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2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数学(二)(理科)

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:2013.4.18 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

2013.4

2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? D. ??2, ?1, 0? 2.已知复数 z 的实部为,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 B. [?2,1) C .

?

?

?

?

?0,1, 2?

? A. 3

B. 3i

? C. 3i

? D. 3

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况, 随机测量了其中 100 株树木的底部周长 (单位: cm) 根 . 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这 100 株树木中,底部周长小 于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80
0.04 频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

0.02 0.01

A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上 单调递增; 1]

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图

C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平 面相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 个 C. 2 个 D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图),设顶 点 P ( x, y ) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: ① f ( x) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ y B

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2

OP A 第 8 题图

x

其中正确的说法个数为: A.0
[来源:Zxxk.Com]

B.

C. 2

D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e x0 ? 0 ”的否定是 10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

. . .

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍,则 n 等于

12 . 已 知 圆 C 经 过 点 A(0,3) 和 B(3,2) , 且 圆 心 C 在 直 线 y ? x 上 , 则 圆 C 的 方 程 为 .

13.将集合{ 2 s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大, 左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第 j 列 的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

3 5 9 ? ? 10 ?
第 13 题图

6 12 ?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

B 14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2 cos ?
的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

O

15.(几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

A E C
第 15 题图

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.

D

三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象 限,已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

17.(本题满分 12 分)

市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如 图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的. 同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再 返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

1 ,道 10

1 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. 5

A

D



B


E
第 17 题图



C

18.(本题满分 14 分) 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 AB、CD 上 , 并 且 满 足

AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1
在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值. A

1

A

D F

D1

E

E

F B

B
图甲

C
第 18 题图

G
图乙

C

19.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线的对 称点 P 在曲线 C2 上, 且直线与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方 程.

20. (本题满分 1 4 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少 对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐 渐 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 :

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?
染产生有效的抑制作用.

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时,才能对污 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

[来源:Zxxk.Com]

1 时,马上再投放 1 个 3

单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大 ...... 值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ..

21.(本题满分 14 分) 设 函 数 f 0 ( x) ? x ? e
2 1 ? x 2

, 记 f 0 ( x) 的 导 函 数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的 导 函 数

f1?( x) ? f 2 ( x) ,

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f 3 ( x) ,?, f n ?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? ? ? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)

一、填空题 二、填空题 9. ? x ? R, e x ? 0 13. 80 10. CDBCABBC

评分参

?
4

11. 8

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

?? 2 ? 14. ? sin ? ? ? ? ? (或 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ) 4? 2 ?

15.

1 3

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知:A(?1,3) ,B(cos ? ,sin ? ) , 1分 ??? ? OA ? (?1,3) ??? ? ??2 分 OB ? (cos ? ,sin ? ) OA ? OB , ??? ??? ? ? O A O? 0 ? B ??3 分 ? cos ? ? 3sin ? ? 0 ∴ 1 tan ? ? ??4 分 3 解法 2、 由 题 可 知 : A(?1,3) ??1 分 B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3 kOB ? tan ? ??2 分 ∵

?? , 得 ,

, , ∴

OA ? OB



K OA ? K OB ? ?1

??3 分

?3 tan ? ? ?1 , 得 1 ??4 分 tan ? ? 3 解法 3、 设 B( x , y ) ,(列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分, 求正切 1 分) ⑵解法 1、 ? 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? ( 每 式 1 ? ?? 10 10 10 10 分) ??6 分 4 3 ∵ OB ? 1 cos ? ? , 得 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ( 列 式 计 算 各 1 5 5 分) ??8 分 3 10 4 10 3 3 10 ( 列 式 计 算 各 1 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 分) ??10 分 1 1 3 10 3 ∴ S ?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计 算各 1 2 2 2 10 分) ??12 分 解法 2、 AO 由 题 意 得 : 的 直 线 方 程 为 ??6 分 3x ? y ? 0 3 4 3 则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B( , ) ( 列 式 计 算 各 1 5 5 5 分) ??8 分 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 则 点 B 到 直 线 AO 的 距 离 为 d ? ? 10 ( 列 式 计 算 各 1 10 10 分) ??10 分 1 1 3 10 3 又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB ? AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 2 2 10 2 1 分)?12 分 解法 3、 3 4 3 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B( , ) ( 每 式 1 5 5 5 分) ??6 分 ??? ? 即 : , OA ? (? 1 , 3 ) ??? ? 4 3 OB ? ( , ) , ??7 分 5 5
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10



OB ? 1



??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 5 5 ? 10 ??9 分 cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分) ∴ 3 10 ? sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ? 10 ?10 分 1 1 3 10 3 则 S ?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 2 2 10 2 分) ??12 分 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 2 10 2 5 20

分) ??2 分 所 以 李 生 小 孩 能 够 按 时 到 校 的 概 率 是 1 ? 0.15 ? 85% ; ??3 分 ⑵ 甲 到 丙 没 有 遇 到 拥 堵 的 概 率 是 17 , ??4 分 20 17 丙 到 甲 没 有 遇 到 拥 堵 的 概 率 也 是 , 20 ??5 分 甲 到 乙 遇 到 拥 堵 的 概 率 是 1 1 1 1 1 1 2 ??6 分 ? ? ? ? ? ? , 3 10 3 10 3 5 15 2 13 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的 15 15 17 17 13 3757 ? 0.8 , 概率是 ? ? ? 所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论 20 20 15 6000 各 1 分)??8 分 ⑶ 依 题 意 可 以 取 ? . ??9 分 0, 1, 2 13 17 221 2 17 13 3 73 ? ? ? ? ? ? , P(? ? 1) = , P(? ? 2) = P(? ? 0) = 15 20 300 15 20 15 20 300 2 3 6 ? ? ,?11 分 15 20 300

?

0

1

2

分 布

p

221 300

73 300

6 300

列是:

221 73 6 85 17 ? 0+ ?1+ ? 2= ? 300 300 300 300 60 ??12 分 E? ?

.

18 . ⑴ 证 明 : 在 图 甲 中 , 易 知 AE / / DF , 从 而 在 图 乙 中 有 ??1 分 A1 E // D1 F , 因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2 分)??4 分 ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 分 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H , 分 分 图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ;??11 分(三角形全等 1 分) AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE , A1 H ? AH ? 得 , ??12 ? AG 10 分 4 于是,HG ? AG ? AH ? , ??13 10 分 Rt ?A1GH 在 中 , A1 HG 2 cos?A1GH ? ? ,即所求 A D D1 A1 H 3 F 2 二面 角的余弦值为 . ??14 H 3 H F E M E 分 C B G C G B
图甲 图乙
[来源:学科网]

??5 ??6 ??8 ??9

所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角,

解法 2、 如图,在图乙中作 GH ? EF , 垂足为 H , 连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF , 则 A1G ? EF , 分 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF , A、G、H 则 三 点 共 线, ??6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 , 则 AG ? 10 ; AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE , A1 H ? AH ? 得 , ??7 ? AG 10 分 4 于是, HG ? AG ? AH ? , 10 ??5

? 6 ? ? 4 ? A 在 Rt ?A1GH 中, 1G ? A1 H 2 ? HG 2 ? ? ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?


2

2

??8

作 GT / / BE 交 EF 于 点 T , 则 TG ? GC , 以 点 G 为 原 点 , 分 别 以 GC、GT、GA1 所在直线为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 ??? ? ???? EA 则 G (0, 0, 0) 、E (1, ?1, 0) 、F (2, 2, 0) 、A1 (0, 0, 2) , EF ? (1,3,0), 1 ? ( ?1,1, 2) (坐 标系、坐标、向量各 1 分) ??11 分 ???? 显 然 , GA1 ? (0, 0, 2 ) 是 平 量, ??12 分 面

BEFC











? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ?

? x ? ?3 y, ? , 不 妨 取 , 则 y ? ?1 ? ? z ? ?2 2 y ? ? ??13 分 n ? (3,? 1, 2 2 , ) 设平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以, ???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? , 所 以 , 平 面 BEFC 与 平 面 3 | GA1 |? n | | 2 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2

A1 EFD1





















2 . 3

??14 分

19. ⑴由题可知,圆 心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相 等 ??2 分 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物

线 ??4 分 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所 以 动 圆 圆 心 C 的 轨 迹 C2









y2 ? 4x . ⑵解法 1、
m n 2 2

??5 分

设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,
? m 8k 2 ?n ? k ( ? 4) ?m? ? ?km ? n ? 8k ? 2 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化 所以 ? 2 ,即 ? ,解之得 ? ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? n ? k ? ?1 ? m ? ? 1? k2 ?

简 1 分) ??8 分

将 其 代 入 抛 物 线 方 程 , 得 : (?
k2 ?1.

8k 2 8k 2 ) ? 4? 1? k2 1? k2

, 所 以

??9 分 立
? y ? k ( x ? 4) ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2









y







(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0

??11 分
2


a ? b ? 16 ,
2 2

? ? (?8a ) ? 4(b ? a )(16a ? a 2 b 2 ) ? 0

, 所 以
a? 34 2

得 , 即

??12 分 到
b2 ? a 2 ? 1

[来源:Zxxk.Com]









2a 2 ? 17



2a ? 34 ,
2 2

??13 分 因 此 , 椭 圆 C1 长 轴 长 的 最 小 值 为 ??14 分

34 . 此 时 椭 圆 的 方 程 为

x y + ? 1. 17 15 2 2 解法 2、 ? m2 ? ,m? 设 P? ? 4 ?

, 因 为 O、P 两 点 关 于 直 线 对 称 , 则 ??6 分

OM ? MP =4 ,


? m2 ? ? 4 ? ? m2 ? 4 ? ? 4 ?

2









m ? ?4 ??7 分 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B .

则 k AB ? ? 分) 联

1 ?1 , 于 是 直 线 方 程 为 y ? x ? 4 ( 斜 率 1 分 , 方 程 1 kOP ??9 分



? y ? x?4 ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2







y







(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0

??11 分
2


a ? b ? 16 ,
2 2

? ? (?8a ) ? 4(b ? a )(16a ? a 2 b 2 ) ? 0

, 所 以
a? 34 2

得 , 即

??12 分 到
b2 ? a 2 ? 1









2a 2 ? 17



2a ? 34 ,
2 2

??13 分 因 此 , 椭 圆 C1 长 轴 长 的 最 小 值 为 ??14 分

34 . 此 时 椭 圆 的 方 程 为

x y + ? 1. 17 15 2 2

20













0? x?3 ? ? x 6 1 ? ?2 ? 6 ? x ? 3 ? 3 ?



? 3? x ?6 ? ??2 分 ? x 1 ?1 ? 6 ? 3 ? 1? x ? 3 3? x ? 4 解 得 或 , 即 1? x ? 4 ??3 分 能 够 维 持 有 效 的 抑 制 作 用 的 时 间 : 4 ?1 ? 3 小 时. ??4 分 ⑵ 由⑴知, x ? 4 时第二次 投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ??5 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故 ? ( x ? 4) ? 6 11 x 6 ? x ? g ? x? = + = ; ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 6 ? ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ?1 ? 6 ? ? ? ??6 分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 6? x?7 g ( x) ? 2 ? ? 当 时 , 6 ( x ? 4) ? 3 8 x 6 = ? ? ; ??7 分 3 6 x ?1 7 ? x ? 10 当 时 , x?4 5 x ; ??8 分 g ( x) ? 1 ? ? ? 6 3 6

所 以 1 1x 6 ? 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x g ( x) ? ? ? ? 6? x?7 ??9 分 ? 3 6 x ?1 ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 4? x?6 当 时 , 6 10 x ?1 6 11 x 6 10 x ? 1 10 ? )? ?2 ? = ?( = ?2 2 ; g ( x) ? ? ? 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3 x ?1 6 当且仅当 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 ? 3 x ?1 分)??11 分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 7 ? x ? 10 当 时 , 为 减 函 数 ; 故 g ( x) 1 ??12 分 g ( x) max = g (7) ? , 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 又 ( ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中 3 2 6 6 碱 浓 度 的 最 大 值 为 10 ?? ?2 2 . 3 13 分 答: 第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第 10 一 次 投 放 1? 3 2 小 时 后 , 水 中 碱 浓 度 的 达 到 最 大 值 为 ?2 2 . 3 ??14 分 21 . ⑴ 易 1 ? x ? 1 ? 得, f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ??1 分 ? 2 ? 1 ?1 2 ? ?2x f2 ? x ? ? ? x ? 2x ? 2 ? e ?4 ? ??2 分 1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 , 所 以 2 ? 8 ? f3 ( 0 )? ? 3 ??3 分 ⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x 2 ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e ? x 的导函数为 对
f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .

f n ?1 ( x)









f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x 2 ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e ? x 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, ? ? ?bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ? ②, ??5 分 ? cn ? bn ?1 ? ? ? cn ?1 ③

??4 分


an ? ? , n? N ,
n


bn
n

得 ??6 分
? 2 ? bn ?1



代入②得: bn ? 2 ? ? n ?1 ? ? ? bn ?1 ,即 故 bn ? 2n ? ? n ?1 , n ? N .

?

?

? n ?1

,其中 n ? 1, 2,? : ??7 分


cn
n

代入③得: cn ? 2n ? ? n ? 2 ? ? ? cn ?1 ,即 故 cn ? n n 1 ??n ? 2 ( ? )
, n ?, N
n?2

?

?

2n

?

2

?

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? . : ??8 分



因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? , n ? N . 1 1 将 ??? 代 入 得 : , 其 中 f n (0) ? n(n ? 1)(? ) n ? 2 2 2 n? N . ??9 分 1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) n ?1 , 2 1 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 ? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 , 故 当 S n 最 大 时 , n 为 奇 数. ??10 分 S 2 k ? 1 ? S 2k ? 1 ? f 2k ? 2 ? f 2k ? 1 (0) (0) 时 , n ? 2k ? 1(k ? 2) ??11 分 1 1 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) 2 k , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 2 2 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) 2 k ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 k ?1 2 2 1 2 k ?1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) ? 0, 2 ? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 , 因 此 数 列 ?S 2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是 递 减 数 当 ??12 分 又



S1 ? f 2 (0) ? 2
??13 分 当



S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 ,


n ?1



n?3





Sn









S1 ? S3 ? 2 .

??14 分


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