 363、 374 等) , 那么所有凸数个数为_____ (答: 240) ; (6) 离心率等于 log p q (其 中 1 ? p ? 9,1 ? q ? 9 且 p, q ? N * )的不同形状的的双曲线的个数为_____(答:26) 。 (8)选取问题先选后排法。如某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出 一只测试, 直到 4 只次品全测出为止, 则最后一只次品恰好在第五次测试时, 被发现的不同情况种数是_____ (答: 576) 。 (9) 至多至少问题间接法。 如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人, 至少有 2 名女同学当选的选法有_______ 种(答:596) (10)相同元素分组可采用隔板法。如(1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发? 每人至少两个呢?(答:36;15) ; (2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84) 4、分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n! 。如 4 名医生和 6 名 护士组成一个医疗小组, 若把他们分配到 4 所学校去为学生体检, 每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同 选派方法有_______种(答:37440) ;
n 0 n 1 n ?1 5.二项式定理: (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b ,其中组合数 Cn 叫做第 r+1 项的二项

3 5 映射 f : A ? A 的个数是_____(答:C8 ; (5)如果一个三位正整数形如“ a1 a2 a3 ”满足 a1 ? a2且a3 ? a2 , 8 )

r

r n ?r r 式系数;展开式共有 n+1 项,其中第 r+l 项 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1, 2,

, n) 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒: (1)项的系数与二项式系
数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系数。如在 (ax ? b)n 的展开式中,
r r n ?r r 第r+1项的二项式系数为 Cn , 第r+1项的系数为 Cn 而 ( x ? ) 的展开式中的系数就是二项式系数; a b ;
n

1 x

(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是 第几项?求的是系数还是二项式系数? 如( 1 ) (2 x ?
3

4 1 ( ?)x 3 1 ( ? ? ) x? 1 ( ? ? )

1 x0

1 7 ) 的展开式中常数项是 ____ (答: 14 ) ; (2) x 100 3 的展开式中的 x 的系数为______ (答:330) ; (3)数 11 ? 1 的末尾
3 4 5 6

连续出现零的个数是____(答:3) ;(4) ( 7 x ? 3 2)40 展开后所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项共有____ 项(答:7) ;(5)若 1 ? 6 x ? 15x ? 20 x ? 15x ? 6 x ? x ( x ? N且x ? 21) 的值能被 5 整除,则 x 的可取值的个
2

数有____个(答:5) ;(6)若 xy ? 0, 且x ? y ? 1, 二项式 ( x ? y) 按 x 降幂展开后,其第二项不大于第三项,则 x
9

(1, ??) ) 的取值范围是 (答: ; (7)函数 f ( x) ? (1 ? sin x) ? (1 ? sin x) 的最大值是_______ (答: 1024) . 6、二项式系数的性质:
10 10

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn
m

n?m



(2)增减性与最大值:当 r ?

n ?1 n ?1 r r 时,二项式系数 C n 的值逐渐增大,当 r ? 时,C n 的值逐渐减小,且 2 2

n 在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项(第 +1 项)的二项式系数 C n2 取得最大值。当 n 为奇数时,中 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 间两项(第 和 +1 项)的二项式系数 Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取最大值。如(1)在二项式 ( x ?1)11 的 2 2 展开式中,系数最小的项的系数为______(答:-426) ; (2)在 (1 ? x) n 的展开式中,第十项是二项式系数最大 的项,则 n =____(答:17,18 或 19) 。 n n 0 1 r 0 2 1 3 (3)二项式系数的和: Cn ? Cn ? ? Cn ? ? Cn ? 2 ; Cn ? Cn ???? ? Cn ? Cn ?
1 2 ??? ? 2n ?1 。如(1)如果 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? 0 1 2 (2)化简 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? n 0 1 2 ? 2n Cn ? 2187,则 Cn ? Cn ? Cn ? n ? Cn ?

n

(答:128) ;

n (答: (n ? 2) ? 2n?1 ) ? (n ?1)Cn

7 、赋值法 :应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 f (1) 、 “奇数 ( 偶次 ) 项”系数和为

1 1 [ f (1) ? f ( ?1)] , 以 及 “ 偶 数 ( 奇 次 ) 项 ” 系 数 和 为 [ f (1) ? f (?1)] 。 如 ( 1 ) 已 知 2 2 9 2 9 | a2| ? ? | a9等 | 于 _____ ( 答 : 49 );( 2 ) (1 ? x 3 )? a ?a ?9 , a 则 x a0 ? a1 ? 0 1 x ? 2a x ?

(1 ?2 x ) 2004 ? a 0 ? a1x ? a 2x 2 ?

? a 2004x 2004 ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) +
3n ? 1 ) 。 2

? (a0 ? a2004 ) = _____ ( 答 : 2004 );( 3 ) 设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n , 则 a0 ? a2 ? ? ? a2n ? _____(答:

8、系数最大项的求法:设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ?

? Ar ? Ar ?1 13 x )10 的展 确定 r 。如求 ( x ? 2 ? Ar ? Ar ?1
9 2

105 13 x3 ) 开式中, 系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 (答: 系数绝对值最大的项为 ?15 x , 系数最大的项为 8
9、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进 行放缩证明不等式。如(1)(0.998)5 精确到 0.001 近似值为________(答:0.990) ; (2)1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 被 4 45 除 所 得 的 余 数 为 _____ ( 答 : 0 ) ; ( 3 ) 今 天 是 星期 一 , 100 天 后 是 星 期 _____ ( 答 : 二 ) ; (4)求证:
2 99

(5)求证: 3n ? (n ? 2)2 n?1 (n ? N * , 且n ? 2) 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除;


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