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高中数学竞赛训练题(含答案)


例 1、求点集 、

中的元素的个数.

分析及答案
思路分析: 思路分析:应首先去对数将之化为代数方程来解之.

解:由所设知 x>0,y>0 及

由平均值不等式,有

当且仅当



(虚根舍去)时,等号成立.

故所给点集仅有一个元素.

评述: 评述:此题解方程中,应用了不等式取等号的充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌握 之.

例 2、已知集合 A={(x,y)}||x|+|y|=a,a>0|,B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}. 、 若 A∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 a 的值为____________.

分析及答案
思路分析: 思路分析:可作图,以数形结合法来解之. 略解: 略解:点集 A 是顶点为(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)的正方形的四条边构成(如

图所示).

将|xy|+1=|x|+|y|,变形为(|x|-1)(|y|-1)=0,

所以,集合 B 由四条直线 x=±1,y=±1 构成. 欲使 A∩B 为正八边形的顶点所构成,只有 a>2 或 1<a<2 这两种情况.

(1)当 a>2 时,由于正八边形的边长只能为 2,显然有

,故

(2)当 1<a<2 时,设正八边形边长为 l,则



这时,

综上所述,a 的值为

时,如图所示中



例 3、设集合 、 系中,成立的是()

则在下列关

A.A

B

C

D

B.A∩B=φ,C∩D=φ

C.A=B∪C,C 分析及答案

D

D.A∪B=B,C∩D=φ

思路分析: 思路分析:应注意数的特征,



解法 1:∵

∴A = B ∪C ,C

D.故应选 C.

解法 2:如果把 A、B、C、D 与角的集合相对应,令



结论仍然不变,显然,A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在 x 轴上的角的集合,C′

为终边在 y 轴上的角的集合,D′为终边在 y 轴上及在直线

上的角的集合,故应选 C.

评述: 解法 1 是直接法, 解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的角 评述: 的集合,研究角的终边,思路清晰易懂,实属巧思妙解.

例 4、设有集合 A={x|x2-[x]=2}和 B={x||x|<2},求 A∩B 和 A∪B(其中[x]表示不超过实数 x 之 、 值的最大整数). 分析及答案 思路分析: 思路分析:应首先确定集合 A 与 B. 从而-1≤x≤2.显然,2∈A. ∴A∪B={x|-2<x≤2}. 若 x∈A∩B,则 x =[x]+2,[x]∈{1,0,-1,-2},
2

从而得出

或 x=-1([x]=-1).

于是 A∩B={-1,

}.

评述: 评述:此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之.

例 5、已知 M={(x,y)|y≥x2},N={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}.求 M∩N=N 成立时 a 需满足的充要条件. 、 分析及答案 思路分析: 思路分析:由 M∩N=N,可知 N M.

略解: 略解:



由 x +(y-a) ≤1 得 x ≤y-y +(2a-1)y+(1-a ) .
2 2 2 2 2

于是,若-y +(2a-1)y+(1-a )≤0,①
2 2

必有 y≥x ,即 N
2

M.而①成立的条件是





解得



评述: 评述:此类求参数范围的问题,应注意利用集合的关系,将问题转化为不等式问题来求解.


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