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抽象函数几类问题的解题方法与技巧1


抽象函数问题的一般解法
皖滁州市定远县第二中学 罗彩荣 不给出函数具体的解析式,只给出在定义域内满足的一些性质和运算法则 (如函数的单调性、奇偶性,解析式的关系等) ,我们将这类函数称为抽象函数。 “形散而神不散” ,这句话用在抽象函数身上一点也不为过,下面对抽象函数的 解析式、奇偶性、单调性,周期和对称轴四个方面进行浅析。 一、求解析式的一般方法 1、换元法 例 1:已知 f(x+1)=x2-2x 求 f(x) 解:令 t=x+1 则 x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3 2 ∴f(x)=x -4x-3 换元法是解决抽象函数问题的基本方法, 换元法包括显性换元法和隐性换元 法。 2、方程组法 例 2:若函数 f(x)满足 f(x)+2f( 解:令 x= f(x)+2f(
1 1 x

)=3x,求 f(x)

则 f( )=3x
1 x

1 x

)+2f(x)=

3 x 2 x

x 1 x

=>f(x)=

-x

2f(x)+f( ∴f(x)=
2 x

)=

3 x

-x

3、待定系数法 例 3:如果 f[f(x)]=2x-1 则一次函数 f(x)=______ 解:f(x)是一次函数∴不妨设 f(x)=ax+b(a≠0) 则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知 f[f(x)]=2x-1
?a 2 ? ? ? ∴? ?b ? 1 ? ? 2 ?a ? 2 ? 或? 2 ?b ? 1 ? ?

∴f(x)=- 2 x+1+ 2 或 f(x)=
2

2

x+1- 2

如果抽象函数的类型是确定的, 则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问 题。 二、判断奇偶性的一般方法 例 4 定义在(-1、1)上的函数 f(x)满足。 (1)对任意 x、y∈ (-1、1) 都有 f(x)+f(y)=f( (2)当 x∈ (-1、0) 时,有 f(x)>0 求证(I)f(x)是奇函数,(II)f(
1 11 )? f( 1 19 ) ? ?? ? f ( 1 )? f( ) 3 n ? 5n ? 5
2

x? y 1 ? xy

)

1

1

证明: (1)令 x=y=0,则 2f(0)=f(0) ∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(y)=f(x)+f(-x) =f(
x? x 1 ? x(? x)

)=f(0)=0

∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 例 5 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) , 对 任 意 x,y 属 于 R, 有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 f(0)≠0 (1)求证 f(0)=1 (2)求证 y=f(x)是偶函数 证明: (1)令 x=y=0 ∴f(0)+f(0)=2×f(0)2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 x=0 则 f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y) f(y)+f(-y)=2f(y) =>f(-y)=f(y) =>y=f(x)是偶函数 在奇偶性的求解中,常用方法是赋值法和模型法,这里重点讲解赋值法,赋 值法中常见的赋值有-1、0、1,在解题中要注意应用。 三、单调性的求解方法 例 6: 定义域为 R 的函数 f(x)满足: 对于任意的实数 x、 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) y 成立,且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立。 (1)判断函数 f(x)的奇偶性。 (2)证明:f(x)为减函数,若函数 f(x)在[-3、3]上总有 f(x)≤6 成立,试 确定 f(x)应满足的条件。 (3)解关于 x 的不等式 数 a<0) 解: (1)f(x)为奇函数 证明如下 令 x=0、y=0 则 f(0+0)=f(0)+f(0) => f(0)=0
1 n

f(ax2)-f(x)>

1 n

(a2x)-f(a)(n 是一个给定的自然

令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)= f(x)-f(x)=0 =>f(-x)=-f(x) =>f(x)是奇函数 (2)证明:任取 x1x2∈R,且 x1<x2 则 x2-x1>0 由已知 f(x2-x1)<0 ∵f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x2)<f(x1) 从而 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∵f(x)(-∞,+∞)上是减函数 ∴f(x)在[-3,3]上有最大值 f(-3)≤6
2

又 f(-3)=f(-2+(1))=f(-2)+f(-1) ∴f(-1)≤2 ∴f(1)≥-2 (3)
1 n

=> 3f(-1)≤6

f(ax2)-f(x)>

1 n

f(a2x)-f(a)

f(ax2)-f(a2x)>n[f(x)-f(a)] f(ax2-a2x)>nf(x-a) 由已知得 f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ax2-a2x<n(x-a) 即(x-a)(ax-n)<0 ∵a<0 ∴(x-a)(x(1)当 a<
n a n a

)>0

<0,即 a<- n 时
n a

原不等式解集为{x|x> (2)当 a=
n a

或 x<a}

<0,即 a=- n 时

原不等式的解集为空集 (3)当
n a

<a<0 时 即- n <a<0 时
n a

原不等式的解集为{x|x>a 或 x<

}

例 7,设函数 y=f(x)是定义在 R 上,对任意 m,n 函数 f(x)恒有 f(m+n)=f(m)f(n),且 x>0 时,0<f(x)<1 (1)求证:f(0)=1 且当 x<0 时,f(x)>1 (2)求证:f(x)在 R 上单减 证明: (1)①令 m=0,n=1 则 f(m+n)=f(1)=f(0)×f(1) ∵1>0 ∴0<f(1)<1 ∴f(0)=1 ②令 m=x n=-x,且 x<0 f(m+n)=f(x+(-x))=f(0)=f(x)×f(-x) 则 f(x)f(-x)=1 ∴f(x)=
1 f (? x) 1 f (? x)

∵-x>0

∴0<f(-x)<1



>1

∴当 x<0 时 f(x)>1 (2)任取 x1,x2∈R, 且 x1<x2 f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)×f(x2)
3

∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>1 ∴f(x1)=f(x1-x2)×f(x2)>f(x2) ∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在 R 上是单调递减函数 模型法是求解单调性的常用方法,例 6 是正比例函数模型例 7 是指数函数模型。 对上述抽象函数的背景函数模型,虽不能用它来代替具体证明,但都能构建解决 问题的框架,明确解决问题的切入点。 特殊模型 正比例函数 幂函数 f(x)=kx(k≠0) f(x)=xn 抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y)或 f(
x y

)=

f (x) f ( y)

指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或 f(x-y)=

f (x) f ( y)

对数函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1)f(xy)=f(x)f(y)或 f( 正余弦函数 正切函数 f(x)=sinx,f(x)=cosx f(x)=tanx f(x+T)=f(x) f(x+y)=

x y

)=f(x)-f(y)

f (x) ? f ( y) 1 ? f (x) f ( y)
f (x) ? f ( y) 1 ? f (x) f ( y)

余切函数

f(x)=cotx

f(x+y)=

四、抽象函数中的周期与对称轴 例 8、已知 f(x)为偶函数,其图像关于 x=a(a≠0)对称 求证:f(x)是一个以 2a 为周期的周期函数。 解: ∵函数 f(x)的图像关于 x=a(a≠0)对称
4

∴f(x+2a)=f(-x) 又∵f(x)是偶函数 ∴f(x+2a)=f(x) 即 T=2a 求 f(2004)的值。

例 9、设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x) 解:∵f(x+3)=-f(x) ∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴T=6 又∵f(x)是 R 上的奇函数有 f(0)=0 从而 f(2004)=f(6×334)=f(0)=0

例 10、已知 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x),x,y∈R (1)求 f(x)的对称轴 如 f(5)=9,求 f(-5)

(2)已知当 x∈[2,7]时, f(x)=(x-2)^2 求当 x∈[6,20]时,函数 f(x)的表达式。 解: (1)∵f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) ∴对称轴为 x=2,x=7 而 f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10) 得 T=10 ∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数的周 期。 常见结论: (1)f(x+a)=f(x),则 T=a(a 是非零常数)

5

(2)f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a 是非零常数) (3)f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) 对称问题: 常见对称:f(-x)=f(x),即函数 f(x)关于 y 轴对称 f(-x)=-f(x),即函数 f(x)关于原点(0,0)对称 f(a-x)=f(x-a),即函数 f(x)关于直线 x=a 对称 f(a-x)=-f(a+x),即函数 f(x)关于点(a,0)对称 抽象函数题的编写是为了检验学生对函数的性质的灵活应用, 从而达到提高 学生数学思维能力和再创能力。 在解题时在解决抽象函数问题时,往往不是去考 虑如何求这个函数的表达式,而是应设法利用这个函数的性质,如奇偶性、周期 性、单调性、对称性等去把问题解决,倘若能利用数形结合的方法,则抽象问题 又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。 参考文献: 【1】清华大学附属中小学网校 【2】例谈抽象函数问题 周岳金 则 T=10

6

抽象函数问题的 一般解法

类别:数



作者:罗彩荣

滁州市定远县第二中学 2010.6.8

7

8


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