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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学案:第2章 章末分层突破 Word版含解析


章末分层突破 [自我校对] ①坐标 ②平行四边形 ③|a|= a2 a· b ④cos θ=|a||b| 1 向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算,其中平面向量 基本定理及向量共线定理是考查的重点, 解题时要结合图形灵活构造三角形或平 行四边形. → 1→ → 如图 21 所示,在△ABC 中,点 M 为 AB 的中点,且AN=2NC,BN → → → → 与CM相交于点 E,设AB=a,AC=b,试以 a,b 为基底表示AE. 图 21 → → → 【精彩点拨】 先由 C,E,M 三点共线?AE=μAM+(1-μ)AC,由 B,E, → → → → → N 三点共线?AE=λAN+(1-λ)AB,再由AB,AC不共线求 λ,μ 的值. 【规范解答】 → 1→ 1 → 1→ 1 ∵AN=3AC=3b,AM=2AB=2a,由 N,E,B 三点共线知 → → → 1 存在实数 λ 满足AE=λAN+(1-λ)AB=3λb+(1-λ)a. → → → μ 由 C, E, M 三点共线知存在实数 μ 满足AE=μAM+(1-μ)AC=2a+(1-μ)b. μ ? ?1-λ=2, ∴? λ 1 - μ = ? ? 3, → 2 1 ∴AE=5a+5b. [再练一题] 1.已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+2b 与 2a-4b 平行,求实数 k 的值. 3 ? ?λ=5, 解得? 4 μ = ? ? 5, 2 【解】 ∵ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4), 由(ka+2b)∥(2a-4b)得 (k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0, 解得 k=-1. 向量的数量积运算 数量积的运算是向量运算的核心,利用向量的数量积可以解决以下问题: 1.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 平行问题 a∥b?x1y2-x2y1=0 垂直问题 2.求向量的模及夹角问题, a⊥b?x1x2+y1y2=0 (1)设 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2; (2)两向量 a,b 夹角 θ 的余弦(0≤θ≤π), a· b cos θ=|a||b|= x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y2 1· x2+y2 → → → → 设向量OA=a,OB=b,且|OA|=|OB|=4,∠AOB=60° . (1)求|a+b|,|a-b|; (2)求 a+b 与 a 的夹角 θ1,a-b 与 a 的夹角 θ2. 【精彩点拨】 a· b 利用|a± b|= ?a± b?2求解;利用 cos θ=|a||b|求夹角. 【规范解答】 (1)∵|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+2a· b+|b|2=16+2×4×4cos 60° +16=48, ∴|a+b|=4 3, ∴|a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2=16, ∴|a-b|=4. (2)∵(a+b)· a=|a|2+a· b=16+4×4cos 60° =24, 3 ∴cos θ1= ?a+b?· a |a+b||a| = 24 3 =2. 4 3×4 ∵θ∈[0° ,180° ],∴θ1=30° . ∵(a-b)· a=|a|2-a· b=16-4×4cos 60° =8, ∴cos θ2= ?a-b?· a |a-b||a| = 8 1 =2. 4×4 ∵θ2∈[0° ,180° ],∴θ2=60° . [再练一题] 2π 2.已知 c=ma+nb,c=(-2

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