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2015步步高高中数学理科文档第十二章 12.2


§ 12.2

古典概型

1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个 1 基本事件的概率都是 ; 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个, 那么事件 A 的概率 P(A) n m = . n 4.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发 芽与不发芽”. ( × )

(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可 能事件. ( × )

(3)从市场上出售的标准为 500± 5 g 的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型. ( × )

2.(2013· 江西)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A、B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是 2 A. 3 答案 C ( 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6 )

解析 从 A、B 中任意取一个数,共有 6 种情形, 两数和等于 4 的情形只有(2,2),(3,1)两种, 2 1 ∴P= = . 6 3 3.一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出 1 个白球后放回的条件下,再摸出 1 个白 球的概率是 2 A. 3 答案 C 解析 先摸出 1 个白球后放回, 再摸出 1 个白球的概率, 实质上就是第二次摸到白球的概 2 率,因为袋内装有 2 个白球和 3 个黑球,因此概率为 . 5 4.(2013· 重庆)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________. 2 答案 3 解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排,共有甲、乙、丙,甲、丙、乙,乙、甲、丙,乙、 丙、甲,丙、甲、乙,丙、乙、甲共 6 种排法,其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙, 4 2 乙、甲、丙,丙、甲、乙,丙、乙、甲 4 种排法,故 P= = . 6 3 5.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中,任取 2 个数字相加,其和为偶数的概率是________. 2 答案 5 解析 从 6 个数中任取 2 个数的可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6), 共 15 种, 其中和为偶数的情况有(1,3), 2 (1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共 6 种,所以所求的概率是 . 5 ( 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 5 )

题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 袋中有大小相同的 5 个白球, 3 个黑球和 3 个红球, 每球有一个区别于其他球的编号,

从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型 是不是古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率 模型,该模型是不是古典概型? 思维启迪 能性”. 解 (1)由于共有 11 个球,且每个球有不同的编号,故共有 11 种不同的摸法. 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的 “有限性”和“等可

又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,

故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于 11 个球共有 3 种颜色,因此共有 3 个基本事件,分别记为 A:“摸到白球”,B: “摸到黑球”,C:“摸到红球”, 1 又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 ,而白球有 5 个, 11 5 故一次摸球摸到白球的可能性为 , 11 3 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 , 11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等, 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 思维升华 古典概型需满足两个条件: ①对于每次随机试验来说, 只可能出现有限个不同 的试验结果;②对于所有不同的试验结果而言,它们出现的可能性是相等的. (1)下列问题中是古典概型的是( )

A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现 1 点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于 1.5 的概率 D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是 5 的概率 (2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果. 答案 解析 (1)D (2)8 (1)A、B 两项中的基本事件的发生不是等可能的;

C 项中基本事件的个数是无限多个; D 项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个. (2)设出现正面为 1,反面为 0,则共有(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0), (0,0,1),(0,0,0)8 种结果. 题型二 古典概型的概率 例 2 (2013· 山东)某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指

标(单位:千克/米 2)如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人, 求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率. 思维启迪 计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时,可以用列举的方法, 列举时要不重不漏. 解 (1)从身高低于 1.80 的 4 名同学中任选 2 人, 其一切可能的结果组成的基本事件有(A,

B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共 6 个.设“选到的 2 人身高都在 1.78 3 1 以下”为事件 M,其包括事件有 3 个,故 P(M)= = . 6 2 (2)从小组 5 名同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A, D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 个. 设“选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件 N, 且事件 N 包 括事件有(C,D),(C,E),(D,E)共 3 个. 3 则 P(N)= . 10 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事 件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图 法,具体应用时可根据需要灵活选择. (1)(2012· 上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中 两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ________(结果用最简分数表 示). (2)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其随机地抽取并 排摆放在书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是________. 2 2 答案 (1) (2) 3 5 解析
2 2 (1)三位同学每人选择三项中的两项有 C2 3C3C3=3×3×3=27(种)选法,

2 1 1 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有 C3 C3C2=3×3×2=18(种)选法. 18 2 ∴所求概率为 P= = . 27 3

(2)第一步先排语文书有 A2 2=2(种)排法.第二步排物理书,分成两类.一类是物理书放在 语文书之间, 有 1 种排法, 这时数学书可从 4 个空中选两个进行排列, 有 A2 4=12(种)排法; 一类是物理书不放在语文书之间有 2 种排法, 再选一本数学书放在语文书之间有 2 种排法, 另一本有 3 种排法.因此同一科目的书都不相邻共有 2×(12+2×2×3)=48(种)排法,而 48 2 5 5 本书全排列共有 A5 =120(种),所以同一科目的书都不相邻的概率是 = . 120 5 题型三 古典概型与统计的综合应用 例3 (2013· 陕西)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决

定歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

抽取人数

6

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的 评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的,因此,由 B 组抽取的比率可求得其它各组抽 取的人数. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2, b3,b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种, 4 2 故所求概率 P= = . 18 9 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型, 已成为高考 考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎 叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决. 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽 样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率. 解 (1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400.

(2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35(人),样 35 本容量为 70,所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f= =0.5.故由 f 估计该 70 校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 P=0.5.

(3)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①②③④,样本中身高在 185~190 cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤⑥. 从上述 6 人中任选 2 人的树状图为

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15, 至少有 1 9 人身高在 185~190 cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 P= =0.6. 15

六审细节更完善

典例:(12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

(1)基本事件为取两个球 ↓(两球一次取出,不分先后,可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓ {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4} ↓两球编号之和不大于 4 (注意:和不大于 4,应为小于 4 或等于 4) ↓{1,2},{1,3} 2 1 ↓利用古典概型概率公式 P= = 6 3 (2)两球分两次取,且有放回 ↓(两球的编号记录是有次序的,用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4) ↓(注意细节,m 是第一个球的编号,n 是第 2 个球的编号)

n<m+2 的情况较多,计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) ↓计算 n≥m+2 的概率 ↓n≥m+2 的所有情况为(1,3),(1,4),(2,4) 3 ↓P1= 16 ?注意细节,P1=\f(3,16)是 n≥m+2 的概率,需转化为其对,立事件的概率? 13 n<m+2 的概率为 1-P1= . 16 规范解答 解 (1)从袋中随机取两个球, 其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},{3,4},共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有{1,2},{1,3}两个.因此所求事件的概率 P= 2 1 = . [4 分] 6 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n, 其一切可能的结果(m,n)有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个, 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 3 13 1-P1=1- = . 16 16 [6 分] [10 分]

[12 分]

温馨提醒 (1)本题在审题时,要特别注意细节,使解题过程更加完善.如第(1)问,注意两球 一起取,实质上是不分先后,再如两球编号之和不大于 4 等;第(2)问,有次序. (2)在列举基本事件空间时,可以利用列举、画树状图等方法,以防遗漏.同时要注意细节, 如用列举法,第(1)问应写成{1,2}的形式,表示无序,第(2)问应写成(1,2)的形式,表示有序. (3)本题解答时,存在格式不规范,思维不流畅的严重问题.如在解答时,缺少必要的文字说 明,没有按要求列出基本事件.在第(2)问中,由于不能将事件 n<m+2 的概率转化成 n≥m +2 的概率,导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.

方法与技巧 1.古典概型计算三步曲 第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件 A 是什

么,它包含的基本事件有多少个. 2.确定基本事件的方法 列举法、列表法、树状图法. 失误与防范 1. 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性, 一定要注意在计算基本事件总数和事件包括 的基本事件个数时,它们是否是等可能的. 2.概率的一般加法公式: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 公式使用中要注意: (1)公式的作用是求 A∪B 的概率, 当 A∩B=?时, A、 B 互斥, 此时 P(A∩B) =0,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B);(2)要计算 P(A∪B),需要求 P(A)、P(B),更重要的是把握 事件 A∩B,并求其概率;(3)该公式可以看作一个方程,知三可求一.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.(2013· 课标全国Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的 概率是 1 A. 2 答案 B 解析 基本事件的总数为 6, 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2, 2 1 所以所求概率 P= = ,故选 B. 6 3 2.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 1 1 5 1 A. B. C. D. 36 9 36 6 答案 D 解析 最后一个景点甲有 6 种选法,乙有 6 种选法,共有 36 种,他们选择相同的景点有 6 1 6 种,所以 P= = ,所以选 D. 36 6 3.(2013· 安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的 机会均等,则甲或乙被录用的概率为 2 2 3 A. B. C. 3 5 5 答案 D ( 9 D. 10 ) ( ) ( 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 6 )

解析 由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙), (甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁), (乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种,其中“甲与乙均未被录用”的所 有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这 1 种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果 9 有 9 种,所求概率 P= . 10 4.第 12 届全运会于 2013 年在沈阳举行,运动会期间来自 A 大学 2 名和 B 大学 4 名共计 6 名大学生志愿者,现从这 6 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概率是 1 2 A. B. 15 5 答案 C 解析 记 2 名来自 A 大学的志愿者为 A1,A2,4 名来自 B 大学的志愿者为 B1,B2,B3,B4. 从这 6 名志愿者中选出 2 名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1, B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3), (B2,B4),(B3,B4),共 15 种.其中至少有一名 A 大学志愿者的事件有 9 种.故所求概率 9 3 P= = .故选 C. 15 5 5. 连掷两次骰子分别得到点数 m、 n, 则向量(m, n)与向量(-1,1)的夹角 θ>90° 的概率是( 5 7 1 1 A. B. C. D. 12 12 3 2 答案 A 解析 ∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个), 符合要求的有(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), ?, (5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P= = ,故选 A. 36 12 二、填空题 6.将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概 率为________. 5 答案 12 解析 圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d= 当 d< 2时,直线与圆相交,则有 d= |2a| , a2+b2 ) ( 3 C. 5 14 D. 15 )

|2a| < 2, a2+b2

得 b>a,满足 b>a 的,共有 15 种情况, 15 5 因此直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概率为 = . 36 12 7. (2013· 江苏)现有某类病毒记作 XmYn, 其中正整数 m,n(m≤7, n≤9)可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概率为________.

答案

20 63

4×5 20 解析 P= = . 7×9 63 8.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂 不同颜色的概率是________. 1 答案 4 解析 由于只有两种颜色,不妨将其设为 1 和 2,若只用一种颜色有 111;222. 若用两种颜色有 122;212;221;211;121;112. 所以基本事件共有 8 种. 1 又相邻颜色各不相同的有 2 种,故所求概率为 . 4 三、解答题 9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率. 解 (1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},

故(m,n)所有可能的取法共 36 种. a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1)、(6,2), 2 1 所以事件 a⊥b 的概率为 = . 36 18 (2)|a|≤|b|,即 m2+n2≤10, 6 1 共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6 种,其概率为 = . 36 6 10.(2013· 天津)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品 的等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标(x,y,z) 产品编号 质量指标(x,y,z) A1 (1,1,2) A6 (1,2,2) A2 (2,1,1) A7 (2,1,1) A3 (2,2,2) A8 (2,2,1) A4 (1,1,1) A9 (1,1,1) A5 (1,2,1) A10 (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品. ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生 的概率. 解 (1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

5 6 其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 =0.6,从而 10 可估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)①在该样本的一等品中, 随机抽取 2 件产品的所有可能结果为{A1, A2}, {A1, A4}, {A1, A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4, A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7}, 共 6 种. 6 2 所以 P(B)= = . 15 5 B 组 专项能力提升 1. 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点, 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于 1 A. 10 答案 D 解析 如图所示, 1 B. 8 1 C. 6 1 D. 5 ( )

S

4

4

6

3

4

5

4

5

3

从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点,可以看作随机选 2 个顶点,剩下的 4 个顶点构成四边形,有 A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、 F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共 15 种.若要构成矩形,只要选相对顶 3 1 点即可,有 A、D,B、E,C、F,共 3 种,故其概率为 = . 15 5 2 2.将一骰子向上抛掷两次,所得点数分别为 m 和 n,则函数 y= mx3-nx+1 在[1,+∞)上 3 为增函数的概率是 1 2 A. B. 2 3 答案 D 解析 所有事件有 6×6=36(种),若满足条件, 则 y′=2mx2-n≥0 对 x≥1 恒成立, 又 m>0,即(2mx2-n)min=2m-n,即 2m≥n, 而 2m<n 有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),共 6 种,则 2m≥n 共 30 种. 30 5 ∴P= = . 36 6 ( 3 C. 4 5 D. 6 )

3.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球 2 个黑球,现从袋中任意取出一个球,取 出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 ( 3 A. 5 答案 B 解析 设 3 个白球分别为 a1,a2,a3,2 个黑球分别为 b1,b2, 则先后从中取出 2 个球的所有可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1), (a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共 20 种. 其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3, 6 3 b1),(a3,b2),共 6 种,故所求概率为 = . 20 10 4.袋中装有大小相同的总数为 5 的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白 9 球的概率是 ,则从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为________. 10 3 答案 10 解析 因为袋中装有大小相同的总数为 5 的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球,共有 1 10 种情况,没有得到白球的概率为 ,设白球个数为 x,则黑球个数为 5-x,那么可知 10 3 白球有 3 个,黑球有 2 个,因此从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为 . 10 5.从某地高中男生中随机抽取 100 名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直 方图(如图). 由图中数据可知体重的平均值为________ kg; 若要从体重在[60,70), [70,80), [80,90)三组内的男生中, 用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动, 再从这 12 人选两人 当正副队长,则这两人身高不在同一组内的概率为________. 3 B. 10 1 C. 2 6 D. 25 )

答案 64.5

2 3

解析 由频率分布直方图可知,体重在[40,50)内的男生人数为 0.005×10×100=5,同理 体重在[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)内的人数分别为 35、30、20、10,所以体重的平 45×5+55×35+65×30+75×20+85×10 均值为 = 64.5(kg) ;利用分层抽样的方法选取 100 30 20 12 人,则从体重在[60,70)、[70,80)、[80,90)组内选取的人数分别为 12× =6、12× = 60 60 1 1 1 1 1 C1 10 6×C6+C4×C8+C2×C10 2 4、12× =2,则两人身高不在同一组内的概率为 = . 2 60 A12 3

6.一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量 如下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求 该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 50 10 由题意得 = ,所以 n=2 000, n 100+300 则 z=2 000-100-300-150-450-600=400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 400 a 由题意得 = ,则 a=2. 1 000 5 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3),共 10 个. 事件 E 包含的基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 1 (3)样本平均数 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则 基本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包含的基本事件有 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 6 3 3 个,所以 P(D)= = ,即所求概率为 . 8 4 4


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