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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课堂导学案北师大版必修4


2.6 平面向量数量积的坐标表示 课堂导学 三点剖析 1.两个向量数量积的坐标 【例 1】 已知:a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ )(0<α <β <π ) 求证:a+b 与 a-b 互相垂直. 思路分析:要证(a+b)⊥(a-b),只要证两者的数量积为 0,解题过程中要用到三角函数知 识 证法一:由已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 有 a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ ), a-b=(cosα -cosβ ,sinα -sinβ ), 又(a+b)·(a-b) =(cosα +cosβ )(cosα -cosβ )+(sinα +sinβ )(sinα -sinβ ) 2 2 2 2 =cos α -cos β +sin α -sin β =0, 所以(a+b)⊥(a-b). 证法二:∵a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 2 2 2 2 ∴(a+b)·(a-b)=a -b =|a| -|b| 2 2 2 2 =(cos α +sin α )-(cos β +sin β ) =1-1=0. ∴(a+b)⊥(a-b). 友情提示 两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 各个击破 类题演练 1 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证:△ABC 是直角三角形 证明:∵ AB =(2-1,3-2)=(1,1), AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴ AB · AC =1×(-3)+1×3=0, ∴ AB ⊥ AC 即 AB⊥AC ∴△ABC 是直角三角形. 变式提升 1 已知 a=(4,2),求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解析:设 b=(x,y)为所求单位向量 2 2 则 x +y =1① 又∵a⊥b ∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0 ∴4x+2y=0② 1 ? ? 5 5 , , ?x ? ?x ? ? ? ? 5 5 由①②得 ? 或? ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 . ? ? 5 5 ? ? ∴b=( 5 2 5 5 2 5 )或 b=( ? ). , ,? 5 5 5 5 2.建立向量与坐标间的关系,体现数形结合思想 【例 2】 已知 a、b 是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角. 思路分析: 本题思路较多.可以由条件求出 a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量 加法的几何意义,构造平行四边形求解. 2 2 解法一:根据|a|=|b|,有|a| =|b| , 又由|b|=|a-b|,得|b| =|a| -2a·b+|b| ,∴a·b= 而|a+b| =|a| +2a·b+|b| =3|a| , ∴|a+b|= 3 |a|. 设 a 与 a+b 的夹角为 θ ,则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 |a| . 2 1 | a |2 a ( a ? b) 3 2 ? ? cosθ = , | a || a ? b | 2 |a| 3|a| | a |2 ? ∴θ =30°. 解法二:根据向量加法的几何意义,在平面内任取一点 O,作 OA =a, OB =b,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB. ∵|a|=|b|,即| OA |=| OB |,∴OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时 OC =a+b, BA =a-b. 而|a|=|b|=|a-b|,即|

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