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高考数学大二轮专题复习 第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想课件 理_图文

热点题型探究 思想方法解读 考点 典例1 由概念、法则、公式引起的分类讨论 (1)[2015· 福建高考]若函数f(x)= (a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实 ? ?-x+6,x≤2, ? ? ?3+logax,x>2 (1,2] . 数a的取值范围是________ ? ?-x+6,x≤2, [解析] 因为f(x)= ? 所以当x≤2时, ?3+logax,x>2, ? f(x)≥4;又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以 ? ?a>1, ? ? ?3+loga2≥4. 解得1<a≤2,所以实数a的取值范围为 (1,2]. (2)已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,且 an+1 an Sn=( Sn-1 + a1 ) (n≥2),若bn= a + ,且数列{bn}的 a n 2 n+1 2 4n +6n 2n+1 前n项和为Tn,则Tn=________. [解析] 由题意可得,Sn>0,因为Sn=( Sn-1 + a1)2(n≥2),所以 Sn = Sn-1 + a1 ,即数列{ Sn}是以 S1 = a1为首项,以 a1为公差的等差数列,所以 Sn=n a1, 所以Sn=n2a1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n- 1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,适合上式, an+1 2n+1 2n-1 an 2 所以bn= a + = + =1+ +1- a 2n - 1 2n + 1 2n - 1 n n+1 ? ? 1 1 2 ? - =2+2? ? ?, 2n - 1 2n + 1 2n+1 ? ? 所以Tn=2n+2 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? - ?1-3+3-5+…+ ? 2n - 1 2n + 1 ? ? =2n 2 ? ? 1 4n +6n 4n ? ? +2?1-2n+1?=2n+ = . 2n+1 2n+1 ? ? 四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步:确定需分类的目标与对象.即确定需要分类 的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为 分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、 定理对分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的 “分目标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇 总,并作进一步处理. 【针对训练1】 (1)求d,an; 在公差为d的等差数列{an}中,已知a1 =10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解 (1)由题意得5a3· a1=(2a2+2)2, 即5(a1+2d)· a1=(2a1+2d+2)2 d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4, 所以an=-n+11或an=4n+6. (2)设数列{an}前n项和为Sn, 因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则 由an≥0,即-n+11≥0得n≤11. 所以当n≤11时,an≥0,n≥12时,an<0. 1 2 21 所以n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-2n + 2 n; n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2 1 2 +…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11= 2 n 21 - 2 n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an| ? ?-1n2+21n,n≤11, ? 2 2 =? ?1 2 21 n - n + 110 , n ≥ 12. ? 2 ?2 考点 典例2 b(a,b∈R). 由参数变化引起的分类讨论 [2015· 江苏高考]已知函数f(x)=x3+ax2+ (1)试讨论f(x)的单调性; (2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三 个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪ ?3 ? ? ∪?2,+∞? ?,求c的值. ? ? ? 3? ? ? 1 , ? 2? ? ? [解] (1)f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,解得x1=0, 2a x2=- 3 . 当a=0时,因为f′(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在 (-∞,+∞)上单调递增; ? 2a? ? 当a>0时,x∈ ?-∞,- 3 ? ? ∪(0,+∞)时,f′(x)>0, ? ? ? ? 2a ? x∈?- 3 ,0? ?时,f′(x)<0, ? ? ? 2a? ? 所以函数f(x)在 ?-∞,- 3 ? ? ,(0,+∞)上单调递增, ? ? ? 2a ? ? 在?- 3 ,0? ?上单调递减; ? ? ? ? 2a ? 当a<0时,x∈(-∞,0)∪ ?- 3 ,+∞? ? 时,f′(x)>0, ? ? ? 2a? ? x∈?0,- 3 ? ?时,f′(x)<0, ? ? ? ? 2a ? 所以函数f(x)在(-∞,0), ?- 3 ,+∞? ? 上单调递增, ? ? ? 2a? ? 在?0,- 3 ? ?上单调递减. ? ? (2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f 4 27 a +b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)· f 3 ? 2a? ? ? - ? 3? ? ? = = ? 2a? ? ? - ? 3? ? ? ?4 ? ? 3 b?27a +b? ?<0, ? ? ?a>0, ? 从而? 4 3 ?- a <b<0 ? 27 ?a<0, ? 或? 4 3 ?0<b<- a . 27 ? ?a>0, ? 又b=c-a,所以? 4 3 ? a -a+c>0 ?27 ?a<0, ? 或? 4 4 ? a -a+c<0, ?27 4 3 设g(a)=27a -a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的 ? ?3

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