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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学案:第2章 章末分层突破 Word版含解析

章末分层突破 [自我校对] ①坐标 ②平行四边形 ③|a|= a2 a· b ④cos θ=|a||b| 1 向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算,其中平面向量 基本定理及向量共线定理是考查的重点, 解题时要结合图形灵活构造三角形或平 行四边形. → 1→ → 如图 21 所示,在△ABC 中,点 M 为 AB 的中点,且AN=2NC,BN → → → → 与CM相交于点 E,设AB=a,AC=b,试以 a,b 为基底表示AE. 图 21 → → → 【精彩点拨】 先由 C,E,M 三点共线?AE=μAM+(1-μ)AC,由 B,E, → → → → → N 三点共线?AE=λAN+(1-λ)AB,再由AB,AC不共线求 λ,μ 的值. 【规范解答】 → 1→ 1 → 1→ 1 ∵AN=3AC=3b,AM=2AB=2a,由 N,E,B 三点共线知 → → → 1 存在实数 λ 满足AE=λAN+(1-λ)AB=3λb+(1-λ)a. → → → μ 由 C, E, M 三点共线知存在实数 μ 满足AE=μAM+(1-μ)AC=2a+(1-μ)b. μ ? ?1-λ=2, ∴? λ 1 - μ = ? ? 3, → 2 1 ∴AE=5a+5b. [再练一题] 1.已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+2b 与 2a-4b 平行,求实数 k 的值. 3 ? ?λ=5, 解得? 4 μ = ? ? 5, 2 【解】 ∵ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4), 由(ka+2b)∥(2a-4b)得 (k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0, 解得 k=-1. 向量的数量积运算 数量积的运算是向量运算的核心,利用向量的数量积可以解决以下问题: 1.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 平行问题 a∥b?x1y2-x2y1=0 垂直问题 2.求向量的模及夹角问题, a⊥b?x1x2+y1y2=0 (1)设 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2; (2)两向量 a,b 夹角 θ 的余弦(0≤θ≤π), a· b cos θ=|a||b|= x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y2 1· x2+y2 → → → → 设向量OA=a,OB=b,且|OA|=|OB|=4,∠AOB=60° . (1)求|a+b|,|a-b|; (2)求 a+b 与 a 的夹角 θ1,a-b 与 a 的夹角 θ2. 【精彩点拨】 a· b 利用|a± b|= ?a± b?2求解;利用 cos θ=|a||b|求夹角. 【规范解答】 (1)∵|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+2a· b+|b|2=16+2×4×4cos 60° +16=48, ∴|a+b|=4 3, ∴|a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2=16, ∴|a-b|=4. (2)∵(a+b)· a=|a|2+a· b=16+4×4cos 60° =24, 3 ∴cos θ1= ?a+b?· a |a+b||a| = 24 3 =2. 4 3×4 ∵θ∈[0° ,180° ],∴θ1=30° . ∵(a-b)· a=|a|2-a· b=16-4×4cos 60° =8, ∴cos θ2= ?a-b?· a |a-b||a| = 8 1 =2. 4×4 ∵θ2∈[0° ,180° ],∴θ2=60° . [再练一题] 2π 2.已知 c=ma+nb,c=(-2 3,2),a⊥c,b 与 c 的夹角为 3 ,b· c=-4, |a|=2 2,求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角. 【解】 ∵c=(-2 3,2),∴|c|=4, 又 a⊥c,∴a· c=0. 2π ? 1? ∵b· c=|b||c|cos 3 =|b|×4×?-2?=-4, ? ? ∴|b|=2, 又 c=ma+nb,∴c2=ma· c+n· b· c, ∴16=-4n,∴n=-4. 又 a· c=ma2+na· b, ∴0=8m-4a· b.① 又 b· c=ma· b+n· b2, ∴ma· b=12.② 由①②得 m=± 6, ∴a· b=± 2 6 4 ∴cos θ= ± 2 6 3 =± 2 ,∵θ∈[0,π] 2 2×2 π 5π ∴θ=6或 6 . 向量的应用 平面向量的应用主要体现在两个方面:一是在平面几何中的应用,向量的加 减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切 的联系, 因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题;二是在物理学中的 应用,主要解决力、位移、速度等问题. 如图 22,在等腰直角△ABC 中,角 C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE. 图 22 【精彩点拨】 → → → → 欲证 AD⊥CE,即证AD· CE=0.由于已有CA· CB=0,故考虑 选此两向量为基底,从而应用此已知条件.另外,如果进一步考虑到此组基底是 垂直关系,还可以建立直角坐标系. 【规范解答】 → → 法一:记CA=a,CB=b, → 则AB=b-a,且 a· b=0,|a|=|b|. → → → 1 因为AD=CD-CA=2b-a. → → → 2 2 1 CE=AE-AC=3(b-a)+a=3b+3a,所以 → → ?1 1 ? 1 1 ? ?2 ?3b+3a?= b2- a2=0. AD· CE=?2b-a?· 3 ? ?? ? 3 可得 AD⊥CE. 5 法二:建立如图所示的直角坐标系,不妨设 AC=BC=2, 则 C(0,0),A(2,0),B(0,2), 因为 D 是 CB 的中点,则 D(0,1). → → 所以AD=(-2,1),AB=(-2,2) → → → → 2→ → → 2 ?2 4? 又 CE = CA

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