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18学年高中数学数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念创新应用学案新人教A版1_2180301416

第 1 课时 数系的扩充和复数的概念 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P50~P51 的内容,回答下列问题. (1)方程 x +1=0 在实数范围内有解吗? 提示:没有. (2)为了解决 x +1=0 这样的方程在实数系中无解的问题, 教材中引入了一个什么样的 新数? 提示:引入了新数 i,使 i·i=-1. (3)把实数 a 与引入的新数 i 相加,把实数 b 与 i 相乘,各得到什么结果? 提示:分别得到 a+i,bi. (4)把实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加,得到什么结果? 提示:得到 a+bi. 2.归纳总结,核心必记 (1)复数的概念及代数表示 ①定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i =-1.全 体复数所成的集合 C 叫做复数集. ②表示:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代 数形式,a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部. (2)复数相等的充要条件 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定 a+ 2 2 2 bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d. (3)复数的分类 ? ?实数 b= ①复数 a+bi(a,b∈R)? ?虚数 b ? , 当a=0时为纯虚数 ②集合表示: 1 [问题思考] (1)复数 m+ni 的实部、虚部一定是 m、n 吗? 提示:不一定.只有当 m∈R,n∈R 时,m, n 才是该复数的实部、虚部. (2)对于复数 z=a+bi(a,b∈R),它的虚部是 b 还是 bi? 提示:虚部为 b. (3)复数 z=a+bi 在什么情况下表示实数? 提示:b=0. (4)复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系? 提示: (5)我们知道 0 是实数,也是复数,那么它的实部和虚部分别是什么? 提示:它的实部和虚部都是 0. (6)a=0 是 z=a+bi 为纯虚数的充要条件吗? 提示:不是.因为 当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a=0 是复数 z=a +bi 为纯虚数的必要不充分条件. 1 (7)z1=3+2i,z2= - 3i,z3=-0.5i,则 z1,z2,z3 的实部和虚部各是什么?能否 2 说 z1>z2? 1 提示:z1 的实部为 3,虚部为 2;z2 的实部为 ,虚部为- 3;z3 的实部为 0,虚部为- 2 0.5.因为两个虚数不能比较大小,所以不能说 z1>z2. (8)若(a-2)+bi> 0,则 a,b 应满足什么条件? 提示:要使(a-2)+bi>0 成立,则(a-2)+bi 应为实数,且 a-2>0,即? ?a>2, ? ?b=0. ? ? ?b=0, ? ?a-2>0, 故? [课前反思] 通过以上预习,必须掌握的几个知识点. (1)复数的定义是什么? 2 ; (2)复数的代数形式是什么?什么是复数的实部和虚部? ; (3)复数相等的充要条件是什么? ; (4)复数的分类是什么?复数 z=a+bi(a, b∈R)是实数、 虚数、 纯虚数的条件是什么? . 讲一讲 1.给出下列三个命题:(1)若 z∈C,则 z ≥0;(2)2i-1 的虚部是 2i;(3)2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( ) 2 A.0 B.1 C.2 D.3 [尝试解答] 对(1),当 z∈R 时,z ≥0 成立,否则不成立,如 z=i,z =-1<0,所以 (1)为假命题;对(2),2i-1=-1+2i,其虚部为 2,不是 2i,(2)为假命题;对(3),2i =0+2i,其实部是 0,(3)为真命题.故选 B. [答案] B 2 2 (1)两个复数不全是实数,就不能比较大小. (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数 的性质和结论时,一定要关注在哪个数集上. (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为 a+bi 的形式,更要注意这里 a,b 均为实数时,才能确定复数的实、虚部. 3 练一练 1.下列命题中: ①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②复数 z=0 的实部和虚部均为 0; ③若( x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=±1; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的序号是( A.① C.②③ B.②④ D.③④ ) 2 2 解析:选 B 在①中,若 a=-1, 则(a+1)i 不是纯虚数, 故①错误; 在③中,若 x=-1, 则(x -1)+(x +3x+2)i=0 为实数, 故③错误;②、④正确. 2 2 [思考] 当 a,b 满足什么条件时,复数 z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚数? 名师指津:当 b=0 时,a+bi 是实数;当 b≠0 时,a+bi 是虚数;当 a=0,b≠0 时, a+bi 是纯虚数. 讲一讲 x2-x-6 2 2.实数 x 分别取什么值时,复数 z= +(x -2x-15)i 是(1)实数;(2)虚数; x+3 (3)纯虚数. [尝试解答] (1)当 x 满足? 即 x=5 时,z 是实数. ?x -2x-15≠0, ? (2)当 x 满足? ?x+3≠0, ? 2 ?x -2x-15=0, ? ? ?x+3≠0, 2 即 x≠-3 且 x≠5 时,z 是虚数. x -x-6 ? ? =0, (3)当 x 满足? x+3 ? ?x2-2x-15≠0, 2 即 x=-2 或 x=3 时,z 是纯虚数. 4 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均 有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 练一练 2.实数 m 为何值时,z=lg(m +2m+1)+(m +3m+2)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)

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