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学年度高二数学第一学期期末考试试题 理


山东省枣庄市第九中学 2014-学年度高二第一学期期末考试数学试题 (理)
考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

5 1.复数 i ? 2 的共轭复数是(



A.i +2 B.i -2 C.-i -2 D.2 - i ? 2.命题“若 A∩B=A,则 A B 的逆否命题是 A.若 A∪B≠A,则 A ? B B.若 A∩B≠A,则 A ? B C.若 A ? B,则 A∩B≠A D.若 A ? B,则 A∩B≠A
2 3.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若 ?OAF

( O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y ? ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8x
2

4.在某次选拔比赛中, 六位评委为 A, B 两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中 x 为数字 0~9 中的一个) , 分别去掉一个最高分和一个最低分, A, B 两位选手得分的平均数分别为 a , b , 则一定有

A. a ? b C. a ? b

B. a ? b D. a , b 的大小关系不能确定
x

5.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (0,3) B. (1,4) C. (2,??) D. (??,2)

2 6.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点(0, b)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 , 则

A. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1

B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1

-1-

7.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为 x 分 钟.有 1000 名小学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680, 则平均每天做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是

A.680 B.320 C.0.68 D.0.32 8.某射手的一次射击中, 射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1, 则此射手 在一次射击中成绩不超过 8 环的概率为 A. 0 .9 B. 0 .6 C. 0.5 D. 0.3 9.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点 , 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A, B 两点 , 若△

ABF2 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为
2 2 3 3 A. 2 B. 3 C. 3 D. 2
10. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, f '( x ) 为其导函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? f ' ( x) ? 0 , 且 f (1) ? 0 , 则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为 A. (?1,0) ? (0,1) C. (??,?1) ? (1,??) B. (?1,0) ? (1,??) D. (??,?1) ? (0,1)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) 11.命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 的否定 ?p 是 .

12.定积分

? ? (1 ? cos x)dx ?
2 ? 2

?



13. 某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为
-2-

此将他们随机编号为 1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9, 抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷 B, 其 余的人做问卷 C.则抽到的人中, 做问卷 B 的人数为 . 14.一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验, 收 集数据如下: 10 20 30 40 50 零件数 x (个) 64 69 75 82 90 加工时间 y (分钟)

? ? 由表中数据, 求得线性回归方程 y ? 0.65x ? a , 根据回归方程, 预测加工 70 个零件所花费的
时间为 分钟. 15.已知函数 f ( x) 的自变量取值区间为 A , 若其值域也为 A , 则称区间 A 为 f ( x) 的保值区

1 [ ,?? ) g ( x ) ? x ? m ? ln x 间.若函数 的保值区间是 2 , 则 m 的值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知命题 命题

p: “?x ?[1, 2], x 2 ? a ? 0” ,

2 q: “?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? a ? 2 ? 0” ,

若命题“ p或q ”是真命题, 求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)设关于 x 的一元二次方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 .
2 2

(1) 若 a 是从 1,2,3 这三个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 这三个数中任取的一个数, 求上述 方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实 根的概率. 18. (12 分)如图,在直棱柱

ABCD ? A1B1C1D1中,AD // BC,

?BAD ? 90 , AC ? BD, BC ? 1, AD ? AA1 ? 3.
(1)证明: (2)求直线

AC ? B1D

; 所成角的正弦值.

B1C1与平面ACD1

-3-

19. (12 分)经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品可获得利润 500 元, 未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图, 如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该产品, 以 X (单位: t, 100 ? X ? 150 ) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售 利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.

C:
20. (13 分)如图, 椭圆 方程为 x ? 4 . (1)求椭圆 C 的方程;

3 1 x2 y2 P (1, ) e? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 , 离心率 2 , 直线 l 的 a b 经过点

(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P ) , 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M , 记 PA 、

PB 、 PM 的斜率分别为 k 1 、k 2 、k3 .问: 是否存在常数 ? , 使得 k1 ? k 2 ? ?k3 ? 若存在, 求

? 的值; 若不存在, 请说明理由.
f ( x) ?
21. (14 分)已知函数

1 2 1 x ? (a 2 ? a) ln x ? x (a ? ). 2 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值, 求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

-4-

(2)讨论函数 f ( x) 的单调性;
2 2 (3)设 g ( x) ? a ln x ? x, 若 f ( x) ? g ( x) 对 ?x ? 1 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

2014-学年度山东省枣庄市第九中学第一学期高二期末考试 数学理试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 题号 B C B B C A D 答案 11. ?x0 ? R,sin x0 ? 1 12. ? ? 2

8 C 13.10

9 C

10 B

14.102

1 15. 2 ?
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .

“?x ? [1,2], x ? a ? 0” , 16. (12 分)已知命题 p :
命题
2 q: “?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? a ? 2 ? 0” ,

若命题“ p或q ”是真命题, 求实数 a 的取值范围. 解: p ? a ? ( x ) min ? 1. ……………………………………………………3 分
2

q ? ? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? a ? ?1或a ? 2. ……………………………6 分
∵“p 或 q”为真命题,∴p、q 中至少有一个真命题………………………8 分 即 a ? 1 或 a ? ?1或a ? 2. ………………………………………………………10 分
? a ? 1 或 a ? 2.

? “ p或q ”是真命题时, 实数 a 的取值范围是 (??,1] ? [2,??). ………12 分
17.解:(1)由题意, 知基本事件共有 9 个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示 a 的取值, 第二个表 示 b 的取值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 由方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 的
2 2

? ? 36a 2 ? 36(?b 2 ? 4) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分
2 2 ? 方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 有实根包含 7 个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1),

(2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2) .

7 . ? 此时方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 有实根的概率为 9 . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
2 2

-5-

(2) a , b 的取值所构成的区域如图所示, 其中 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2. . . . . . . . .8 分
2 2 ? 构成“方程 9 x ? 6ax ? b ? 4 ? 0 有实根”这一事件的区域为

?(a, b) | a

2

? b 2 ? 4,0 ? a ? 3,0 ? b ? 2 (图中阴影部分) .

?

1 2 ? 3 ? ? ? ? 22 ? 4 ? 1? . 2?3 6 . ? 此时所求概率为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
18. (12 分)解: (1)易知, AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t, 则相关各点的坐标为: A (0,0,0) , B(t,0,0) ,B1(t,0,3) ,C(t,1,0) ,C1(t,1,3) ,D(0,3,0) ,D1(0,3,3) . 从而

B1D =(-t,3,-3) , AC =(t,1,0) , BD =(-t,3,0) .

因为 AC⊥BD,所以 AC ·BD =-t2+3+0=0. 解得 t ? 3 或 t ? ? 3 (舍去) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 于是

B1D =( ? 3 ,3,-3) , AC =( 3 ,1,0) . B1D =-3+3+0=0,所以 AC ⊥ B1D ,即 AC⊥B1D. . . . . . . . . .6 分 AD1 =(0,3,3) BC , AC =( 3 ,1,0) , 1 1 =(0,1,0) .

因为 AC ·

(2)由(1)知,

设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则

-6-

? ? n ? AC ? 0, ? ? ? n ? AD1 ? 0,



? 3 x ? y ? 0, ? ? ? ?3 y ? 3 z ? 0.

令 x=1,则 n=(1, ? 3 , 3 ) . . . . . . . . . .9 分 设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则

n ? B1C1
sin θ=|cos〈n,

B1C1 〉|=

n ? B1C1

3 21 ? 7 . = 7

21 即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 7 . . . . . . . . . . .12 分
; 19.解: (1)当 100 ? X ? 130 时, T ? 500X ? 300(130 ? X ) ? 800X ? 39000
当 130 ? X ? 150 时, T ? 500 ? 130 ? 65000 .

,100 ? X ? 130 ?800X ? 39000 ?T ? ? . 65000 ,130 ? X ? 150 ? …………………………………………6 分
(2)令 T ? 57000 ? X ? 120 . …………………………………………………8 分

? P(T ? 57000 ) ? P( X ? 120) ? (0.030? 0.025? 0.015) ? 10 ? 0.7 ……12 分
3 1 9 P (1, ) ? 2 ? 1, 2 2 在椭圆上, 得 a 4b 20.解: (1)由 ……………①. e?


c 1 ? , 2 2 2 2 a 2 得 a ? 4c , b ? 3c , ……………………. .②
2 2 2

由①②, 得 c ? 1, a ? 4, b ? 3.

x2 y2 ? ? 1. 3 故椭圆 C 的方程为 4 ………………………………………………5 分
(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0. y2 ?x ? ? 1 . ? 3 由? 4

? x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 …………………………7 分

-7-

3 3 3 3 y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) ? 2? 2 ? 2? 2 ? k1 ? k 2 ? x1 ? 1 x 2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

x1 ? x2 ? 2 3 1 1 3 ? 2k ? ( ? ) ? 2k ? ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
8k 2 ?2 2 3 4 k ? 3 ? 2k ? ? 2 ? 2 k ? 1. 2 4k ? 12 8k 2 ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ………………………………10 分
又将 x ? 4 代入 y ? k ( x ? 1) 得 M (4,3k ),

? k3 ?

3k ?

3 2 ?k?1 3 2 ,……………………………………………,,…………12 分

? k1 ? k 2 ? 2k3 .
故存在常数 ? ? 2 符合题意.……………………………………………………13 分

f ' ( x) ? x ?
21.解: (1)由

a(a ? 1) ? 1, f ' (2) ? 0, x 得 a ? ?1 或 a ? 2 (舍去)

经检验, a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值…………………………. .2 分

a ? ?1 时,

f ( x) ?

1 2 2 1 x ? 2 ln x ? x, f ' ( x) ? x ? ? 1, f (1) ? ? , f ' (1) ? ?2. 2 x 2 y? 1 ? ?2( x ? 1), 即4 x ? 2 y ? 3 ? 0. 2 ………………….4 分

所以所求切线方程为

(2) f ( x) 的定义域为 (0,??).

f ' ( x) ? x ?

a2 ? a x 2 ? x ? (a 2 ? a) ( x ? a)(x ? a ? 1) ?1 ? ? , x x x
a? 1 2 时, a ? 1 ? a, 且1 ? a ? 0. . .…6 分

令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? a或x ? 1 ? a. 当

a?
①当

1 1 a ? 1 ? a ? ? 0, f ' ( x) ? 0. 2 时, 2

-8-

? f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增; …………………………………….7 分
② 当 a?0 时 ,

f ( x) 在 (0,1 ? a) 上 单 调 递 减 , 在 (1 ? a,??) 上 单 调 递

增; ………………………….……………………………………. .8 分

0?a?
③当

1 2 时 , f ( x) 在 (0, a ) 和 (1 ? a,??) 上 单 调 递 增 , 在 (a,1 ? a) 上 单 调 递

减.…………………….………………………. . . .9 分

1 2 x2 x ? (a 2 ? a ) ln x ? x ? a 2 ln x 2 ? x 3a 2 ? a ? 2 ln x 对 ?x ? 1 恒 (3) 由题意知, 2 , 即
成立.……….……………………………………. .…. . .10 分

h( x ) ?


x(2 ln x ? 1) x2 h' ( x ) ? . 2(ln x) 2 2 ln x , 则

令 h' ( x ) ? 0 , 得 x ? e. 当 x ? (1, e ) 时, h( x) 单调递减; x ? ( e ,??) 时, h( x) 单调递增. 所以当 x ? e. 时, h( x) 取得最小值 h( e ) ? e. ……………………. . . . .13 分

? 3a 2 ? a ? e ?

1 ? 1 ? 12e 1 ? 1 ? 12e ?a? . 6 6

?a ?


1 1 ? 1 ? 12e 1 ,? ?a? . 2 6 2 ………………. . . . .…. . . . .…. . . . .14 分

-9-


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