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1.2充分条件与必要条件以及充要条件


数学选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》

高二数学备课组

§ 1.2.1-1.2.2 充分条件与必要条件以及充要条件导学案
年级:高二 学科:数学 执笔:张倩 审核:鲍利人 班级: 学习目标 1. 理解必要条件和充分条件与充要条件的意义. 2. 理解充要条件,并能判别充分性和必要性. 重点:充分条件与必要条件. 难点:必要条件概念的理解. 学习过程 一、知识链接:四种命题及判断它们的真假性. 姓名:_____

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:充分条件和必要条件的概念 问题: 1. 命题“若 x ? a 2 ? b2 ,则 x ? 2 ab ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 q: P: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 2.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 q: P: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 新知:一般地, “若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q .我们就说,由 p 推出 q ,记作 p ? q 并且说 p 是 q 的 ,q是 p 的 试试:用符号“ ? ”与“ ”填空: 2 2 (1) x ? y x? y; (2) 内错角相等 两直线平行; (3) 整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为偶数; a?b. (4) ac ? bc 三、典型例题 例 1.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ; (2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x2 为无理数.

练习:下列“若 p ,则 q ”的形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5 ,则 x ? 10

数学选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》 例 2.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; (3)若 a ? b ,则 ac ? bc

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练习:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2)若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a .

探究任务二:充要条件 一般地,如果既有 p ? q, 又有 q ? p ,就记作 p ? q ,此时,我们说,p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件.

例 3.下列各题中,哪些命题 p 是 q 的充要条件? (1)p:b=0 (2)p:x>0,y>0 (3)p:a>b, q:函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; q:xy>0; q:a+c>b+c.

例 4.已知:圆 o 的半径为 r ,圆心 o 到直线 l 的距离为 d .求证: d ? r 是直线 l 与圆 o 相切的充要条件.

例 5 三棱锥 O ? ABC 中,G 为 ?ABC 的重心的充要条件是:

3OG ? OA ? OB ? OC

【课堂小结】 ________________________________________________________________________________________

数学选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》 充分条件与必要条件及充要条件作业 姓名______班级_____ 一、选择题 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件?( A .平行四边形对角线相等 B .四边形两组对边相等 C .四边形的对角线互相平分 D .四边形的对角线垂直 2. x, y ? R ,下列各式中哪个是“ xy ? 0 ”的必要条件?( ).

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).
3

B .x ? y ?0 C .x? y?0 p 是 q 的充分条件的是( 3.下列命题中, ) A . p : a ? 0, q : ab ? 0 A.x? y?0
2 2

D . x ? y3 ? 0

B. p : a 2 ? b 2 ? 0, q : a ? 0且b ? 0 C. p : x 2 ? 1, q : x ? 1

D. p : a ? b, q : a ? b 4. “ a ? 0”是 a >0”的(



A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件 ? ? ? ? ? ? ? ? 5. a与b 为非零向量,“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a) 为一次函数”的( A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件
二、填空题 6. 设 A, B 为两个集合,集合 A ? B ,那么 x ? A 是 x ? B 的 7. p : x ? 2 ? 0 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p 是 q 的 8. p :两个三角形相似; q :两个三角形全等, p 是 q 的 9.已知如下三个命题中: 条件, x ? B 是 x ? A 的 条件. 条件.



条件.

(1)已知 ? 、 ? 是两个不同的平面, m 为 ? 内一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要条件; (2)对于实数 a, b, c, " a ? b"是ac ? bc 的充分不必要条件;
2 2

(3)直线 l1 : ax ? y ? 3, l2 : x ? by ? c ? 0 ,则 ab ? 1 是 l1 ∥ l 2 的必要不充分条件。 正确的结论是 .

10.“a=1”是函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ?1,??? 上为增函数的

条件.

数学选修 2-1 第一章《常用逻辑用语》 三、解答题

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2 2 11. 已知 M ? {x ( x ? a ) ? 1} , N ? {x x ? 5 x ? 24 ? 0} ,若 M 是 N 的充分不必要条件,求 a 的取值范

围.

2 12.已知集合 A ? x ? 2 ? x ? a , B ? y y ? 2x ? 3, x ? A , C ? z z ? x , x ? A .

?

?

?

?

?

?

求 C ? B 的充要条件.


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