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山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考理科


绝密★启用前

山东省日照市第一中学 2014 届高三上学期第一次月考
数 学 试 题(理科)
注意事项: 1. 本试题共分 22 大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置,在草稿纸和本卷上答题无效。作图 时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第 I 卷(共 60 分)
一、 选择题 (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中,只 有一项符合题目要求.) 1.已知集合 A ? ??1,1? , B ? ? x 1 ? 2 x ? 4? ,则 A ? B 等于( A.??1, 0,1? B.?1? C.??1,1? ) ) D.?0,1?
]

2+x ?x? ?2? 2.设 f(x)=lg ,则 f?2?+f?x?的定义域为( ? ? ? ? 2-x A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4)

C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 3.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 4.设函数 f ( x) ? ? A. [?1 ,2] 5.若函数 f ( x) ? x 2 ?
?21? x , x ? 1 ?1 ? log 2 x, x ? 1

)

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( C.[1,+ ? )

)

B.[0,2]

D.[0,+ ? ) )

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x

A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数

B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数

6.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c , 2 1 的最小值为( ) [a, b, c ? (0,1)] ,已知他投篮一次得分的期望是 2,则 ? a 3b

A.

32 3

B.

28 3

C.

14 3

D.

16 3

7.已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是( A.



2 3

B. 2

C. 4

D. 6

8.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ?

9 ( x ? ?1) ,当 x=a 时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标系中,函数 x ?1

1 x ?1 g ( x) ? ( ) 的大致图象为 a

9.对于集合 M、N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设 A={y|y=3x, x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则 A⊕B 等于( A.[0,2) B.(0,2] )

C.(-∞,0]∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪[2,+∞) 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[0, t] 上有最大值 3,最小值 2,则 t 的取值范围是( A.[1, ??) B.[0, 2] C. (??, 2] D.[1, 2] )

11.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时, m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义下,集合

M ? {(a, b) a

? ? ※ b ? 12, a ? N , b ? N } 中的元素个数是(

)

A.10 个 B.15 个 C.16 个 D.18 个 2 12.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx| 的图象的交点共有( ) C.8 个 D.1 个

A.10 个 B.9 个

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上)

?x≥1, 13.已知集合 A={(x,y)|?x≤y, ?2x-y≤1
m 的最小值等于__________.

},集合 B={(x,y)|3x+2y-m=0},若 A∩B≠?,则实数

14.若(a+1) <(3-2a) ,则 a 的取值范围是__________. 15. 用二分法求方程 x2=2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时, 如果我们选取初始区间是[1.4,1.5], 则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________次 16.下列结论中是真命题的是__________(填序号). b ①f(x)=ax2+bx+c 在[0,+∞)上是增函数的一个充分条件是-2a<0; ②已知甲:x+y≠3,乙:x≠1 或 y≠2,则甲是乙的充分不必要条件; ? Sn? ③数列{an}(n∈N*)是等差数列的充要条件是 Pn?n, n ?是共线的. ? ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
]

?

1 2

?

1 2

17. (本小题满分 12 分) 3 已知集合 A={x∈R| ≥1},集合 B={x∈R|y= -x2+x-m+m2},若 A∪B=A,求实数 m 的 x+1 取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 f(a)=2-a|a+3|的值域. 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个根, 求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单 位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成 堵塞, 此时车流速度为 0; 当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时. 研究表明: 当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/小时)f(x) =x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 21.(本小题满分 12 分) 已知 p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R,x2+2x0-m-1=0,且 p∧q 为真,求实数 m 的取值 0 范围.

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f (θ )= 3sinθ +cosθ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重 合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ ≤π . 1 3 (1)若点 P 的坐标为( , ),求 f(θ )的值; 2 2

?x+y≥1 (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω :?x≤1 ?y≤1
求函数 f(θ )的最小值和最大值.

,上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并

高三第一次月考数学参考答案
一、选择题 1. B B ? ? x 1 ? 2 x ? 4? ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1} ,选 B. 2. B
2? x ? 0 ,得 f(x)的定义域为{x|-2<x<2}. 2? x x 2 故-2< <2,-2< x <2.解得 x∈(-4,-1)∪(1, 4). 2 否定原题结论的同时要把量词做相应改变,故选 D.



3 .D 4.D
5.C

对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数.
2

6.D 7.B 因为函数 f ( x ? 1) 为偶函数,所以 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即函数 f ( x) 关于 x ? 1 对称, 3 ? 2a ? a ? 1 所以区间 (3 ? 2a, a ? 1) 关于 x ? 1 对称,所以 ? 1 ,即 a ? 2 ,所以选 B. 2 9 9 9 8B y ? x?4? ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由均值不等式得 x ?1 x ?1 x ?1 9 9 9 y ? x ? 1+ ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 ? , x ?1 x ?1 x ?1 1 1 即 ( x ? 1) 2 ? 9 ,所以 x ? 1 ? 3, x ? 2 时取等号,所以 a ? 2 ,所以 g ( x) ? ( ) x ?1 ? ( ) x ?1 ,又 a 2 ? 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ?1 ,所以选 B. g ( x) ? ( ) ? ? 2 2 ?2 x ?1 , x ? ?1 ? 9. C 由题可知,集合 A={y|y>0},B={y|y≤2},所以 A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0}, 所以 A⊕B=(-≦,0]∪ (2,+≦),故选 C.
12 .A 画出两个函数图象可看出交点有 10 个.

10.D 11.B

二、填空题 A∩B≠?说明直线与平面区域有公共点,因此问题转化为:求当 x,y 满足约束条件 x≥1, x≤y,2x-y≤1 时,目标函数 m=3x+2y 的最小值.在平面直角坐标系中画出不等式组表 示的可行域.可以求得在点(1,1)处,目标函数 m=3x+2y 取得最小值 5. 1 ? 2 3 14. ( , ) ≧函数 y ? x 2 在定义域(0,+≦)上递减,?a+1>0,3-2a>0,a+1>3-2a, 3 2 2 3 即 <a< . 3 2 0.1 15. 7 设至少需要计算 n 次,则 n 满足 n ? 0.001 ,即 2n ? 100 ,由于 27 ? 128 ,故要达到精确 2 度要求至少需要计算 7 次. b 16. ②③ ①f(x)=ax2+bx+c 在[0, +≦)上是增函数, 则必有 a>0, 故①不正确. ② ? ? 0, 2a x=1 且 y=2,则 x+y=3. 从而逆否命题是充分不必要条件,故②正确. ③若{an}是等差数列,则 Sn=An2+Bn,即 S n =An+B,故③正确. n 13. 5 三、解答题

17 解:由题意得:A={x∈R|

x-2 ? 0 }=(-1,2], x+1

B={x∈R|x2-x+m-m2≤0}={x∈R|(x-m)(x-1+m)≤ 0} 由 A∪B=A 知 B?A,得-1<m≤2,-1<1-m≤2, 解得:-1<m<2. 18 解:(1)≧函数的值域为[0,+≦),
3 ?Δ=16a2-4(2a+6)=0, ?2a2-a-3=0, ?a=-1 或 a= . 2

3 (2)≧对一切 x∈R 函数值均为非负,?Δ=8 (2a2-a -3)≤0, ?-1≤a≤ ,?a+3>0, 2 3 2 17 ?f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=- (a+ ) ? (a ? [-1, 3 ]) . 2 2 4 ≧二次函数 f(a)在[-1, 3 ] 上单调递减, 2 3 19 19 ? f ( ) ≤f(a)≤f(-1),即- ≤f(a)≤4,?f(a)的值域为[- ,4]. 2 4 4 19 解:(1)因为 f (x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x)

即 log 4 (4 ? x ? 1) ? kx ? log 4 (4 x ? 1) ? kx ,? log 4 ? (2k ? 1) x ? 0 ,? k ? ?
1 2

4x ?1 ? log 4 (4 x ? 1) ? 2kx x 4

(2)依题意知: f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ?

x 1 x ? log 4 (4x ? 1) ? log 4 4 2 ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 2 x 2 ?由 f (x) ? log 4( a ?2 x ? a) 得 log 4 (4 x ? 1) ? log 4 (a2 x ? a) ? log 4 2 x

1

?4 x ? 1 ? ( a ? 2 x ? a ) ? 2 x ?? ? ﹡ (a ? 2 x ? a) ? 0 ? 令 t ? 2 x ,则*变为 (1 ? a)t 2 ? at ? 1 ? 0 (1) a ? 1, t ? ?1 不合题意

只需其有一正根.

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? (2)*式有一正一负根, ? 经验证满足 a ? 2 x ? a ? 0 ?a ? 1 1 t1t 2 ? ?0 ? 1? a ? (3)两相等正根, ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 经验证 a ? 2 x ? a ? 0 ?a ? ?2 ? 2 2 [ 20 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 200 再由已知得 200a+b=0,20a+b=60,解得 a=- ,b= . 3 3 0 ? x<20 ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)= ? 1 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? (2)依题意并由(1)可得 0 ? x<20 ?60x, ? f(x)= ? 1 . x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ?3 ?

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60× 20=1200;

1 1 x+200 ? x 2 10000 当 20≤x≤200 时, f(x)= x(200 ? ≤ f(x)= ( , x) ) ? 3 3 2 3 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时 ,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

21 解:2x>m(x2+1) 可化为 mx2-2x+m<0. 若 p:?x∈R, 2x>m(x2+1)为真, 则 mx2-2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当 m≠0 时,有 m<0,Δ= 4-4m2<0,∴m<-1. 2 若 q:?x0∈R, x 0 +2x0-m-1=0 为真, 则方程 x2+2x-m-1=0 有实根, ?Δ=4+4(m+1)≥0,?m≥-2. 又 p∧q 为真,故 p、q 均为真命题. ?m<-1 且 m≥-2,?-2≤m<-1. 22 解:(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 sinθ= 于是 f(θ)= 3 sinθ+cos θ= 3 ?
3 1 ,cosθ= . 2 2

3 1 ? =2. 2 2 (2)作出平面区域Ω(即三角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). ? 于是 0≤θ≤ . 2 ? ? ? ?? 又 f(θ)= 3 sinθ+cosθ=2sin(θ+ ),且 ≤θ+ ≤ , 6 6 6 3 ? ? ? 故当 θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2 ; 6 2 3 ? ? 当 θ+ = ,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 6 6


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