tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题2 必考点6 导数的应用课件 文


专题复习·数学(文)

专题二 必考点六

函数与导数 导数的应用

类 型

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义 类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点) 类型三 利用导数证明不等式(难点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

——突破构造函数进行转化

类型四 利用导数解决生活中的优化问题

——突破数学建模

高考·预测

运筹帷幄之中

1 利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数. 2 利用导数求函数的极值、最值,由函数极值求参数. 3 利用导数研究函数切线问题.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.基本初等函数导数公式及运算法则.
2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的线切 的斜率,其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x3 在(-∞, +∞)上单调递增,但 f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件, 当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时,则 f(x)为常函数,此函数不具有单调性.

知识 回扣
必记知识 重要结论

4.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而 言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可 能不止一个,也可能没有.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若 有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值. 2.若 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有两个极值点,且 x1<x2,
当 a>0 时,f(x)的图象如图,x1 为极大值点,x2 为极小值点,

当 a<0 时,f(x)图象如图,x1 为极小值点,x2 为极大值点.

知识 回扣
必记知识 重要结论

3.若函数 y=f(x)为偶函数,则 f′(x)为奇函数, 若函数 y=f(x)为奇函数,则 f′(x)为偶函数,

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义

[ 例 1]

(2014· 高考新课标卷Ⅱ)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3-3x2

+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a;
f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a, 曲线 y=f(x)在(0,2)处的切线方程为 y=ax+2, 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2 分) (4 分)

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义

(2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.
证明 由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. (5 分) 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增, (6 分) g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以 g(x)=0 在(-∞,0]有唯一实根.(8 分) 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). (9 分) h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+∞)没有实根. (11 分) 综上,g(x)=0 在 R 有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一 个交点. (12 分)

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义

得分点及踩点说明 1.第 (1)问中,导数 f′(x)求错,则本题为 0 分 2.第 (1)问中,不求切线方程,结果 a=1,只得 2 分 3.第 (2)问中,没有对 x≤0 或 x>0,不得分 4.只讨论一种情况,给 8 分.

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义

本题第?2?问中①两次构造函数g?x?和h?x?. ②讨论x∈?-∞,0]和?0,+∞?研究根的情况. ③借助放缩法,g?x?>h?x?≥h?2?. ④交点转化为方程根,都是本题“巧智取”的策略.

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义
自我挑战

1.(2016· 山西质检)已知函数 f(x)=xln x. (1)试求曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; 1 f′(x)=ln x+x·=1+ln x, x
∴f′(e)=2,又 f(e)=e, ∴切线方程为 2x-y- e=0.

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义
自我挑战

(2)若 x>1,试判断方程 f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解的个数.
方程 f(x)= (x- 1)(ax- a+ 1)的解即为方程 ln x- ?x- 1??ax- a+ 1? = 0 的解. x

?x- 1??ax-a+1? 设 h(x)=ln x- ,x>1. x2 ax2-x-a+1 ?x- 1??ax+a-1? 则 h′(x)=- =- , x2 x2 x>1. 当 a=0 时,h′(x)>0,h(x)为增函数,∴h(x)>h(1)=0,方程无解. 1-a 当 a≠0 时,令 h′(x)=0 得 x1=1, x2= . a

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义
自我挑战

1-a 当 a<0,即 x2= <1 时,∵x>1, a ∴h′(x)>0,则 h(x)为(1,+∞)上的增函数, ∴h(x)>h(1)=0,方程无解.
? 1-a 1 1-a? ? ? 时,h′(x)>0,h(x)为增函数; 当 0<a< ,即 >1 时, x∈ 1, 2 a a ? ? ?1-a ? ? x∈ ,+∞?时,h′(x)<0,h(x)为减函数. ? a ?

1-a 又 x→+∞时,h(x)=ln x- ax+ +2a-1<0,h(1)=0, x ∴方程有一个解.

大题 规范

类型一 函数的切线与导数——突破导数的几何意义
自我挑战

1-a 1 当 a≥ ,即 ≤1 时, 2 a ∵ x>1,∴h′(x)<0,h(x)为减函数,而 h(x)<h(1)=0,方程无解.
?1 ? 综上所述,当 a∈(-∞,0]∪? ,+∞?时,原方程无解; ?2 ?

1 当 0<a< 时,原方程有一个解. 2

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

[ 例 2]

x2 (2015· 高考山东卷)设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)= x.已知曲线 y= e

f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 2x-y=0 平行. (1)求 a 的值;
由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,所以 f′(1)=2. a a 又 f′(x)=ln x+ +1,∴ln 1+ +1=2,所以 a=1. x 1

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

(2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根? 如果存在,求出 k;如果不存在,请说明理由; 当 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根. x2 设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x- x, e 当 x∈ (0,1]时,h(x)<0. 4 4 又 h(2)=3ln 2- 2 =ln 8- 2>1-1=0, e e 所以存在 x0∈(1,2),使得 h(x0)=0. x?x- 2? 1 1 因为 h′(x)=ln x+ +1+ ,所以当 x ∈ (1,2) 时, h ′ ( x ) > 1 - >0, x ex e 当 x∈ (2,+∞)时,h′(x)>0,所以当 x∈ (1,+∞)时,h(x)单调递增. 所以当 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在 (k,k+1)内存在唯一的根.

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

(3)设函数 m(x)=min{f(x), g(x)}(min{p, q}表示 p, q 中的较小值), 求 m(x) 的最大值.
由 (2)知,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0,且 x∈ (0, x0)时,f(x) <g(x), x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x), ?x+ 1?ln x,x∈ ?0, x0], ? ? 2 所以 m(x)=? x , x∈?x0,+∞?. ? ? ex 当 x∈ (0, x0)时,若 x∈(0,1],m(x)≤0;

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

1 若 x∈ (1, x0),由 m′(x)=ln x+ +1>0, x 可知 0<m(x)≤m(x0);故 m(x)≤m(x0). x?2- x? 当 x∈ (x0,+∞)时,由 m′(x)= , ex 可得 x∈(x0,2)时,m′(x)>0,m(x)单调递增; x∈(2,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减. 4 可知 m(x)≤m(2)= 2,且 m(x0)<m(2). e 4 综上可得,函数 m(x)的最大值为 2. e

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

研究方程的根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小 值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程根的情况,这是导数 这一工具在研究方程中的重要应用.

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

自我挑战

2.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e 为自然对数的底数,a∈R). (1)判断曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线 y=g(x)的公共点个数; f′(x)=ln x+1,所以切线斜率 k=f′(1)=1
又 f(1)=0,∴曲线在点(1,0)处切线方程为 y=x-1
?y=-x2+ax-2 由? ?x2+(1-a)x+1=0 ?y=x-1

由 Δ= (1-a)2- 4=a2-2a-3=(a-1)(a-3)可知: 当 Δ>0 时,即 a<-1 或 a>3 时,有两个公共点; 当 Δ=0 时,即 a=-1 或 a=3 时,有一个公共点; 当 Δ<0 时,即-1<a<3 时,没有公共点.

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

自我挑战

?1 ? ? (2)当 x∈ ,e?时,若函数 y=f(x)-g(x)有两个零点,求 a 的取值范围. ?e ?

y=f(x)-g(x)= x2-ax+2+ xln x, 2 由 y=0,得 a=x+ +ln x. x ?x- 1??x+2? 2 令 h(x)= x+ +ln x,则 h′(x)= . x x2
?1 ? 当 x∈? , e?时,由 h′(x)=0,得 x=1. ?e ? ?1 ? 所以,h(x)在? ,1?上单调递减,在[1,e]上单调递增, ?e ?

大题 规范

类型二 利用导数解决函数零点(方程根)(重点)

——突破导数与函数单调性、极值关系

自我挑战

因此,hmin(x)=h(1)=3.
?1? 1 2 ?1? 由 h? ?= +2e-1,h(e)=e+ +1 比较可知 h? ?>h(e), e ? e? e ? e?

2 所以,结合函数图象可得,当 3<a≤e+ +1 时, e 函数 y=f(x)-g(x)有两个零点.

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化

[ 例 3]

已知函数 f(x)=x3-x- x.

ax2+ax ? 1? ? (1)令 g(x)= +ln x,若函数 y=g(x)在 0, ?内有极值,求实数 a e? ? f?x?+ x 的取值范围;
ax2+ax ax?x+1? a g(x)= 3 +ln x= +ln x=ln x+ ,定义域是(0,1)∪ x -x x?x+ 1??x-1? x-1 (1,+∞). x2- 2x+1-ax x2- ?2+a?x+1 1 a 则 g′(x)= - = = . x ?x- 1?2 x?x- 1?2 x?x- 1?2

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化

? 1? 设 h(x)= x - (2+a)x+1,要使函数 y=g(x)在?0, ?内有极值,则 h(x)=0 e? ?
2

有两个不同的根 x1,x2, ∴Δ= (2+a)2-4>0,得 a>0 或 a<-4,
? 1? 1 1 且一根在?0, ?,不妨设 0<x1< ,又 x1x2=1,∴0<x1< <e<x2, e? e e ? ?1? 由于 h(0)=1,则只需 h? ?<0, ? e?

1 1 1 即 2-(2+a) + 1<0,解得 a>e+ -2. e e e

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化

(2)在(1)的条件下,对任意 t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证:g(t)-g(s)>e+2 1 - . e 由 (1)可知,当 x∈ (1,x2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. 故 y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为 g(x2), 即 t∈(1,+∞)时,g(t)≥g(x2). 又当 x∈(0,x1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,x∈ (x1,1)时, g′(x)<0,g(x)单调递减. 故 y=g(x)在(0,1)的最大值为 g(x1),即对任意 s∈(0,1),g(s)≤g(x1).

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化

? 1? ? 由 (1)可知,x1+ x2=2+a,x1x2=1, x1∈ 0, ?, e? ?
? x2∈? ?e,+∞?

因此 g(t)-g(s)≥g(x2)-g(x1) a a x2 a a 1 =ln x2+ -ln x1- =ln + - =lnx2 + x - (x >e), 2 2 x1 x2- 1 x1- 1 x2 2 x2- 1 x1- 1 1 1 2 1 设 k(x)=ln x + x- =2ln x+x- , k′(x)= +1+ 2>0, x x x x
2

1 ∴ k(x)在 (e,+∞)单调递增,故 k(x)>k(e)=2+ e- , e 1 即 g(t)-g(s)>e+2- . e

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化

用导数证明不等式的基本思路是构造函数——就是根据题目特征,对问 题进行深入分析,找出已知与所求之间的联系纽带,善于变换思维,运 用转化的思想,化归的方法将数学命题由一种形式向另一种形式转换, 构造出恰当的函数.

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化
自我挑战

3.(2015· 高考天津卷)已知函数 f(x)=4x-x4,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间;
由 f(x)=4x- x4,可得 f′(x)=4-4x3. 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减. 所以,f(x)的单调递增区间为(- ∞,1),单调递减区间为(1,+∞).

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化
自我挑战

(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P, 曲线在点 P 处的切线方程为 y =g(x),求证:对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x);
设点 P 的坐标为(x0,0),则 x0=4 ,f′(x0)=-12.曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线方程为 y=f′(x0)· (x- x0),即 g(x)=f′(x0)(x- x0).令函数 F(x)=f(x)- g(x),即 F(x)=f(x)-f′(x0)(x- x0),则 F′(x)=f′(x)- f′(x0). 由于 f′(x)=-4x3+4 在 (-∞,+∞)上单调递减,故 F′(x)在 (- ∞,+ ∞)上单调递减.又因为 F′(x0)=0,所以当 x∈(- ∞,x0)时, F′(x)>0; 当 x∈ (x0,+∞)时,F′(x)<0,所以 F(x)在(-∞, x0)上单调递增,在(x0, +∞)上单调递减,所以对于任意的实数 x,F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的 实数 x,都有 f(x)≤g(x).
1 3

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化
自我挑战

(3)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1, x2, 且 x1<x2, 求证: x2-x1≤ a 1 - +43. ? 3 ? x- 由 (2)知 g(x)=-12? ?
? ? ? ?

.

1 a 设方程 g(x)=a 的根为 x′2,可得 x′2=- +43. 12

因为 g(x)在 (-∞,+∞)上单调递减, 又由(2)知 g(x2)≥f(x2)=a=g(x′2), 因此 x2≤x′2. 类似地,设曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=h(x),可得 h(x)=4x.对 于任意的 x∈ (-∞,+∞),

大题 规范

类型三 利用导数证明不等式(难点)——突破构造函数进行转化
自我挑战

有 f(x)-h(x)=-x4≤0,即 f(x)≤h(x). a 设方程 h(x)=a 的根为 x′1,可得 x′1= . 4 因为 h(x)=4x 在(- ∞,+∞)上单调递增,且 h(x′1)=a=f(x1)≤h(x1), 因此 x′1≤x1. a 1 由此可得 x2-x1≤x′2-x′1=- +43. 3

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模

[ 例 4]

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池

的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表 面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/ 平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率).

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模

(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;
因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh= 200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)= πr h= (300r-4r3). 5
2

因 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模

(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. π 因 V(r)= (300r-4r3). 5
π 故 V′(r)= (300r-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数;当 r∈ (5,5 3)时, V′(r)<0,故 V(r)在 (5,5 3)上为减函数. 由此可知, V(r)在 r=5 处取得最大值. 此时 h=8,即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,?1?建模:分析实际问题中各 量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的 函数关系式 y=f?x?.,?2?求导:求函数的导数 f′?x?,解方程 f′?x?=0.,?3? 求最值:比较函数在区间端点和使 f′?x?=0 的点的函数值的大小,最大? 小?者为最大?小?值.,?4?作答:回归实际问题作答.

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模
自我挑战

4.因液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污 染,或者说非常小.为减少汽车尾气对城市空气的污染,促进城市的健 康发展,2011 年某市决定对出租车进行使用液化气替代汽油的工作.请 根据以下条件: ①当前汽油价格为 5.8 元/升, 一升汽油大约能跑 12 千米; ②当前液化气价格为 6 元/千克,一千克液化气平均可跑 15~16 千米;③ 一辆出租车平均日行程 200 千米.

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模
自我挑战

(1)说明使用液化气比使用汽油更经济(即省钱);
设出租车行驶时间为 t 天,所耗费的汽油费为 W 元,耗费的液化气费为 5.8t 290t W′元,则由题意可知 W=200× = (t≥0,t∈N), 12 3 6t 6t 200× ≤W′≤200× ,即 75t≤W′≤80t(t≥0, t∈N), 16 15 290t >80t, 3 即 W>W′,所以使用液化气比使用汽油省钱.

大题 规范

类型四 利用导数解决生活中的优化问题——突破数学建模
自我挑战

(2)假设出租车改装液化气设备需 5 000 元, 请问多长时间省出的钱等于引 进设备的钱.
290t ①设 75t+5 000= ,解得 t≈231. 3 290t ②设 80t+5 000= ,解得 t=300. 3 所以,若改装液化气,则七个半月到十个月的时间省出的钱等于引进设 备的钱.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

导数作为一种研究函数性质的工具,在求单调性、最值、切线等方面发 挥了独特的作用,大有不可替代之势.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

一、导数在求函数最值、极值中的应用 [例 1] (唐山市 2016· 高三统考)设函数 f(x)=ax3-x+1(x∈R),若对于任 )

意 x∈[-1,1]都有 f(x)≥0,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2] B.[0,+∞)

C.[0,2] D.[1,2] ∵f(x)=ax3- x+1,∴f′(x)=3ax2-1,

当 a<0 时,f′(x)=3ax2-1<0,f(x)在[-1,1]上单调递减. f(x)min=f(1)=a<0,不符合题意. 当 a=0 时,f(x)=-x+1,f(x)在[-1,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=0,符 合题意.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

当 a>0 时, 由 f′(x)=3ax -1≥0, 得 x≥
? 1 <1,即 a> 时,f(x)在?-1,- 3 ? ? 上单调递增,在?- ?

2

1 或 x≤- 3a

1 , 当 0< 3a

1 3a

1? ? 3a?
? 1 ,1? 3a ?

1 , 3a

? 1? ? 上单调递减,在? 3a? ?

上单调递增, a≤2 ? ? f?-1?=-a+1+1=2-a≥0 ? ? ?a ≥ 4 , ∴? ? ,∴? 27 1 1? ? 1 ?3 ? ? ? ? f =a - +1≥0 ? 1 ? 3 a 3 a 3 a ? ? ? ? ? a> ? ? 3

1 ∴ <a≤2; 3

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”



1 1 ≥ 1 ,即 0< a ≤ 3a 3时,

f(x)在[-1,1]上单调递减, f(x)min=f(1)=a>0,符合题意. 综上可得:0≤a≤2.

C

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

?1?可导函数极值点的导数为 0, 但导数为 0 的点不一定是极值点, 如函数 f?x?=x3,当 x=0 时就不是极值点,但 f′?0?=0. ?2?极值点不是一个点,而是一个数 x0,当 x=x0 时,函数取得极值;在 x0 处有 f′?x0?=0 是函数 f?x?在 x0 处取得极值的必要不充分条件.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

?3?f′?x?在 f′?x?=0 的根的左右两侧的值的符号, 如果“左正右负”, 那 么 f?x?在这个根处取得极大值;如果“左负右正”,那么 f?x?在这个根处 取得极小值;如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则 f?x?在这个根 处无极值.在此步骤中,最好利用方程 f′?x?=0 的根,顺次将函数的定义 域分成若干小开区间,并列成表格,后依表格内容得其结论.表格的使用, 使极值点两边的符号一目了然,便于求极值.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

二、导数在函数单调性中的应用 例 2 ( ) B.[-1,+∞) D.[3,+∞)
? 1 ? ?1 若函数 f(x)=x +ax+x在?2,+∞? ?是增函数,则 a 的取值范围是 ? ?

2

A.[-1,0] C.[0,3]

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

法一: 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或 等于零恒成立,分离参数后求新函数的最值.
?1 ? 1 ? ? 由题意知 f′(x)≥0 对任意的 x∈ ,+∞ 恒成立,又 f′(x)=2x+a- 2 , x ?2 ?

1 ?1 ? 1 所以 2x+a- 2≥0 对任意的 x∈? ,+∞?恒成立, 分离参数得 a≥ 2 -2x, x x ?2 ?
?1 ? 1 ?1 ? 若满足题意,需 a≥? 2-2x?max.令 h(x)= 2-2x,x∈? ,+∞?.因为 h′(x) x ?x ? ?2 ?

2 ?1 ? ?1 ? =- 3 -2,所以当 x∈? ,+∞?时,h′(x)<0,即 h(x)在? ,+∞?上单 x ?2 ? ?2 ?
?1? 调递减,所以 h(x)<h? ?=3,故 a≥3.故选 D. ? 2?

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

法二:当 a=0 时,检验 f(x)是否为增函数,当 a=0 时, 1 ?1? 1 9 f(x)= x2+ ,f? ?= +2= ,f(1)=1+1=2, x ?2? 4 4
?1? f? ?> f(1)与增函数矛盾.排除 A、B、 C.故选 D. ?2?

D

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性), 只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明) 不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可. ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区 间上恒成立问题求解.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

三、导数在判断函数图象中的应用 [ 例 3] 1 (2015· 保定市高三质检)下列四个图象中,有一个是函数 f(x)= x3 3 )

+ax2+(a2-4)x+1(a∈R, a≠0)的导函数 y=f′(x)的图象, 则 f(1)=(

10 A. 3 2 C.- 3

4 B. 3 D.1

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

(基本法) 求导后得出导函数图象,代入验证. 1 f(x)= x3+ax2+(a2-4)x+1(a∈R,a≠0),f′(x)=x2+2ax+(a2-4),由 3 a≠0,结合导函数 y=f′(x)的图象,知导函数图象为③,从而可知 a2-4 =0,解得 a=-2 或 a=2,再结合-a>0 知 a=-2,代入可得函数 f(x) 1 2 = x3+(-2)x2+1,可得 f(1)=- . 3 3

C

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

此类题要从整体?定义域内?和局部?某个子区间?上,找清 y=f′?x?与 y= f?x?图象的对应关系.如例 4 中,从整个定义域看 f?x?→f′?x?,三次函数图 象→抛物线;局部性质如自我挑战中?-1,0?→?0,1?,f′?x?由小→大, 由大→小对应 f?x?由慢→快,由快→慢.

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

四、导数在求函数的切线中的应用 [ 例 4] (2014· 高考江西卷)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x

(e,e) . -y+1=0,则点 P 的坐标是________

(基本法) 先求函数的导数,再利用导数的几何意义确定切点的坐标. 1 设 P(x0, y0).∵y= xln x,∴y′=ln x+x·=1+ln x. x ∴ k=1+ln x0. 又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0= e.∴y0=eln e=e. ∴点 P 的坐标是(e, e).

解题绝招 系列讲座

神通的“求导”

在求曲线的切线方程时,注意两个“说法” ?1?求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程,在点 P 处的 切线,一定是以点 P 为切点;?如自我挑战 1?过点 P 的切线不管点 P 在不 在曲线上,点 P 不一定是切点. ?2?如果切点坐标未知时,应先设出切点坐标再求解.如例 4.


推荐相关:

...(文)复习课件第1部分-专题2-必考点6 导数的应用_图....ppt

2016届高三二轮数学()复习课件第1部分-专题2-必考点6 导数的应用_数学_高中教育_教育专区。2016届高三二轮数学()复习课件第1部分-专题2-必考点6 导数的...


...(文)复习课件:第1部分-专题2-必考点6 导数的应用_图....ppt

高考领航》2018-2019高三二轮数学()复习课件:第1部分-专题2-必考点6 导数的应用_高考_高中教育_教育专区。专题复习数学() 专题二 必考点六 函数与导数...


2016届高考文科数学第二轮必考点复习课件6_图文.ppt

2016届高考文科数学第二轮必考点复习课件6 - 专题复习数学() 专题二 函数与导数 必考点四 类型 函数图象与性质 类型 函数表示及定义域、值域 类型二 函数...


2016年高考数学二轮复习导数的综合应用-课件_图文.ppt

2016年高考数学二轮复习导数的综合应用-课件_数学_高中教育_教育专区。?第一部分 专题突破篇 专题一 集合、常用逻辑用语、 不等式、函数与导数 第6讲 导数的综合...


2017届高三数学(文)高考二轮复习课件 第1部分 专题1 第....ppt

2017届高三数学()高考二轮复习课件 第1部分 专题1 第6讲 导数应用(二) - 第六导数应用(二) 课前自主诊断 课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页 第...


...:第1部分 重点强化专题 专题6 第16讲 导数的应用_图....ppt

高考数学(理)二轮复习课件:第1部分 重点强化专题 专题6 第16讲 导数的应用_高考_高中教育_教育专区。第 16 讲 导数的应用 栏目 导航 题型 1 题型 2 利用...


...专题6 突破点16 导数的应用(酌情自选)PPT课件_图文.ppt

高考数学()二轮复习:第1部分 重点强化专题 专题6 突破点16 导数的应用(酌情...处的切线的斜率k=1, ∴切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0.] 2.(2016...


2017届高考数学二轮复习第2部分专题六函数与导数课件文.ppt

2017届高考数学二轮复习第2部分专题六函数与导数课件文 - 类型 类型二 类型三 限时规范训练 规范滚动训练 专题六 导数与函数 必考点 利用导数研究函数性质、证明...


...第1部分 重点强化专题 专题6 突破点16 导数的应用(....ppt

高考数学()二轮复习课件:第1部分 重点强化专题 专题6 突破点16 导数的应用(...处的切线的斜率k=1, ∴切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0.] 2.(2016...


2018年高考数学(理)二轮复习课件:第1部分 重点强化专题....ppt

2018年高考数学(理)二轮复习课件:第1部分 重点强化专题 专题6 第16讲 导数的应用_高考_高中教育_教育专区。第 16 讲 导数的应用 栏目 导航 题型 1 题型 2 ...


...2018年高考数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题6 第1....ppt

【高考数学】2018年高考数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题6 第16讲导数的应用(专题拔高特训PPT课件)_高考_高中教育_教育专区。第 16 讲 导数的应用 栏目 ...


2017届高考数学二轮复习 第2部分 专题六 函数与导数课....ppt

2017届高考数学二轮复习 第2部分 专题六 函数与导数课件 ._职高对口_职业教育_教育专区。2017 类型 类型二 类型三 限时规范训练 规范滚动训练 专题六必考点 ...


2016届高三二轮数学(文)复习课件第1部分-专题2-必考点4....ppt

2016届高三二轮数学()复习课件第1部分-专题2-必考点4 函数图象与性质 - 专题复习数学() 专题二 函数与导数 必考点四 类型 函数图象与性质 类型一 函数...


2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题4 必考点9 等差、....ppt

2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题4 必考点9 ...等比数列及数列求和课件 _数学_高中教育_教育专区...1 一般数列通项与递推关系的应用和计算. 2 等差(...


2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数3导数....ppt

2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数3导数及其应用课件文_数学_高中教育_教育专区。类型一 类型二 类型三 限时速解训练 综合提升训练滚动训练 必考点三...


2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题3 必考点8 解三._....ppt

2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题3 必考点8 解三._职高对口_职业教育_教育专区。2016 专题复习数学() 专题二 函数与导数必考点八 解三角形的综合问题...


...2017届高三数学(文)高考二轮复习课件第一部分专题一....ppt

【优化探究】2017届高三数学()高考二轮复习课件第一部分专题一第五讲导数应用(一) - 第五讲 导数应用(一) 考点导数的几何意义 试题 解析 考点考点二...


2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题6 必考点13 直._图文.ppt

2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题6 必考点13 直. - 专题复习数学() 专题六 解析几何 必考点十三 类型 类型一 直线方程问题 类型二 求圆的方程(重点...


2018届高考数学二轮复习第1部分专题二函数不等式导数1_....ppt

2018届高考数学二轮复习第1部分专题二函数不等式导数1_2_4导数的综合应用课件文_高考_高中教育_教育专区。 专题二 函数、不等式、导数 解题必备 解题方略 走进...


2018届高考数学二轮复习第1部分专题二函数不等式导数1_....ppt

2018届高考数学二轮复习第1部分专题二函数不等式导数1_2_3导数的简单应用课件文_高考_高中教育_教育专区。 专题二 函数、不等式、导数 解题必备 解题方略 走进...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com