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江苏省响水中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


江苏省响水中学 2015 年秋学期高一年级期中考试 数 学 试 卷
说明: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A ? B= ▲ .

2. 已知 a 是实数,若集合{ x | ax ? 1 }是任何集合的子集,则 a 的值是 3. 4
? 1 2





? 50 ? log36 6 ?



. ▲ 象限.

4. 若角 ? ? ?4 ,则角 ? 的终边在第

5. 已知幂函数 ...y ? f ( x) 的图象过点 ( ,8) ,则 f (?2) ? 6. 函数 的定义域为 ▲ .

1 2





7.函数 y=3+logax, (a>0 且 a≠1)必过定点
0.8



. ▲ .

8.设 a ? log 0.6 0.8 , b ? log1.2 0.9 , c ? 1.1 ,则 a、b、c 由小到大 的顺序是 .... 9.已知定义域为的函数 f(x)=2+logax(a>0,a≠1)的图象过点(2,3) , 若 g(x)=f(x)+f(x ) ,则函数 g(x)的值域为 10. 已知 f ( x) ? 3kx ?
3
2



. ▲ .

2 1 ? 2(k ? R), f (lg 7) ? 1, 则f (lg ) = x 7

11.设方程 2 ? x ? 4 的根为 x 0 ,若 x0 ? ? k ?
x

? ?

1 1? , k ? ? ,则整数 k = 2 2?





12.若 2 =5 =10,则

a

b

=





13.若函数 f ( x) 为偶函数,且在 ?0,?? ? 上是减函数,又 f (4) ? 0 ,则 集 ▲ .

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 3x

? cx ? 1( 0 ? x ? c ) ? 2 14.已知函数 f (x) ? ? ? x 满足 f(c )= .则 f ( x) 的值域为 c2 ? ? 2 ? 1(c ? x ? 1)





二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分 14 分) 已知集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 1, a ? 0?

?

?

1 时,求 A ? B ; 2 (2)当 A ? B 时,求 a 的取值范围.
(1)当 a ? ?

16.(本题满分 14 分) 已知扇形的周长为 16cm,圆心角为 2rad,求该扇形的面积.

17.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? ? 2x ? x ? R? ,且 f ? 0? ? 1, (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)当 x ?? ?1,1? 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的值域.

18.(本题满分 16 分) 用一根细铁丝围一个面积为 4 的矩形, (1)试将所用铁丝的长度 y 表示为矩形的某条边长 x 的函数; (2)① 求证:函数 f ( x) ? x ?

4 在 (0,2] 上是减函数,在 [2,??) 上是增函数; x

② 题(1)中矩形的边长 x 多大时,细铁丝的长度最短?

19.(本题满分 16 分)

1 ? x) ? a ln(1 ? x)(a ? R) 的图象关于原点对称. 已知函数 f ( x) ? ln(
(1)求定义域; (2)求 a 的值; (3)若 e
f (x)

?

1? m ? 0 有解,求 m 的取值范围. 2?m

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R ) , (1)解不等式 f ( x) ? f (2 x) ? 16 ? 9 ? 2 ;
x

(2)若函数 q( x) ? f ( x) ? f (2 x) ? m 在 [ ?1,1] 上有零点,求 m 的取值范围; (3) 若 函 数 f ( x) ? g ( x) ? h( x), 其 中 g ( x) 为 奇 函 数 , h( x) 为 偶 函 数 , 若 不 等 式

2ag ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? ?1,2? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

江苏省响水中学 2015 年秋学期高一年级阶段性考试 数学参考答案 一、填空题 1.{2} 9. 2. 0 3. 24.二 5. ? 10.-5

1 .6.(0,1] 7.(1,3) 8. b ? a ? c 8
11. 1 12. 1 13. ?? 4,0 ? ? ?4,?? ? 14.(1, ].

二、解答题

1 时, B ? (??, ?2] ,所以 A ? B ? {?2} ; ……………7 分 2 1 1 (2)因为 A ? B , a ? 0 时, B ? {x | x ? , a ? R} ,所以 ? ?1 ,解得 a ? ?1 , a a
15.解:(1)当 a ? ? 所以 a 的取值范围是 (??, ?1] . ………14 分

16..解 设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有

?2r ? l ? 16 , ? ? l ? 2r
?r ? 4 , ? ?l ? 8



...................................................................

..........10 分















S?

1 lr ? 16 ( cm 2 ).......................................................... 2

........14 分

17.解

(1) f ( x) ? x 2 ? x ? 1.......... .......... .......... ......... 7分 3 5 (2) g ( x) ? ( x ? ) 2 ? , x ? ?? 1,1?, 2 4 g ( x) ? ?? 1,5?.......... .......... .......... .......... ......... 14分

18.解 (1)由题,矩形的一边长为 x ,面积为 4,则矩形有一边长应为 因此所用细铁丝的长度为 2( x ? 即 y =2( x ?

4 . x

……………1 分

4 ) , x

………………………………………3 分 ………………………………………4 分 ………………………………………5 分

4 ) , x ? 0. x

(2)①任取 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2[(x1 ?

4 4 4 4 ) ? ( x2 ? )] ? 2[(x1 ? x2 ) ? ( ? )] x1 x2 x1 x2
…………………8 分

? 2[(x1 ? x2 ) ?

4( x2 ? x1 ) 4 ) ] ? 2( x1 ? x 2 )(1 ? x1 x 2 x1 x2

因为 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 4 ,即 1 ?

4 ? 0, x1 x 2

因此 ( x1 ? x 2 )(1 ?

4 ) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , x1 x2

4 在 (0,2] 上是减函数. …………………10 分 x 4 同理可证函数 f ( x) ? x ? 在 (0,2] 上是 [2,??) 上是增函数.…………………12 分 x 4 ②由①可知当 x ? 2 时,函数 f ( x) ? x ? 在 (0,??) 上有最小值 4. x
所以函数 f ( x) ? x ? 所以,当矩形的边长都为 2 时,细铁丝的长度最小.………………………………16 分

19.(1) (-1,1) ………………3 分 (2) a ? ?1 ………………8 分

(3) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln 由题意: e f ( x ) ?

1? m ? 0, 在 x ? (?1,1) 上有解, 2?m 1? x 1? m ? , 即: 1? x 2 ? m 2 1 2 1 ? x ? ? m ? ? (?1,1), ?1 ? ? m ? ? 1,? ?2 ? m ? 1, 3 3 3 3
? m ? ?? 2,1?…………………………………………16 分

1? x 1? x

2 2 20.解: (1)设 t ? 2 ,由 f ( x) ? 16 ? 9 ? 2 得: t ? t ? 16 ? 9t ,即 t ? 10t ? 16 ? 0 .……
x

x

7分

? 2 ? t ? 8 ,即 2 ? 2 x ? 8 ,?1 ? x ? 3
∴不等式的解集为 (1,3) . (2)设 t ? 2 ,? x ? ?? 1,1?, ? t ? ? ,2? 2
x

……………………………4 分

?1 ? ? ?

1 1 f ( x) ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 1 1 t ? 时, f ( x) max ? , t ? 2时, f ( x) min ? ?2 . 2 4
1? ? f ( x) 的值域为 ? . ?? 2, ? ? 4?
函 数 有 零 点 等 价 于 方 程 有 解 等 价 于 m 在 f ( x) 的 值 域 内 , ∴ m 的 取 值 范 围 为
1? ? ? 2, ? . ? 4? ?

……………10 分

? 2 x ? 2? x g ( x ) ? ? ? f ( x ) ? g ( x ) ? h( x ) ? 2 ? 2 (3)由题意得 ? 解得 ? x ?x 2 ? 2? x ? f ( ? x ) ? g ( ? x ) ? h( ? x ) ? 2 ? h( x ) ? ? 2 ?
x

2ag ( x) ? h(2 x) ? 0 即 (2 x ? 2 ? x )a ?

2 2 x ? 2 ?2 x ? 0 对任意 x ? ?1,2? 恒成立,又 x ? ?1,2? 时,令 2


? 3 15? t ? 2 x ? 2? x , t ? ? , ? ?2 4 ?

a??

2 2 x ? 2 ?2 x (2 x ? 2 ? x ) 2 ? 2 1 2 ? ? ? ? (t ? ), x ?x x ?x 2(2 ? 2 ) 2(2 ? 2 ) 2 t

2 3 1 2 17 ? 3 15? t ? 在t ? ? , ?上单调递增,当 t ? 时, ? (t ? )有最大值 ? ,所以 t 2 2 t 12 ?2 4 ?
a?? 17 12

……………16 分


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