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2018-2019学年最新高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用

第 2 课时 学习目标 (重、难点). 对数函数及其性质的应用 1.进一步理解对数函数的性质 (重点 ).2.能运用对数函数的性质解决相关问题 题型一 【例 1】 比较对数值的大小 (1)若 a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是( B.a<b<c C.c<b<a ) 2 2 ) A.b<a<c D.b<c<a (2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( A.loga5.1<loga5.9 C.log1.1(a+1)<log1.1a 解析 B.log1 2.1>log1 2.2 D.log32.9<log0.52.2 (1)因为函数 y=log4x 在(0,+∞)上是增函数,a=log23=log49>log46>1,log32<1, 所以 b<c<a. (2)对于选项 A,因为 a 和 1 大小的关系不确定,无法确定指数函数和对数函数的单调性, 1 故 A 不成立;对于选项 B,因为以 为底的对数函数是减函数,所以成立;对于选项 C,因为 2 以 1.1 为底的对数函数是增函数,所以不成立;对于选项 D,log32.9>0,log0.52.2<0,故不成 立,故选 B. 答案 (1)D (2)B 比较对数值大小时常用的四种方法 规律方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 【训练 1】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.14(a>0,a≠1). 解 (1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数, 所以 log31.9<log32. (2)因为 log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (3)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,则有 logaπ>loga3.14; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, 则有 logaπ<loga3.14. 综上所得,当 a>1 时,logaπ>loga3.14;当 0<a<1 时, logaπ<loga3.14. 题型二 【例 2】 与对数函数有关的值域和最值问题 (1)函数 f(x)=log1 (x2+2x+3)的值域是________. 2 (2) 若函数 f(x) = ax + loga(x + 1) 在 [0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值等于 ________. 1 (3)求 y=(log1 x)2- log1 x+5 在区间[2,4]上的最大值和最小值. 2 2 2 解析 (1)f(x)=log1 (x2+2x+3)=log1 [(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以log1 [(x+ 2 2 2 1)2+2]≤log1 2=-1,所以函数 f(x)的值域是(-∞,-1]. 2 (2)当 a>1 时,f(x)在[0,1]上单调递增,则最大值和最小值之和为 f(1)+f(0)=a+loga2+1 1 =a,解得 a= ,不满足 a>1,舍去; 2 当 0<a<1 时,f(x)在[0,1]上单调递减,则最大值和最小值之和为 f(0)+f(1)=1+a+loga2 1 =a 解得 a= ,符合题意. 2 答案 (3)解 1 (1)(-∞,-1] (2) 2 因为 2≤x≤4,所以log1 2≥log1 x≥log1 4, 2 2 2 即-1≥log1 x≥-2.设 t=log1 x,则-2≤t≤-1, 2 2 1 1 所以 y=t2- t+5,其图象的对称轴为直线 t= , 2 4 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 13 . 2 规律方法 求函数值域或最大(小)值的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的变化范围出发,通过对函数定义域、 性质的观察,结合解析式,直接得出函数值域. (2)配方法:当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如 y=a· [f(logax)]2+bf(logax)+c, 求函数值域问题时,可以用配方法. (3)单调性法:根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域. (4)换元法:求形如 y=logaf(x)型函数值域的步骤:①换元,令 u=f(x),利用函数图象和 性质求出 u 的范围;②利用 y=logau 的单调性、图象求出 y 的取值范围. 【训练 2】 函数 f(x)=log1 (3+2x-x2)的值域为________. 2 解析 设 u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,因为 u>0,所以 0<u≤4,又 y=log1 u 在(0, 2 +∞)上为减函数,所以log1 u≥log1 4=-2,所以函数 f(x)的值域为[-2,+∞). 2 2 答案 [-2,+∞) 考查方向 题型三 对数函数性质的综合应用 方向 1 解对数不等式 【例 3-1】 1 ? A.? ?2,+∞? 解析 已知 log0.3(3x)<log0.3(x+1),则 x 的取值范围为( 1? B.? ?-∞,2? 1 1? C.? ?-2,2? ) 1? D.? ?0,2? 因为函数 y=log0.3x 是(0,+∞)上的减函数, 3x>0, ? ? 所以原不等式等价于?x+1>0, ? ?3x>x+1, 答案 A 1 解得 x> . 2 方向 2 与对数函数有关的奇偶性问题 【例 3-2】 x+1 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). x-1 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并求函数的单调区间. 解 ? ?

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