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郑州一中14届高三数学理科期中考试试题


郑州一中 2013—2014 学年上期中考 14 届 高三理科数学试题
命题人: 审题人:
说明: 1、本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)满分 150 分,时间 120 分钟. 2、将第Ⅰ 卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ 卷的答题表(答题卡)中. 第Ⅰ 卷 (选择题、填空题,共 80 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. A. i

i 为虚数单位,若

a 1? i ? ,则 a 的值为( 1? i i
B. ? i ) C. ? 2 i

) D. 2i

2. 函数 f ? x ? ? 1 ? x 的定义域为( A. ? ??, ?1?

?1, ???

B. ? ??,1?

C. ? ?1,1? )

D. ??1,1?

3. 函数 f ( x) ? log 2 x ? 2 x ?1 的零点必落在区间( A. ( , )

1 1 8 4

B. ( , )

1 1 4 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, 2) )

4. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? A. 15 5. 已知 f ( x) ? sin B. 20 C. 25

?

3 0

(1 ? 2 x)dx , S20 ? 17, 则 S30 =(
D. 30

?
3

( x ? 1) ? 3 cos

?
3

( x ? 1) ,则 f (1) ? f (2) ?

? f (2010) ? (



A .2 3 B. 3 C.1 D.0 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应程序, 输出的结果是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 7. 设向量 a ? (cos 55 ? , sin 55 ? b ),? 数,则 | a ? tb | 的最小值为( A. ) C. 1
2

,若 (cos ? 25 , sin ?25 ) t 是实

2 2

B.

1 2
2

D.

2

8. 已 知 双 曲 线 kx ? y ? 1? k ? 0? 的 一 条 渐 近 线 与 直 线

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则该双曲线的离心率是(
高三理科数学答题卷

)
第 1 页

A.

5 2

B.

3 2

C. 4 3

D.

5

9. 同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ? 函数”的一个函数是 A. y ? sin( ( )

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是增 6 3

x ? ? ? ? ? ) B. y ? cos( 2 x ? ) C. y ? sin( 2 x ? ) D. y ? cos( 2 x ? ) 2 6 3 6 6

10. 曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 ( x ?[ ?2, 2])与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 两个公共点时,则实数 k 的 取值范围是( A. (0, ) B. ( , )

5 ) 12

1 3 3 4

C. (

5 3 , ] 12 4

D.(

5 , ?? ) 12

11. 设 a ? R ,已知函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数 f / ( x) 为奇函数,若曲线 y ? f ( x) 的

8 ,则切点的横坐标为( ) 3 A. ? ln 2 B. ? ln 3 C. ln 2 D. ln 3 1 3 1 2 12. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2bx ? c, 函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内取极大值,在区间 3 2 b?2 ?1, 2? 内取极小值,则 u ? a ? 1 的取值范围是( )
一条切线的斜率是 A. ( ??, )

1 4

B. ( ,1)

1 4

C. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

D. ?

?1 2? , ? ?4 3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 如果 sin ?? ? A? = 14. 观察下列各式:

1 ?3 ? ,那么 cos ? ? ? A ? 的值是_______________. 2 ?2 ?
1 ? 12 ,

2 ? 3 ? 4 ? 32 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 , ,

可以得出的一般结论是 . 15. 已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体 的体积为 .

高三理科数学答题卷

第 2 页

16. 给出下列四个命题: ① 命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定为“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”; ② 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n 2 ? 2n ? 1 n ? N * ,则 an ? 2n ? 1 n ? N * ;
2 2 ③ 若 a, b ? [0,1] ,则不等式 a ? b ?

?

?

?

?

? 1 成立的概率是 ; 4 4
5 2

④ 函数 y ? log2 ( x 2 ? ax ? 2)在[2,??) 上恒为正,则实数 a 的取值范围是 (?? , ) . 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号) .

第Ⅱ 卷 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量

? B ? m ? (2sin( A ? C ), 3), n ? ? cos 2B, 2cos 2 ?1? ,且向量 m , n 共线. 2 ? ? (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可 以由此计算出自己每天的碳排放量 .例如:家居用电的碳排放量(千克) =耗电度数 × 0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数× 0.785 等.某班同学利用寒假在两个小 区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称 为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

(I)如果甲来自 A 小区,乙来自 B 小区,求这 2 人中恰有 1 人是低碳族的概率; (II)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列.如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 2 个人,求这 2 人中至少有 1 人是低碳族的概率.

高三理科数学答题卷

第 3 页

19. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形, ? BAC=900, AB=AC=2,AA 1 =2 2 ,E, F 分别是 BC、AA1 的中点. 求(1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角; (2)三棱锥 A1-BEF 的体积. B 20. (本小题满分 12 分) B1

A1 C1 F A C E

已知椭圆的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点为 D(2, 0) ,设点 A ?1, ? . (Ⅰ )求该椭圆的标准方程; (Ⅱ )若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ( x ? 1) 在 x ? 1 处有极值.
2

? 1? ? 2?

(Ⅰ )求实数 a 值; (Ⅱ )求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ )试问是否存在实数 m ,使得不等式 m ? tm ? e ?14 ? f ( x) 对任意 x ??e ?1, e? 及
2 2

t ? ? ?1,1? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
请考生在第 22 ,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,半径为 2 3 的⊙ O 中,OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交 ⊙ O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P.若 OA= 3 OM,求 PN 的长. B 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? a |? 8 的解集不是空集, 求 a 的最小值. C O

M A N

P

高三理科数学答题卷

第 4 页

郑州一中 2010—2011 学年上期中考 14 届 高三理科数学试题 参考答案
一、选择题: 1-5CDCAD 6-10BBACC 二、填空题: 11-12DB

1 2 3 15. 2
13. 三、解答题:

14. n ? ? n ? 1? ? 16. ① ④
? ?

? ? 3n ? 2 ? ? ? 2n ? 1? , ? n ? N ? .
2

17.解: (1)由向量 m, n 共线有: 2sin( A ? C ) ? 2cos 即 tan 2B ? 3 , 又0 ? B ? 则 2B =

? ?

2

B ? ? 1? ? 3 cos 2 B, 2 ?

?
2

,所以 0 ? 2 B ? ? ,

? ? ,即 B ? 6分 6 3 2 2 2 (2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B,
则 1 ? a2 ? c2 ? 3ac ? (2 ? 3)ac , 所以 ac ? 2 ? 3, 当且仅当 a ? c 时等号成立 所以 S ?ABC ?

1 1 ac sin B ? (2 ? 3) . 2 4

12 分

18.解: (I)记这 2 人中恰好有 1 人是低碳族为事件 A

1 1 1 4 1 P ( A) ? ? ? ? ? 2 5 2 5 2
所以这 2 人中恰有 1 人是低碳族的概率

1 . 2

.……6 分

1 1 a ? ? (1 ? ) 2 2 5 ? 8 (II)设 A 小区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 P ? a 25 8 17 ? 2 周后低碳族的概率 P ? 1 ? 25 25
设任选 2 个人,这 2 人中至少有 1 人是低碳族为事件 B,则

高三理科数学答题卷

第 5 页

? 8 ? 561 P ? B? ? 1? ? ? ? ? 0.8976 ? 25 ? 625
所以这 2 人中至少有 1 人是低碳族的概率

2

561 . 625

…………12 分 则 DF ∥A1 B ,

19.解: (1)方法一:取 AB 的中点 D,连 DE、DF, ∴ ∠ DFE(或其补角)即为所求. 由题意易知, DF ?

3 , DE ? 1 , AE ? 2

由 DE⊥ AB、DE⊥ A A1 得 DE⊥ 平面 ABB1A1 ∴ DE⊥ DF,即△ EDF 为直角三角形, ∴tan?DFE ?

DE 1 3 0 ∴?DFE ? 30 ? ? DF 3 3
0

即异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 30 . 方法二:

……………..6 分

以 A 为坐标原点以 AB、AC、AA1 所在直线分别 x 轴、y 轴、 Z 轴建立如图所示的直角坐标系, 则 A1 (0,0,2 2 ) B (2,0,0)

z A1 B1 F C1

? E、F 分别是 BC、AA1 中点
∴ E(1,1,0) F(0,0, 2 ) ∴BA1 ? (?2,0,2 2 ) , EF ? (?1,?1, 2 )

o
B x A E C y

3 ? 设 BA1与EF 的夹角为 ? ∴ cos ? = 2 BA1 ? EF
?0 ? ? ? ?
∴? ?

BA1 ? EF

?
6

∴ 异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 (2)三棱锥 A1-BEF 的体积

? 6

……6 分

1 VA1 ? BEF ? VE ? A1BF ? S 3

A1BF

1 1 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? . ……12 分 3 2 3

20. 解:① 由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,
高三理科数学答题卷 第 6 页

x2 ? y 2 ? 1 …….6 分 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴ 椭圆的标准方程为 4
② 设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),

x0 ? 1 ? ?x? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? ? 由? 1 1 得? y0 ? 2 y ? y0 ? ? ? 2 2 ? ?y ? ? 2
(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 由点 P 在椭圆上,得 4 2
∴ 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 ……12 分
2 2

1 2

1 4

21. 解: (Ⅰ )因为 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ( x ? 1)2 , 所以 f ( x) ?
'

a ? 2x ? 2 . x ?1

由 f (1) ? 0 ,可得
'

a ? 2 ? 2 ? 0 , a ? ?8 . 2

经检验 a ? ?8 时,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值, 所以 a ? ?8 . (Ⅱ ) f ( x) ? ?8ln( x ? 1) ? ( x ? 1)2 , ………4 分

f ' ( x) ?

?8 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 2 ? . x ?1 x ?1

而函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) ,

' 当 x 变化时, f ( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?? 1,1?
- ↘

1
0 极小值

?1,???
+ ↗

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 (?1,1) , f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) .……8 分 (3)∵1 ? e ? 1 ,? f ?( x) ? 0, x ??e ?1, e? 时, f ( x)min ? f (e ?1) ? ?8 ? e
2 2

2

不等式 m ? tm ? e ?14 ? f ( x) 对任意 x ??e ?1, e? 及 t ? ? ?1,1? 恒成立,
高三理科数学答题卷 第 7 页

即 m2 ? tm ? e2 ?14 ? f ( x)min ? m2 ? tm ? e2 ?14 ? ?8 ? e2 , 即 m ? tm ? e ? 6 ? 0 对 t ? ? ?1,1? 恒成立,
2 2

?m 2 ? m ? 6 ? 0 令 g (t ) ? m ? mt ? 6 , ? g (?1) ? 0, g (1) ? 0 ? ? 2 , ?m ? m ? 6 ? 0 解得 ?2 ? m ? 2 为所求.
2

…12 分

22.解:

OA ? 3OM ? 2 3 ?OM ? 3

OB ? AC ? BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 MN ? MB ? MA ? MC , MA ? 2 3 ? 2, MC ? 2 3 ? 2
? MN ? 2 .
连接 ON,由 PN 为切线,? ON ? PN

?OBM ? 30? , ?OMB ? 60? , ??ONB ? 30? , ?PNB ? 60?. ?PMN ? 60?. ? PMA 为等边三角形. ? PN ? MN ? PN ? 2 23. 解: x ? 1 ? x ? a ? ? ? x ? 1? ? ? x ? a ? ? a ? 1

? a ?1 ? 8??9 ? a ? 7? a 的最小值 ?9 .

高三理科数学答题卷

第 8 页


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