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2019年高中数学(人教B版)必修1课件:2.1 2.1.2 函数的表示方法_图文

2.1.2 函数的表示方法
预习课本 P38~43,思考并完成以下问题
(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种?分别是 什么? 函数的各种表示法各有什么特点?
(3)什么是分段函数?分段函数是一个函数吗?
(4)怎样求分段函数的值?如何画分段函数的图象?

[新知初探]
1.函数的表示方法
[点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角 度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不 同的方法表示.

2.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量 x 的_不__同__取__值__区__间__, 有着_不__同__的__对__应__法__则__,这样的函数通常叫做分段函数. [点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是 一个函数而不是几个函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各 段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交 集是空集.

[小试身手]

1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)任何一个函数都可以用解析法表示.

(× )

(2)函数 f(x)=2x+1 不能用列表法表示.

(√ )

(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.

(4)分段函数由几个函数构成.

(×) (× )

2.已知函数 f(x)由下表给出,则 f(3)等于

()

x

1≤x<2 2 2<x≤4

f(x)
A.1 C.3 答案:C

1

2

3

B.2

D.不存在

3.函数 y=f(x)的图象如图,则 f(x)的

定义域是

()

A.R

B.(-∞,1)∪(1,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(-1,0)
答案:C 4.已知 f(x)=?????- x2,x,x>x≤0.0, 则 f(-2)=________.
答案:2

函数的表示法 [典例] 某商场新进了 10 台彩电,每台售价 3 000 元,

试求售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系,分别用列表法、

图象法、解析法表示出来 [解] (1)列表法:

x/台

1

y/元 3 000

2 6 000

3 9 000

4

5

12 000 15 000

x/台

6

7

8

9

10

y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000

(2)图象法: (3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.

理解函数的表示法 3 个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论 用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键 在于是否满足函数的定义. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可 以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.

[活学活用] 1.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出.

x 123

x

f(x) 2 1 1

g(x)

则 f(g(1))的值为________;

123 321

当 g(f(x))=2 时,x=________. 解析:由于函数关系是用表格形式给出

的,知 g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.由于

g(2)=2,∴f(x)=2,∴x=1.

答案:1 1

2.作出下列函数的图象: (1)y=1-x(x∈Z);(2)y=x2-4x+3,x∈[1,3]. 解:(1)因为 x∈Z,所以图象为直线 y=1-x 上的孤立 点,其图象如图①所示. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 当 x=1,3 时,y=0; 当 x=2 时,y=-1,其图象如图②所示.

函数解析式的求法 [典例] (1)已知 f(x)+2f(-x)=x2+2x,求 f(x); (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. [解] (1)(配凑法)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,① ∴将 x 换成-x,得 f(-x)+2f(x)=x2-2x.② ∴由①②得 3f(x)=x2-6x,∴f(x)=13x2-2x.

(2)[法一 配凑法] ∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), ∴f(x)=x2-1(x≥1). [法二 换元法] 令 x+1=t,则 x=(t-1)2,t≥1, 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).

求函数解析式的 4 种常用求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成 关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法(后面讲); (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法, 此时要注意新元的取值范围;
(4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f???1x???或 f(-x)的表达式, 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解 方程组求出 f(x).

[活学活用] 1.已知 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x).
解:法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2- 5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6. 法二(换元法):令 t=x+1,则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, 即 f(x)=x2-5x+6.

2.已知 f???x-1x???=x2+x12,求 f(x)的解析式. 解:∵f???x-1x???=x2+x12=???x-1x???2+2,将“x-1x”看 成变量 x,∴f(x)=x2+2.

分段函数求值
??|x-1|-2,|x|≤1, [典例] 已知函数 f(x)=???1+1 x2,|x|>1. (1)求 f???f???12??????的值; (2)若 f(x)=13,求 x 的值.

[解] (1)因为 f ???12???=???12-1???-2=-32,

所以 f

?
?f
?

???12??????=f

???-32???=1+???1-32???2=143.

(2)f(x)=13,若|x|≤1,则|x-1|-2=13,

得 x=130或 x=-43.

因为|x|≤1,所以 x 的值不存在;

若|x|>1,则1+1 x2=13,得 x=± 2,符合|x|>1.

所以若 f(x)=13,x 的值为± 2.

1.求分段函数的函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出 现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然 后相应求出自变量的值,切记代入检验.

[活学活用] 1.已知 f(x)=?????2f?xx,+x2>?,0,x≤0, 则 f(-5)的值等于________.
解析:f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=
f(-1+2)=f(1)=2×1=2.
答案:2

2.函数 f(x)=?????x452x+,2x,>2x.≤2, 若 f(x0)=8,则 x0=________. 解析:当 x0≤2 时,f(x0)=x20+2=8,即 x20=6, ∴x0=- 6或 x0= 6(舍去); 当 x0>2 时,f(x0)=45x0,∴x0=10. 综上可知,x0=- 6或 x0=10. 答案:- 6或 10

分段函数的图象及应用 题点一:分段函数的图象的判定 1.函数 f(x)=|x-1|的图象是

()

解析:选 B 法一:函数的解析式可化为 y=

??x-1,x≥1, ???1-x,x<1.

画出此分段函数的图象,故选 B.

法二:由 f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除 A、C、

D,故选 B.

题点二:分段函数图象的作法 2.已知 f(x)=?????x12,,x->11或≤xx<≤-11,, 画出 f(x)的图象.
解:利用描点法,作出 f(x)的图象,如图所示.

题点三:由函数的图象确定其解析式 3.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是
________.

解 析:由图 可知,图 象是由两 条线段组 成,当- 1≤x<0 时,设 f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,则

??-a+b=0, ???b=1.

∴?????ba==11, .

当 0≤x≤1 时,设 f(x)=kx,将(1,-1)代入,则 k=-1.

答案:f(x)=?????x-+x,1,0- ≤1x≤ ≤x1<0,

题点四:分段函数的图象及应用
4.若定义运算 a⊙b=?????ba, ,aa≥<bb. , 则函数 f(x)=x⊙(2-x) 的值域为________. 解析:由题意得 f(x)=?????x2,-xx, <1x,≥1, 画出函数 f(x)的图象得值域是(-∞,1]. 答案:(-∞,1]

分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根 据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函 数,然后分段作出函数图象. (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在 作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再 保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处 点的虚实,保证不重不漏.

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