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江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 立体几何 空间向量与立体几何(1)教学案(无答案)

空间向量与立体几何(1)
【教学目标】用向量方法证明空间线面位置关系的定理;用向量方法判断空间线面平行与垂直关系. 【教学重点】用空间向量方法证明空间线面位置关系的一些定理. 【教学难点】向量方法判断空间线面平行与垂直关系. 【教学过程】 一、知识梳理: 1.空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 平行于同一平面的向量 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在 λ ∈R,使 a=λ b 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序实数 对(x,y),使 p=xa+yb 定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实 数组{x,y,z}使得 p=x a+y b+z c 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对平面 ABC 内任一点 P 都存在唯 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 一的三个有序实数 x、y、z,使 OP =x OA +y OB +z OC 且 x+y+z=1

空间向量 基本定理

2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积: ①a·b = |a||b|cos 〈 a ,b 〉 ; 2 2 2 x +y +z . (2)向量的坐标运算: 数量积 共线 垂直 夹角 公式 3.用向量描述空间线面关系:

②a⊥b?a·b = 0(a , b 为非零向量 ) ;

③|a| = a , |a| =

2

2

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) a·b=a1b1+a2b2+a3b3 a∥b? a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R,b≠0) a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0 a1b1+a2b2+a3b3 cos〈a,b〉= 2 2 2 2 2 2 a1+a2 +a3 b1+b2+b3

设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则有结论: 平 行 垂 直

l1 与 l 2 l1 与 ? 1

?1 与 ? 2
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面平行位置关系的方法,判断依据是相关的判定与性质. 二、基础自测: 1.已知点 A(3,-1,0)和向量 AB =( 2,5 ,-3),则点 B 的坐标是 2.已知△ABC 的三个顶点为 A(2,3,3),B(4,-3,7),C(0,5,1), 则 AB 边上的中线长为 .

??? ?



3.已知 a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则 a,b 夹角的余弦值为________.

4.已知点 A(-3,0,-4),点 A 关于原点的对称点为 B,则|AB|等于________. 三、典型例题: 例 1.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O 为原点,点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 OE ⊥b?

??? ?

例 2.已知正方体 ABCD ?A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; 2 (2)若点 G 在 BC 上,BG= ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥平面 BCC1B1. 3

例 3.如图,三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

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四、课堂反馈: 1.已知点 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点 P 的坐标是(x,0,y),若 PA⊥ 平面 ABC,则点 P 的坐标是______________. ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 2.在空间四边形 ABCD 中, AB · CD + AC · DB + AD · BC =________.

???? ? 1 ????? 3.正方体 ABCD ?A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且 AM = MC1 ,N 为 B1B 的中点, 2 ???? ? 则| MN |=________.

五、课后作业: 学生姓名:___________ 1.如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,

PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD;

(2)PD⊥平面 ABE.

2.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC=2,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,E 为 B1C 的中点. (1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦值; (2)在线段 AA1 上找一点 F,当 AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF?

3.如图所示,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,B C=2. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值.

4.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. 9 → → (1)设AD=λ AB,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 ,求 λ 的值; 25 (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 D—CB1—B 的余弦值.

5.如图,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1DNM 的大小为 θ . 6 (1)当 θ =90°时,求 AM 的长; (2)当 cosθ = 时,求 CM 的长. 6

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