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2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学案新人教B版必修4

1.1.2 学习目标 弧度制和弧度制与角度制的换算 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧 度制的必要性, 建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和 扇形面积公式. 知识点一 角度制与弧度制 思考 1 在初中几何研究过角的度量, 当时是使用角度制来度量角的, 那么 1°的角是如何规 定的? 思考 2 在弧度制中,1 弧度的角是如何规定的? 思考 3 “1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗? 梳理 (1)角度制 ①定义:用________作单位来度量角的制度. ②1 度的角:把圆周________等分,则其中 1 份所对的圆心角是 1 度. (2)弧度制 ①定义:以________为单位来度量角的制度. ②1 弧度的角:长度等于________的圆弧所对的圆心角. ③弧度数的计算公式:在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角为 α rad,则 α = ________. 1 知识点二 角度制与弧度制的换算 思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢? 梳理 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 360°=______ rad 180°=______ rad π 1°= rad≈________ 180 rad 弧度化角度 2π rad=______ π rad=______ 1 rad=? ?180?°≈________ ? ?π ? (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° π 180 30° π 4 60° π 2 120 ° 3π 4 150 ° 180 ° π 3π 2 360 ° 2π 弧度 知识点三 扇形的弧长及面积公式 思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 类型一 角度与弧度的互化 例 1 将下列角度与弧度进行互化. 7π 11π (1)20°;(2)-15°;(3) ;(4)- . 12 5 2 反思与感悟 将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记 π rad=180° 即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以? 跟踪训练 1 (1)把 112°30′化成弧度; 5π (2)把- 化成度. 12 ?180?°即可. ? ?π ? 类型二 用弧度制表示终边相同的角 例 2 已知角 α =2 010°. (1)将 α 改写成 β +2kπ (k∈Z,0≤β <2π )的形式,并指出 α 是第几象限的角; (2)在区间[-5π ,0)上找出与 α 终边相同的角. 反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角 2kπ +α (k∈Z)时,其中 2kπ 是 π 的偶数倍,而 不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练 2 (1)把-1 480°写成 α +2kπ (k∈Z)的形式,其中 0≤α ≤2π ; (2)在[0°,720°]内找出与 2π 角终边相同的角. 5 3 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例 3 (1)若扇形的中心角为 120°,半径为 3,则此扇形的面积为( A.π 5π B. 4 C. 3π 3 2 3π D. 9 ) ) (2)如果 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4,那么这个圆心角所对的弧长为( A.2 2 4 B. C.2sin 1 D. sin 1 sin 1 1 1 2 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式:一是 S= lr= α r ,二是 l=α r, 2 2 如果已知其中两个,就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度,再计算. 跟踪训练 3 一个扇形的面积为 1,周长为 4,求圆心角的弧度数. 1.下列说法中,错误的是( ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B.1°的角是周角的 ,1 rad 的角是周角的 360 2π C.1 rad 的角比 1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 2.时针经过一小时,转过了( A. C. π rad 6 π rad 12 ) π B.- rad 6 π D.- rad 12 4 3.若 θ =-5,则角 θ 的终边在( A.第四象限 C.第二象限 ) B.第三象限 D.第一象限 2 4.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形圆心角的弧度数是( A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 ) 5.已知⊙O 的一条弧 AE 的长等于该圆内接正三角形的边长,则从 OA 顺时针旋转到 OE 所形 成的角 α 的弧度数是________. 1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系:每一个 角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一 个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π rad”这一关系式. π ?180? 易知:度数× rad=弧度数,弧度数×? ?°=度数. 180 ?π ? 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,在具体应用时,要注意角的单位 取弧度. 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 把圆周 360 等分,则其中 1 份所对的圆心角是 1°的角. 思考 2 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 思考 3 “1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角, 是一个定值, 与所在圆的半 径大小无关. 梳理 (1)①度 ②360 (2)①弧度 ②半径长 ③ 知识点二 π 180 思考 利用 1°= rad 和 1 rad=( )°进行弧度与角度的换算. 180 π 梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° π 6 π 3 l r (2)45° 90° 135° 270° 0 2π 3 5π 6

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