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广东省惠州市高二数学上学期期末考试试题 理


惠州市 第一学期期末考试 高二理科数学试题
说明: 1.全卷满分 150 分,时间 120 分钟; 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号,填写在答题卷上; 3.考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

, 2, 3, 4, 5} 中随机抽取一个数为 a ,则 a ? 3 的概率是( 1.从集合 {1
4 A. 5
2.已知命题 p:若 A.若 C.若 3.若



3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5


x ? y ,则 x ? y ,那么下列命题 p 的否命题是(

x ? y ,则 x ? y B.若 x ? y ,则 x ? y
x ? y ,则 x ? y D.若 x ? y ,则 x ? y


? a ? ? 2 x,1, 3?

? b ? ?1,3,9?

? ? a ,如果 与 b 为共线向量,则(
1 x?? 6 D.


A. x ? 1

1 x? 2 B.

1 x? 6 C.

) 甲



4.在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是( A.84 B.85 C.86 D.87 5.若 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ( A. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 )

0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3
(第 4 题图)

B. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R,sin x ? 1 D.1111

6.十进制数 15 化为二进制数为( ) A. 1011 B.1001 (2) C.1111(2) 7.空间四边形 OABC 中,

?AOB=?AOC ?

?

??? ? ??? ? 2 ,则 OA ? BC 的值是( )

1 A. 2

2 B. 2

1 C.- 2

D.0

-1-

y 2 x2 ? ?1 8. 以双曲线 12 4 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为( x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. 64 52 B. 16 12 C. 16 4 D. 4 16



9. 如图,在一个不规则多边形内随机撒入 200 粒芝麻(芝麻落到任何位置的 可能性相等) , 恰有 40 粒落入半径为 1 的圆内, 则该多边形的面积约为 ( ) A. 4? B. 5? C. 6? D. 7? (第 9 题图)

x2 y 2 ? ?( 1 a ? 0,b ? 0) a 2 b2 10. 已知双曲线 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角

为 60°的直线与 双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D. (2,+ ? ) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,请将答案填在答题卡相应位置. 11. 交警部门随机测量了高架桥南下口某一时间段经过的 2000 辆汽车的时速,时速的频率分 布直方图如下图所示,则时速超过 70 km/h 的汽车数量为 辆.

(第 11 题图)

开始 12.若两个 x=1,y=1,z=2 z=x+y y=z

平面 ? , ? 的法向量分别是 u ? (1,0,1), v ? (?1,1,0) , 则这两个平 面所成的锐二面角的度数是 。

13.执行如图所示的程序框图,输出的结果是_______. 14.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足


Z ? 10?

x=y

否 输出 z 结束
(第 13 题图)

PF1 : F1F2 : PF2

=6:5:4, 则曲线 C 的离心率等于



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进球与本场进球有无关系”的调查活动, 在所有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 有关系 无关系 不知道
-2-

人数

500

600

900

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取样本,已知从持“有关系”态度的人中 抽取了 5 人,求总样本容量。 (2)持“有关系”态度的人中,40 岁以下和 40 岁以上(含 40 岁)的比例为 2:3,从抽取 的 5 个样本中,再任选 2 人作访问,求至少 1 人在 40 岁以下的概率;

16.(本小题满分 12 分) 设直线 y ? 2 x ? 4 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点.
2

(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程; (2)求 A, B 两点的坐标,并求出线段 AB 的长。

17. (本小题满分 14 分) 如图,直棱柱

ABC — A1B1C1 的底面 ?ABC 中, CA ? CB ? 1 ,

AA ? 2 , ?ACB ? 90? , CB , 棱 1 如图, 以 C 为原点, 分别以 CA , CC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系
(1)求平面

A1B1C 的法向量 A1B1C 夹角的正弦值
(第 17 题图)

(2)求直线 AC 与平面

18.(本题满分 12 分)

p q : x-| 4 ? 6 , q : x2-2 x+- 1 m2 ? 0(m>0) , 已知 p | 若 是 的充分不必要条件, 求实数 m
的取值范围.

19.(本题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。点 M 在

AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM ? BN ? a (0 ? a ? 2).
-3-

(1)当 a 为何值时,线段 MN 的长最小; (2)当线段 MN 的长最小时,求面 MNB 与面 BCE 所成的二面角 ? 的余弦值。

20. (本题满分 14 分) 如图,已知点

A ? ?2,0?

? B : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 36 ,点 P 是 上任意一点,
2

(第 19 题图)

线段 AP 的垂直平分线交 BP 于点 Q ,点 Q 的轨迹记为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2) 已知

? O : x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0?

的切线 l 总与曲线 C 有两个交

0 2 点 M 、N ,当 ?MON ? 90 ,求 r 的取值范围。

(第 20 题图) 惠州市 第一学期期末考试 高二理科数学试题答案 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 D 9 B 10 A

, 2, 3, 4, 5} 中大于 3 的数有 4,5 两个,故 1.【解析】 {1
2.【解析】条件和结论同时否定,故选 B

P?

2 5 ,故选 C

2x 1 3 1 ? ? ?x ? 3 9, 6 ,故选 C 3.【解析】 1
4.【解析】共有 7 个数,从小到大排在第 4 的数是 84,故选 A 5.【解析】全称命题的否定是特称命题,故选 A

15 7 3 ? 7?1, ? 3?1, ? 1?1, ?15 ? 1111 (2) 2 2 6.【解析】 2 ,故选 C

-4-

? ?AOB=?AOC ?
7.【解析】

?
2

, ? OA ?
2

??? ? ??? ? ? OA ? BC , OA ? BC ? 0 ,故选 D OBC 面 ,
2 2

8. 【解析】椭圆中 c ? 2 3 , a ? 4 , b ? a ? c ? 4, b ? 2 ,焦点在 y 轴上,故方程为

y 2 x2 ? ?1 16 4 ,故选 D 40 ? ?12 ? ,? S ? 5? S 9.【解析】 200 ,故选 B

? ?? ? 0, ? k ? 0, 3 10.【解析】由题意可知,双曲线渐近线的倾斜角范围是 ? 3 ? ,渐近线斜率 ,而

?

?

k?

c2 ? a2 c2 b c2 ? a2 ? 3 ? e2 ? 4 ? 2 2 a a a a ,由此得不等式 ,故 ,所以 1 ? e ? 2 ,选 A
1 5 14. 2 或2

填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 12. 60
o

11. 200

13.13

11.【解析】200, 0.01?10 ? 2000 ? 200

? ? (1,0,1)(?1,1,0) 1 cos ? ? cos u, v ? ? 2 , ? ? 60o 2 2 12.【解析】
13.【解析】x=1,y=1,z=2;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13 14.【解析】设

PF1 ? 6k, PF2 ? 4k, F1F2 ? 5k PF1 ? PF2 ? 2a ? 10k,?a ? 5k PF1 ? PF2 ? 2a ? 2k ,?a ? k
F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ? 5k 1 ?e ? 2 , 2

若为椭圆



若为双曲线



F1 F2 ? 2c ? 5k ,? c ?

5k 5 ?e ? 2 , 2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

5 n ? 15. 解: (1)由题意,得 500 500 ? 600 ? 900 , ? n ? 20 ??????????4 分

2 m ? (2)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则 2 ? 3 5 ,解得 m=2.
就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2 ; B1, B 2 , B 3 , ??6 分

-5-

则从中任取 2 人的所有基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2), ( B1, B2), ( B1, B3), ( B2, B3)
共 10 个?????????????????????????????8 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2) 共 7 个
p?
所以所求事件的概率

7 10 ????????????????12 分

16. 解: (1)由题意可知抛物线的焦点在 x 轴上,开口向右

?2 p ? 4

?p ?2

?2 分

故焦点坐标为 (1, 0) ,准线为 x ? ?1 ???4 分

? y 2 ? 4x ? y ? 2 x ? 4 消去 y 得 (2)由 ?
解出 x1 ? 1 , x2 ? 4 ,??8 分 于是, y1 ? ?2 , y 2 ? 4

x 2 ? 5x ? 4 ? 0

??6 分

??10 分 ??12 分 ??14 分

所以 A, B 两点的坐标分别为 A(4,4) , B(1,?2) 线段 AB 的长:

| AB |? (4 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5

17.解: (1)由题意可知

C ? 0,0,0? , A1 (1,0, 2), B1 (0,1, 2)
(第 17 题图)

???? ???? ? CA ? (1,0,2),CB 1 1 ? (0,1,2) ??????????3 分 故


? v ? ? x0 , y0 , z0 ?

为平面

A1B1C 的法向量,则
,??????????5 分 ??????????7 分

? ???? v ? CA1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (1,0,2) ? x0 ? 2z0 ? 0 ? ???? v ? CB1 ? ? x0 , y0 , z0 ? (0,1,2) ? y0 ? 2z0 ? 0

? x0 ? ?2 z0 ? ? ? y0 ? ?2 z0 令 z0 ? 1 ,则 v ? ? ?2, ?2,1? ??????????9 分 ??? ? A B C CA ? (1,0,0) ??????????10 分 AC ? 1 1 (2)设直线 与平面 夹角为 ,
??? ? ? CA ? v ?1,0,0 ?? ?2, ?2,1? 2 sin ? ? ??? ? ? ? ? 3 CA v 1? 22 ? 22 ? 12

??????????14 分
-6-

: x-| 4 ?6① 18. 解: p |
不等式①的解集为

??2,10? ???????????2 分 ?1-m,1+m? ???????????4 分

? q :[ x-(1 -m)][ x-(1+m)] ? 0,(m ? 0)
∴不等式②的解集为

∵p 是 q 的充分不必要条件 ∴

??2,10? ? ?1-m,1+m? ???????????6 分

?1 ? m ? ?2 ?m ? 3 ?? , ? ?1 ? m ? 10 解得 ?m ? 9 ???????????8 分
当 1 ? m ? ?2 时, m ? 3 , 当 1 ? m ? 10 时, m ? 9 ,

??2,10? ? ?1-m,1+m? ? ??2,4? ? m ? 3 ;

??2,10? ? ?1-m,1+m? ? ??8,10? ? m ? 9 ;?????10 分
Z

∴ m ? 9, ∴实数 m 的取值范围是[9,+∞).??12 分 19.建立空间直角坐标系如图 B(0,0,0) 设

A(1,0,0)

C(0,0,1)

F (1,1,0)

M ? x1, y1,z1 ?

N ? x2 , y2 ,z2 ?

??1 分 y x

? C , M , A 三点共线,且 CM ? a , CA ? 2

???? ? a ??? ? ? CM ? CA 2

2 ? x1 , y1 , z1 ? 1? ? a(1, 0, ?1) 2 即

x1 ?

2 2 2 2 a, y1 ? 0, z1 ? 1 ? a M( a, 0,1 ? a) 2 2 , 2 2 ??4 分

? B, N , F 三点共线,且 BN ? a , BF ? 2

???? a ??? ? ? BN ? BF 2



? x2 , y2 , z 2 ? ?

2 a(1,1, 0) 2 ,

x2 ?

2 2 2 2 a, y2 ? a, z2 ? 0 N( a, a, 0) 2 2 2 2 , ??7 分
2 2

? 2? 1 2 2 2 2 a ? 2 a ? 1 ? a ? ? ? MN ? 0 ? ( a) ? (1 ? a) ? ? ?2 2 ? ? 2 2 =

-7-

a?


2 2 MN min ? 2 , 2 ??9 分

(2)当

MN

?1 1? ?1 1 ? M ? , 0, ? , N ? , , 0 ? 2? ?2 2 ? 最小时, M , N 为 AC, BF 的中点, ? 2

? ? x 轴 ? 面 BCE ,取 u ? ?1,0,0? 为面 BCE 的法向量。??10 分 ? v ? ? x0 , y0 , z0 ? BMN
设 为面 的法向量

? ???? ? ? ???? y ?1 1? x z ?1 1 ? x v ? BM ? ? x0 , y0 , z 0 ? ? , 0, ? ? 0 ? 0 ? 0 v ? BN ? ? x0 , y0 , z 0 ? ? , , 0 ? ? 0 ? 0 ? 0 ?2 2? 2 2 ?2 2 ? 2 2 ,

? x0 ? ? z0 ? ? v ? ? ?1,1,1? y ? z z ? 1 0 ,令 0 ? 0 , ,??12 分 ? ? v ?u ? ? 1 3 ? cos? ? cos v, u ? ? ? ? ? 3 u v 1? 3
20.(1)由题意,

,由图可知 ? 为锐角,故 ,

cos ? ?

3 3 ??14 分

| QA | ? | QB |?| QP | ? | QB |? 6 ? AB ? 4

根据椭圆的定义,Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 2 ,??????2 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 4 ? 5

x2 y2 ? ?1 9 5 ∴曲线 C 的轨迹方程是 .??????4 分
(2)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线 l : y ? kx ? m ,则

|m|
2 由 l 与⊙O 相切得 1 ? k

?r

即 m ? r (1 ? k )
2 2 2

①?????6 分

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? 5 由? 9 ,消去 y 得, (5 ? 9k ) x ? 18kmx? 9(m ? 5) ? 0 ,
设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得

x1 ? x2 ? ?

9(m2 ? 5) 18km x x ? 1 2 5 ? 9k 2 , 5 ? 9k 2 ?????8 分

-8-

第 20 题

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
? 9(1 ? k 2 )(m2 ? 5) 18k 2 m2 ? ? m2 2 2 5 ? 9k 5 ? 9k

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

?

14m 2 ? 45(1 ? k 2 ) 5 ? 9k 2 ②????????10 分
? 14m2 ? 45(1 ? k 2 ) ?0 5 ? 9k 2

0 由于满足 ?MON ? 90 ,对此 OM ? ON

2 2 2 结合①式 m ? r (1 ? k ) 可得

r2 ?

45 14 ????????????????12 分

最后考虑特殊情况:
0 当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率不存在时,切线方程为

5r 2 y ? ? 5? 9 , 因 ?MON ? 90 0 , 故 x ? ? r. 代 入 椭 圆 方 程 可 得 交 点 的 纵 坐 标 r ? 5? 5r 2 45 r2 ? 9 ,得到 14 ????????????????14 分

-9-


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